2023-2024学年天津市弘毅中学高一上学期过程性诊断（一）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市弘毅中学高一上学期过程性诊断（一）数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集并集的定义即可求出.
【详解】，
，.
故选：C.
2．命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题求解.
【详解】命题，则为：.
故选：B
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，利用作差法，逐一验证A、B、D，对于C，利用特殊值法，可得答案.
【详解】对于A，，由，则，，即，故A错误；
对于B，，由，则，，即，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，由，则，显然，即，故D正确.
故选：D.
5．已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求的最小值.
【详解】，且，则有，
得，当且仅当时等号成立，所以的最小值是4.
故选：D
6．已知集合，，若，则（ ）
A．或B．或C．或或D．或或
【答案】D
【分析】求出集合A中方程的解，确定出A，由，得，分类讨论确定出a的值即可.
【详解】方程解得：或，∴，
由，得，
当时，，满足题意；
当时，，可得或，解得：或，
综上，或1或0．
故选：D．
7．若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10B．-14C．10D．14
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a、b，即可得结果.
【详解】由题意，和是方程的两个根，
由韦达定理得：且，解得：，，
所以.
故选：B
8．若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【分析】由二次项系数大于0的一元二次不等式的解集为R，可知解不等式即可求得m的范围
【详解】由不等式的解集为R
∴，即，
解得：
所以m的取值范围为
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次不等式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式以及对应的一元二次函数的性质，列不等式求解
9．与不等式同解的不等式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解各选项对应不等式与题干不等式解集比较可得答案.
【详解】.
A选项，，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，，故C错误；
D选项，，故D错误.
故选：B
10．若，，，，则满足上述条件的集合的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得，则集合的个数即为的子集个数.
【详解】由题，，则满足上述条件的集合就是的子集，
则集合的个数是4.
故选：D
11．若，恒成立，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得，后由基本不等式可得答案.
【详解】由题可得，
又注意到，
当且仅当，即时取等号.则.
故选：C
12．设，则的最小值是
A．2B．4C．D．5
【答案】B
【分析】多次利用基本不等式和实数的性质进行计算可得答案.
【详解】解：，
，
当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当取等号，即，取最小值，
可得的最小值：4，
故选B.
【点睛】本题主要考查基本不等式和实数的性质，属于中档题.
二、填空题
13．设集合，，，则中的元素个数为 ．
【答案】4
【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
14．已知集合，，若，则实数 ．
【答案】1
【分析】由题得，解出值检验即可.
【详解】由题知,若,则或,
当时,方程无解;
当时,,
解得:,
此时,,符合题意,所以.
故答案为：1.
15．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】结合相应二次方程的根和二次函数的性质求解.
【详解】方程的根为-1和3，所以不等式的解集.
故答案为：
三、双空题
16．已知，，则的取值范围为 ，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用不等式的性质即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以的取值范围为.
因为，，所以，所以，
所以的取值范围为.
故答案为：；.
17．已知，，则当且仅当 时，取得最小值 ．
【答案】 2 3
【分析】由基本不等式可得答案.
【详解】由题，.
当且仅当，即时取等号.
故答案为：2；3
四、填空题
18．当，，且满足时，有恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式先求最小值为4，然后解不等式即可。
【详解】，，且满足，
则，
当且仅当，即时等号成立，得最小值为4，
由恒成立，所以，化简得，解得.
则的取值范围为.
故答案为：
五、解答题
19．已知全集，集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求实数的范围．
【答案】(1)；或；
(2)
【分析】（1）由题可确定B，后由交集，补集定义可得答案；（2）由题可得，后分B为空集，B不为空集两种情况讨论即可得答案.
【详解】（1）若，则.
则，或，
或；
（2）因，则.
当时，则；
当时，则.
综上可得，的范围是.
20．已知不等式，集合．
(1)求不等式的解集；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解含绝对值的不等式得到解集；
（2）由题意，列不等式求实数m的取值范围．
【详解】（1）不等式等价于，解得，
即
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，
有，解得，经检验等号可以成立，
实数m的取值范围为.
21．已知命题，命题.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由条件可得命题为真命题，列出不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，先求得当命题为真命题时的范围，即可得到为真命题时的范围，再结合（1）中的结论，即可得到结果.
【详解】（1）若命题为假命题，则命题为真命题，
即在恒成立，所以，
即实数的取值范围是.
（2）当命题为真命题时，因为，
所以，解得或，
因为为真命题，则，
又由（1）可知，命题为真命题时，
所以且，即实数的取值范围是.
22．已知关于的x不等式．
(1)若时，求不等式的解集；
(2)若，解这个关于的不等式；
(3)，恒成立，求a的范围
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）由题可得，即可得答案；（2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案；（3）由题，可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案.
【详解】（1）时，
，则解集为：；
（2）当时，；
当时，
当时，有，则此时不等式解集为：；
当，.
若，即时，不等式解集为：；
若，即时，不等式解集为：；
若，即时，不等式解集为空集.
综上，时，解集为；时，解集为；
时，解集为；
时，解集为；时，解集为；
（3），
因，则.
则题目等价于.
令，因，则.
则
注意到函数在时单调递增，
则，即.