2023-2024学年广东省佛山市南海区西樵高级中学高一上学期第一次段考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区西樵高级中学高一上学期第一次段考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，作图题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用交集定义即可求出结果.
【详解】因为，，
所以由交集定义可得：.
故选：A.
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定为：“，”.
故选：B
3．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求中的范围，根据充分、必要性定义判断题设条件间的关系.
【详解】由，可得或，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
4．若a>b，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质以及特殊值确定正确答案.
【详解】A选项，当时，，所以A选项错误.
B选项，当时，，所以B选项错误.
C选项，当时， ，所以C选项错误.
D选项，由于，所以，所以D选项正确.
故选：D
5．已知，那么等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
故选：A
6．已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】B
【分析】根据幂函数定义，求出点，代入一次函数中，得到，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】由是幂函数，可得，，即，，
又由点在一次函数的图像上，所以，
因为，，所以由基本不等式，得
，
当且仅当时取等号，即当，时，，
故选：B.
7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得函数在及时，单调递减，且，进而即得.
【详解】由题意可知：在上单调递减，即；
在上也单调递减，即；
又是上的减函数，则，
∴，
解得．
故选：C．
8．设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ）
A．1B．3C．0D．
【答案】A
【解析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值.
【详解】令，解得或，
作出的图象如下图所示：
由图象可知：当时，有最小值，此时，
故选：A.
【点睛】思路点睛：求解形如（或）的函数的最小值（或最大值）的步骤：
（1）根据，先求解出两个图象交点的横坐标；
（2）根据图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到（或）的函数图象；
（3）直接根据函数图象确定出最大值（或最小值）.
二、多选题
9．与表示同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样得到答案.
【详解】定义域为，且.
对于A：，定义域也为，故A正确；
对于B：的定义域为，定义域不一样，故B错误；
对于C：，定义域与解析式都相同，故C正确；
对于D：的定义域为，定义域不一样，故D错误；
故选：AC.
10．已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图像如图，则下列说法正确的是（ ）
A．这个函数有两个单调增区间
B．这个函数有三个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值
【答案】BC
【分析】根据题意补全函数的图象，进而观察图象求得答案
【详解】由题意作出该函数在上的图象，如图所示．
由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不为，
故选：BC
11．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由二次函数性质对选项逐一判断
【详解】由题意得，对称轴，则，故A正确，
当时，，则，故C正确，
当时，，则，故D正确，
当时，，故B错误，
故选：ACD
12．若实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．最大值是 6B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是 3
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式判断各选项．
【详解】，当且仅当时等号成立，
，则，，时等号成立，A正确；
，，时等号成立，D正确；
．，当且仅当时取等号，
，，所以时，取得最大值，B错C正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．如果集合中只有一个元素，则a的值是 ．
【答案】，4
【分析】分情况讨论：当时和当时两种情况，当时由即可求出答案，从而求得结果.
【详解】若，则集合，符合题意；
若，则，解得．
故答案为：．
14．已知是定义在R上的奇函数，当时，是幂函数，且图象过点，则
【答案】
【分析】可先由待定系数法求出，时，的解析式，再用奇偶性求的值即可.
【详解】因为当时，是幂函数，
所以时，可设，
又过点，
所以，可得，
所以时，可得，
又是定义在R上的奇函数，
所以.
故答案为：.
15．函数在上不单调，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题可得对称轴满足，求出即可.
【详解】可得的对称轴为，
在上不单调，则，解得.
故答案为：.
四、双空题
16．德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，．写出满足的一个x的值 ；关于x的方程的解集为 ．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】根据取整函数的定义即可求解.
【详解】根据取整函数的定义，当时，，故取；
，即，解得.
故答案为：(答案不唯一)；
五、解答题
17．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）分别求解集合，再根据集合间的交集运算即可求解；
（2）由条件可知，利用子集关系，分和列式求解实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
而，
所以.
