2023-2024学年广东省佛山市南海区第一中学高一上学期第一次阶段考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区第一中学高一上学期第一次阶段考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，作图题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合间的关系，集合与集合间的关系直接判断.
【详解】A选项，表示集合，为实数集，A选项错误；
B选项，是有限小数，为有理数，所以，B选项错误；
C选项，表示正整数集，表示正整数，所以，C选项正确；
D选项，表示自然数集，不是自然数，所以，D选项错误；
故选：C.
2．设，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案
【详解】解：因为，，
所以，
∴，
故选：A
3．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据同一函数的概念判断．
【详解】对于A，与的定义域不同，∴不是同一函数，
对于B，与的定义域及对应关系均不同，∴不是同一函数，
对于C，与的定义域及对应关系均相同，∴是同一函数，
对于D，的定义域均为，但对应关系不同，∴不是同一函数．
故选：C．
4．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式得到或，然后设或，“”的充分不必要条件为集合，即可得到，最后判断选项即可.
【详解】，解得或，
设或，“”的充分不必要条件为集合，
则，所以ABC错，D正确.
故选：D.
5．若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小.
【详解】因为，，，
又在第一象限内是增函数，，
所以，即.
故选：D.
6．幂函数在上是减函数，且，则m可能等于（ ）
A．0B．1C．2D．0或1
【答案】B
【分析】利用幂函数的单调性求得，再进行检验即可得解.
【详解】由于幂函数在上递减，所以，则，
由于，所以，
当时，为奇函数，不满足，舍去；
当时，为偶函数，满足；
综上，.
故选：B.
7．已知奇函数定义在上，且对任意都有成立，若成立，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，再利用函数是奇函数，可将不等式转化为具体不等式，从而求x取值范围．
【详解】∵对任意的x1，x2∈（﹣1，1）（x1≠x2），都有成立，
∴函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减
∵函数是奇函数，
∴等价于f（2x﹣1）＞f（2﹣3x）
∴ ，解得＜x＜
故选C．
【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，确定函数的单调性是关键．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过x的最大整数，则标为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）
A．
B．的最大值为1
C．的最小值为0
D．在上的值域为
【答案】C
【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可.
【详解】对于A，，，所以，A错；
由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以当时，，且每段函数都是单调递减，每段的左端点的函数值都为1；
当时，，且每段函数都是单调递增，每段的左端点的函数值都为1；
绘制函数图象如图所示，

对于B，由图可知，当，没有最大值，B错；
对于C，由图可知，当，的最小值为0，C对；
对于D，由图可知，在上的值域为，D错.
故选：C
二、多选题
9．下面命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【分析】利用特殊值判断A、B，利用不等式的性质判断C、D.
【详解】对于A：当时，故A错误；
对于B：取，则，故B错误；
对于C：由，则，，所以，故C正确；
对于D：由，所以，所以，故D正确.
故选：CD
10．下列不等式的解集正确的是（ ）
A．的解集是B．的解集是
C．的解集是D．的解集是
【答案】ABD
【分析】分别解出各个选项所对应的不等式，逐一对比每一选项即可.
【详解】对于A，，所以，故A选项正确；
对于B，，所以，故B选项正确；
对于C，，所以，故C选项错误；
对于D，，
而，
所以，所以，故D选项正确.
故选：ABD.
11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可判断A的正误，利用A的结果可判断BC的正误，利用反例可判断D是错误的，故可得正确的选项.
【详解】因为正实数a，b满足，所以，
所以，故当且仅当时等号成立，
故有最大值，A正确；
由A可得，
当且仅当时等号成立，故有最大值，B正确；
，当且仅当时等号成立，
故有最小值4，C正确；
取，此时，所以的最小值不是，
故D错误，
故选：ABC..
