2023-2024学年浙江省湖州市吴兴高级中学高二上学期10月阶段性测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省湖州市吴兴高级中学高二上学期10月阶段性测试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.
【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
2．椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的椭圆方程，直接求解离心率作答.
【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，所以离心率.
故选：B
3．已知，，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可.
【详解】，，且直线与线段相交，
或，
故选：D
4．如图，在长方体中，是线段中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】C
【分析】将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.
【详解】连接、，
因为，
因为是线段的中点，则，
因此，
因此，.
故选：C.
5．已知平面，其中，法向量，则下列各点不在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合各项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论.
【详解】对A，，，
则该点不在平面内，A正确；
对B，，，
则该点在平面内，B错误；
对C，，,
则该点在平面内，C错误；
对D，,,
则该点在平面内，D错误；
故选：A
6．已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】圆的最长弦是直径，过定点的最短弦是与过定点的最长弦垂直的，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.
【详解】圆
由题意可得
最长弦为直径等于6，
最短的弦由垂径定理可得，
则四边形的面积为.
故选：D.
【点睛】本题考查过圆内定点求圆的弦长最值问题，考查求解运算能力，是基础题.
7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可.
【详解】
设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短
设，，
则，
，
，，
即，
，即，
，
，
，
当时，取得最小值，
故直线与之间的距离是.
故选：B.
8．如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图建立空间直角坐标系，令，即可得到、的坐标，设，根据，则，即可得到，再求出平面的法向量，依题意根据正弦函数、正切函数的单调可知，要求的最大值，即可求的最大值，利用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质求出的最大值，从而根据同角三角函数的基本关系求出；
【详解】解：如图以平面为平面，平面为平面，建立如图所示空间直角坐标系，令，则，，显然平面的法向量可以为，设，则，，，因为，所以，即，因为直线与平面所成角为，因为，显然，即，因为与在均单调递增，要求的最大值，即可求的最大值，
所以
，所以当时，又，所以
故选：A
二、多选题
9．已知一组数据4，2，，10，7的平均数为5，则此组数据的（ ）
A．众数为2B．中位数为4C．极差为3D．方差为
【答案】ABD
【分析】根据数据和平均数、中位数、众数、极差、方差的运算可得答案.
【详解】由题意可得，所以A正确：
2，2，4，7，10的中位数为4，故B正确，
极差为，故C错误；
对于D：，D正确．
故选：ABD．
10．对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
11．已知两圆为与，则（ ）
A．若两圆外切，则
B．若两圆有3条公切线，则
C．若两圆公共弦所在直线方程为，则
D．为圆上任一点，为圆上任一点，若的最大值为，则
【答案】BCD
【分析】对于AB，根据圆心距等于半径之和即可判断；对于C，两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，即可判断；对于D，根据的最大值为圆心距加上半径即可判断.
【详解】解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
对于A，若两圆外切，则圆心距，得，故A错误；
对于B，若两圆有3条公切线，则两圆外切，则，故B正确；
对于C，两圆得方程相减得，
若两圆公共弦所在直线方程为，
则，解得，故C正确；
对于D，圆心距，
则的最大值为，解得，故D正确.
故选：BCD.
12．在正方体中，点，分别是棱，的中点，，，则（ ）
A．存在使得平面
B．存在使得平面
C．当时，平面截正方体所得的截面形状是五边形
D．当时，异面直线与所成角的余弦值为
【答案】BC
【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理与性质定理以及异面直线所成角的定义，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】若平面，平面，则，即，
而，则，显然不成立，故A错误；
当时，分别连接,,，，，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，故B正确；
做出图形如图所示，延长至，使得，连接交于点，取线段的中点，连接，，
则五边形为所求截面图形，故C正确；
连接，则即为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为2，则在中，，，，
由余弦定理可得，，故D错误.
故选：BC.