（2）因为，所以，
当时，，即，此时满足；
当时，要使成立，
则需满足，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
18．已知函数
(1)分别求和的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1);；
(2)
【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求值即可；
（2）分和两种情况，分别解一元二次方程即可求出结果.
【详解】（1），
因为，所以；
（2）若，则，解得（舍）或；
若，则，解得（舍）或；
综上：.
六、作图题
19．已知函数是定义在的奇函数，且当时.
(1)现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补出函数的完整图象，并根据图象直接写出函数的单调区间及时的值域；
(2)求的解析式.
【答案】(1)图象见解析；的单调减区间是和，增区间是；值域为
(2)
【分析】（1）根据奇函数的图象关于原点对称可以作出函数在轴右侧的图象，并可以根据图象写出函数的单调区间及时的值域；
（2）根据奇函数的定义先求出时的解析式，再根据，即可得到函数的解析式.
【详解】（1）是奇函数，图象关于原点中心对称，
故函数的完整图象如图所示：
由图象可知，函数的单调减区间是和，
增区间是，时，的值域为.
（2）是奇函数，，设时，，
依题意知，即，
故；时，，故，
故的解析式为.
七、应用题
20．小明将上周每天骑车上学路上的情况用图像表示：
很遗憾图像的先后次序不小心被打乱了.
还好小明同时用文字进行了记录：
周一：匀速骑车前进：
周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次；
周三：骑车出门晚了，越骑越快；
周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿；
周五：……
(1)请将图像的编号填入表格中对应日期的下方，
(2)本周小明打算跑步上学，多消耗点热量.已知单位时间消耗的热量（卡/小时）与跑步的平均速度（千米/小时）满足函数，小明家到学校的距离是1.5千米，假设小明上学路上不停顿，则他从家跑步到学校最多可以消耗多少热量?
【答案】(1)表中数据详见解析．
(2)他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量125卡.
【分析】（1）根据实际情况将图像的编号填入表格中对应日期的下方，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【详解】（1）根据实际情况，填表如下：
（2）由题意可得，上学用时小时，
设消耗的热量为，
则
，
当且仅当，即时，取得最大值125，
故他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量125卡．
八、解答题
21．已知函数，，从下面两个条件中任选一个条件，求出，的值，并解答后面的问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①已知函数，在定义域上为偶函数；②已知函数在上的值域为；
(1)选择______，求，的值；
(2)证明在上单调递增；
(3)解不等式.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）选①利用二次函数的性质及偶函数的定义即得，选②利用函数的单调性即求；
（2）利用单调性的定义即证；
（3）利用奇函数的定义可得为奇函数，进而利用函数的单调性及奇偶性解不等式.
【详解】（1）选①：因为在上是偶函数，
则，且，
所以，；
选②：当时，在上单调递增，
则有，
得，；
（2）由①或②得，，任取，且，则
∵，则，，
∴，即
则在上单调递增.
（3）∵，，
又，
∴为奇函数，
由，得，
又因为在上单调递增，
则，解得，
所以.
九、证明题
22．定义在R上的函数满足：对任意，都有，则称函数是R上的凹函数.已知二次函数.
(1)求证：函数是凹函数；
(2)求在上的最小值，并求出的值域.
【答案】(1)证明见解析
(2)，值域为
【分析】（1）代入求出的表达式，作差化简，即可得出证明；
（2）先求出二次函数的对称轴为，根据对称轴与的关系，得出在各段上的表达式，根据函数的性质即可得出函数的值域.
【详解】（1），有，，
则.
因为，所以，
所以，.
根据凹函数的定义可知，函数是凹函数.
（2）因为，所以二次函数的对称轴.
当，即时，
根据二次函数的性质可知，在上单调递增，
所以，，
且；
当，即时，
根据二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
且根据反比例函数的性质可知，在上单调递增，
所以，.
又，所以.
综上所述，，的值域为.
日期
周一
周二
周三
周四
周五
图像编号
日期
周一
周二
周三
周四
周五
图像编号
E
A
C
B
D