2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第六十八中学高二下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第六十八中学高二下学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，证明题，问答题，应用题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作
B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长
【答案】C
【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，
将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，
选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，
与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，
与顺序无关，这个问题为组合问题；
对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，
将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.
故选：C.
2．甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，每个人都有三种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，
每个人都有三种选择，则不同的游览方案种数为种.
故选：B.
3．已知，则可能取值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】利用组合数的性质可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为，则或，解得或.
故选：D.
4．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知，二项式的展开式共项，即可求出的值.
【详解】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.
故选：A.
5．的展开式中系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】的展开式通项为，其中、、、、，
因为，
在中，令，可得，不合乎题意；
在中，令，可得，系数为.
综上所述，的展开式中系数为.
故选：B.
6．甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（ ）．
A．甲赢三场B．甲赢一场、输两场
C．甲、乙平局三次D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】表示甲队得分为3分这个事件，可以直接列举情况即可.
【详解】由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，
所以可以分成两种情况，即或，
即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．
故选：D．
7．已知离散型随机变量X的分布列，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据概率和为1，可求得，代入计算即可．
【详解】由题意得随机变量X的分布列如表所示.
由分布列的性质得，，解得.
∵，∴或，
∴.
故选C.
8．已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出的值，结合方差的性质可求得的值.
【详解】由分布列可得，
所以，，
又因为，则.
故选：A.
9．某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（ ）
A．12种B．30种C．36种D．42种
【答案】D
【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.
【详解】将第6名同学放到原来5名同学形成的6个空中，有6种放法；
将第7名同学放到已经排好的6名同学形成的7个空中，有7种放法，
故不同的比赛顺序共有种.
故选：D
10．某乳业公司新推出了一款儿童酸奶，其包装有袋装､杯装､瓶装.现有甲､乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下，两人选的包装不同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用条件概率进行求解即可.
【详解】记事件C为“甲同学选杯装酸奶”，则，记事件D为“两人选的包装不同”，则事件CD为“甲同学选杯装酸奶，乙同学选袋装酸奶或瓶装酸奶”，
所以，所以.
故选：C.
11．在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（ ）
A．0.032B．0.048C．0.05D．0.15
【答案】B
【分析】由题意可知，分别求出此人来自三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.
【详解】设事件为“此人是流感患者”，事件分别表示此人来自三个地区，
由已知可得，
，
由全概率公式得
故选：B
12．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）
A．24B．48C．96D．120
【答案】C
【详解】分析：讨论两种情况，第一类相同颜色，第二类不同颜色，分别利用分步计数乘法原理求解，然后求和即可.
详解：若颜色相同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，只有一种涂法，共有种；
若颜色不同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，当和相同时，有2种涂法，当和不同时， 只有一种涂法，共有种，根据分类计数原理可得，共有 种，故选C.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率..
二、填空题
13．已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望 ；
【答案】
【分析】利用分布列的性质求出的值，再利用期望公式可求得的值.
【详解】由分布列的性质可得，解得，
因此，.
故答案为：.
14．一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球，那么两次取到的球颜色相同的概率为
【答案】
【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球，
那么两次取到的球颜色相同的概率为.
故答案为：.
15．某企业利用星期六安排A，B，C，D，E，F六位教授对企业员工进行不同内容的6次培训（每人培训一次），规定上午最后一次培训和下午第一次培训为相邻的培训.要求A，B两位教授相邻，C，D两位教授不相邻，则共有 种不同的安排培训方法.（用数字作答）
【答案】144
【分析】由分步计数法，结合插空法：先排好，再将作为整体插入队列3个空中的一个，最后把插入新队列4个空中的两个，即可得结果.
【详解】1、安排好教授，共种；
2、安排好教授，并将其插入队列3个空中的一个，共种；
3、把教授分别插入第二步新队列4个空中的两个，共种；
所以不同的安排培训方法有种.
故答案为：144.
16．某旅行社有导游人，其中有人会英语，有人会日语。现在需要选名英语导游和名日语导游，完成一项导游任务，则不同的选择方法为 .
【答案】
【分析】分析出双语导游的选择人数，即可得出选名英语导游和名日语导游的方法个数.
【详解】由题意，
有导游人，其中有人会英语，有人会日语，
∴有人只会英语，人只会日语，人两种语言都会，
若 1 个会双语的导游都不选，则有 种选择方法，
若恰好选1个会双语的导游，则有 种选择方法，
若恰好选 2 个会双浯的导游，则有 种选择方法,
故不同的选择方法有种.
故答案为：.
三、证明题
17．（1）计算：；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用排列数公式可求得所求代数式的值；
（2）利用组合数公式可证得结论成立.
【详解】（1）；
（2）证明：，
，
因此，.
四、问答题
18．在 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
(1)求n的值.
(2)求 的展开式中的常数项.
(3)求展开式中所有系数的和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二项式系数的关系求得.
（2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项.
（3）令求得所有系数的和.
【详解】（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，
即，解得.
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为.
（3）由令得，
即展开式中所有系数的和为.
五、应用题
19．男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛.
(1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法?
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式?
【答案】(1)196
(2)7560
【分析】（1）求出随机选择和没有队长的情况，即可求出队长中至少有1人参加时选派方法的数量；
（2）求出随机选择人数，人随机坐和人坐同一个车中的情况，即可求出运动员分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)时安排方式的数量.
【详解】（1）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.选派 5人，
若没有队长，则有种选派方法，
若随机选择，则有种选派方法，
∴队长中至少有1人参加，有种方法.
（2）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，选派 5人外出参加比赛，分坐在两辆车，
∴选择的人是随机的，有种情况，
若人坐同一个车中，有种情况，
若人随机坐，有种情况，
∴从人中选5人，且坐在辆不同的车中，有种情况.
六、解答题
20．用，，，，，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的四位数中，求偶数个数；
(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试求第个数字.
【答案】(1)种
(2)个
(3)第个数字是
【分析】（1）利用分类计数原理即可求解（2）先取数，再排序（3）利用分类计数原理即可求解
【详解】（1）根据分类计数原理知，
当末位是0时，十位、百位、千位从5个元素中选三个进行排列有种结果，
当末位不是0时，只能从2和4中选一个，千位从4个元素中选一个，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果;
（2）共有个
（3）若1在千位，有种结果；
若2在千位，0或1在百位，有种结果；
因为，所以，第个数字是
七、应用题
21．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.
(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率：
(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率；
（2）利用全概率公式可求出所求事件的概率.
【详解】（1）解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为.
（2）解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，
记事件为“这道题被答对”，
则，，，
，，，
由全概率公式可得.
22．体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有次投篮机会，若投中次或次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮次. 已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为，求的分布列与均值.
【答案】(1)
(2)，分布列见解析
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式以及互斥事件的概率加法公式可求出甲同学通过测试的概率；
（2）分别计算出甲、乙通过测试的概率，分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：记事件甲同学通过测试，则甲同学在次投篮中，投中次或次，
则.
（2）解：若甲通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，
所以，甲通过测试的概率为，
同理可知，乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故.
X
1
P
a
P