12．下列命题中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定为“，”
B．已知，，且，则的最小值为
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．函数是奇函数且是上的增函数
【答案】BD
【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可判断A；利用乘“1”法即可判断B；根据抽象函数的定义域即可判断C，利用函数奇偶性的判断与基本初等函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，故A错误；
对于B，由于，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于C， 函数的定义域为，
则对于，有，故，
所以函数的定义域为，故C错误；
对于D， 对于，易知其定义域为，
又，所以是奇函数，
又与在上单调递增，所以上的增函数，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．已知，，则 ．
【答案】
【分析】解二次不等式化简集合、，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】或，
或.
因此.
故答案为：
14．一元二次不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式，在时，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由不等式对一切实数都成立，
可得即.
故答案为：.
15．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为 ．
【答案】172
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】
，
（人．
故答案为：172
16．设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解.
【详解】由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，
可得，解得，所以，
又由，且，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为对任意恒成立，即恒成立，
解得或，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知命题，．
(1)写出命题p的否定；
(2)若命题p是假命题，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用全称量词命题的否定即可得解；
（2）由题意得为真命题，结合能成立问题的解法即可得解.
【详解】（1）因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
而，，
所以.
（2）因为为假命题，所以是真命题，
所以，即，故，
因为在上单调递增，所以当，取得最小值，
所以.
18．讨论函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值．
【答案】在上单调递减，最大值为，最小值为
【分析】利用单调性的定义推得的单调性，从而求得最值，由此得解.
【详解】因为，令，则，
对于，在上单调递减，证明如下：
在上任取，，且.
则
，
因为，则，
所以，，.
故，即，
所以在上单调递减，
而在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以在的最大值为，
最小值为.
五、作图题
19．若函数的图象过点，且．
(1)求函数的解析式
(2)若是R上的奇函数，求的解析式并画简图．
(3)若在上的值域是，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)；简图见解析
(3)
【分析】（1）由已知条件待定系数，建立方程组求解即可；
（2）由奇函数图象的对称性，利用关系式求解的解析式；
（3）由值域是，得最大值为，最小值为，数形结合可得m的取值范围．
【详解】（1）由函数的图象过点，，且，
则，解得，
故.
（2）设，则，
由（1）知，当时，，
则，
由是R上的奇函数，则，
则，
故.
简图如下：
（3）由在上的值域是知，
，且，,
当时，令，解得，
由图形可知，，且，
即.
故的取值范围为.
六、解答题
20．（1）解关于x的不等式．
（2）设或，从下面给出的集合中任选一个，填入下面的横线上，并解答下列问题．
①；②；
（ⅰ）求集合；
（ⅱ）______，若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）或；（2）选择见解析，答案见解析
【分析】（1）利用二次不等式的解法求解即可；
（2）（ⅰ）解分式不等式化简集合即可得解；（ⅱ）由题意得是的真子集，从而得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】（1）由，得，
因为，则或，
所以不等式的解为或.
（2）（ⅰ）选①，
由，得，所以，
所以或；
选②，
由，得，即，
所以，所以或；
（ⅱ）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
选①，
因为或，或，
所以．
选②，
因为或，或，
所以．
21．若某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：.
(1)将利润（单位：元）表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）
【答案】(1)
(2)当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元
【分析】（1）利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润总收入总成本即可得到答案；
（2）分和时，分别利用二次函数的性质以及函数的单调性求出最值，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由题可知总成本为，
∴.
（2）解：当，，
∴时，有最大值25000；
当时，是减函数，
∴.
∴时，有最大值25000.
即当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.
22．（1）证明：函数为奇函数的充要条件是．
（2）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
①求函数的图象的对称中心．
②类比上述推论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②结论见解析
【分析】（1）利用函数奇偶性的性质与判定，结合充要条件的证明方法即可得证；
（2）①利用推广结论，结合奇函数的性质求得，从而得解；②类比推论即可得解.
【详解】（1）当是奇函数时，易知的定义域为，
所以，即，则，充分性成立；
当时，，易知的定义域为，
又，所以是奇函数，必要性成立；
综上，函数为奇函数的充要条件是
（2）①不妨设的图象的对称中心为，
则为奇函数，易知的定义域为，
而
，
所以，解得，
则，易知其为奇函数，满足题意，
所以，即的图象的对称中心为.
②函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.