三、填空题
13．若为奇函数，则 .
【答案】0
【分析】函数为奇函数，有，解出的值并检验.
【详解】为奇函数，有，
即，有在定义域内恒成立，
即在定义域内恒成立，得在定义域内恒成立，解得，
时，，函数定义域为，
，则为奇函数，满足题意.
故答案为：0
14．已知直线与直线，则之间的距离为 .
【答案】
【分析】由题可得，按照平行线间的距离公式求解即可.
【详解】解：直线与直线，
其中，则
所以之间的距离为.
故答案为：.
15．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是 .
【答案】-1
【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.
【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，
必有 ，即向量 与向量 共线，
，∴，解得；
故答案为：-1.
16．已知圆：，直线：，为上的动点．过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程.
【详解】⊙M：，则，圆心为，半径，
如图，连接，四边形的面积为，要使最小，则需四边形的面积最小，
即只需的面积最小，因为，所以只需 最小，又，
所以只需直线上的动点到点M的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时
所以直线的方程为由，解得，所以，
所以点四点共圆，所以以点PM为直径的圆的方程为，即，联立两个圆的方程得直线AB的方程为：.
故答案为：.
【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.
四、解答题
17．如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．

(1)以为一组基底表示向量；
(2)求的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解；
（2）利用空间向量数量积的运算性质，由展开计算即可.
【详解】（1），
．

（2），
所以，
所以
，
所以.
18．已知，，.
(1)求的面积；
(2)若，，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）中，两点间距离公式求，以边为底，点到直线的距离为高，求的面积；
（2）由平行和垂直的关系，求出直线和直线的方程，联立方程组求点的坐标.
【详解】（1）由题得直线的斜率：，
所以直线的方程为：，即，
点到直线的距离为，，
所以.
（2）因为，则直线的斜率：，
所以直线的方程为：，
直线的斜率，
因为，所以，
直线的方程为：，即，
联立方程组，解得：.
19．如图，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.已知.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）通过添加辅助线，证明直线与直线垂直，进而可得二面角是直二面角，即平面与平面垂直；
（2）利用等体积法求解，也可以根据垂直关系建立空间直角坐标系，求得相应直线的方向向量，再得到平面的法向量，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）取的中点，连接，
则，
是二面角的平面角．
在中，
易知，又，
．
平面平面．
（2）由（1）知两两垂直，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则．
设是平面的法向量，
则，得，取．
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直的证明及直线与平面所成的角，考查考生的空间想象能力及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象､数学运算．
20．已知在中，内角A，，所对的边分别为，，，且，.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）由正弦定理化边为角后，应用两角和的正弦公式和诱导公式变形可得；
（2）由余弦定理和三角形面积公式结合求得，从而可得即可得出周长．
【详解】（1）由题意得，，
因为，
故，
由，得.
（2）由余弦定理，，，
即，
又的面积为，
所以，，
所以，，
故的周长为.
五、未知
21．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，，点满足.
(1)若，求证平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若平面与平面的夹角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）利用三角形的中位线，证明，得证平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离；
（3）求出两个平面的法向量，利用两个平面夹角的正弦值，求的值.
【详解】（1）证明：连接，
∵，，∴点是的中点，
又∵是的中点，∴，
又平面， 平面，∴平面.
（2）∵正方形，∴，又平面，
∴以为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
正方形中，则，
，得，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，可得法向量为，
又，
∴点到平面的距离.
（3）∵，∴，，
则，，
设面的一个法向量为，
则，令，则，
可得法向量为，
∵在三棱柱中，平面平面，∴平面法向量为，
∴，
∵平面与平面所成角的正弦值为，
∴，可得，解得或.
22．在平面直角坐标系中，已知圆：，且圆被直线：截得的弦长为2.
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆：上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由方程化为圆的标准方程，然后求出圆心到直线的距离d，由弦长为2及弦长公式，可求圆的半径，得圆的方程；
（2）先设，由得到点的轨迹方程，由轨迹与圆D的位置关系，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得圆：，
即，则，
所以圆心坐标为，半径，
又∵圆心到直线的距离，
又弦长为2，由，解得，，
所以圆的标准方程为：.
（2）假设点坐标为，由点满足，则，
直线与圆相切，且为切点，
∴，∴，
∴，
∴，即，
点轨迹为圆，圆心，半径为，
又∵点在圆：上，
由两圆的半径和圆心的位置可知，两圆有公共点且不可能内切，
∴，
又恒成立，
∴，∴，∴，
∴的取值范围为：.