2023-2024学年江西省铜鼓中学高一上学期数学阶段性测试试题（二）含答案

这是一份2023-2024学年江西省铜鼓中学高一上学期数学阶段性测试试题（二）含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．且
C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，进而根据并集的定义求解即可.
【详解】因为，，
则.
故选：C.
2．“，为真命题”是“” 的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】将全称命题为真命题转化为恒成立问题，利用二次函数的性质及充分必要条件的定义即可求解.
【详解】因为，为真命题，
所以不等式在上恒成立，等价于即可，
令，则
由二次函数的性质知，对称轴方程为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
所以，
所以“为真命题”是“” 的必要不充分条件，即“，为真命题”是“” 的必要不充分条件.
故选：C.
3．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解集，可得是方程的根，得到的关系，再解可得答案.
【详解】不等式的解集为，
可得是方程的根，
所以，且，解得，
由不等式可得，
由得，
所以，解得，
则不等式的解集为.
故选：B.
4．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】推导出，，由是的充分不必要条件，列出不等式组，能求出实数的取值范围．
【详解】解：，即，
，即，
是的充分不必要条件，
，解得．
实数的取值范围为．
故选：．
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查充分不必要条件、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5．下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，.
其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）
【答案】B
【分析】利用函数的定义，逐项分析是否满足定义判断即可．
【详解】（1），其中，；满足函数的定义，（1）正确；
（2），其中，，，不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确；
（4），其中，，，当时，对应的，（4）不正确．
故选：B
6．已知，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1
【答案】D
【分析】先对函数进行化简变形，然后利用均值不等式即可求出结果.
【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，
故有最小值1，
故选：D.
7．若函数定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得出，不等式的解集为，从而讨论，当时，，满足题意；当时，，解出的范围即可．
【详解】解：的定义域为，
不等式的解集为，
①当时，恒成立，满足题意；
②当时，，解得，
实数的取值范围为．
故选：A．
8．若函数的定义域是，则函数的定义域是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域求出函数的定义域，再求函数的定义域．
【详解】解：解：由函数的定义域是，
得，
所以，
所以函数的定义域为，
函数中，
令，
解得，
所以函数的定义域是．
故选D．
【点睛】本题考查了抽象函数的定义域求法与应用问题，是基础题．
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【分析】根据同一函数的定义，结合函数的三要素进行逐一判断即可.
【详解】对于选项A：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数；
对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数；
对于选项C：函数，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数；
对于选项D：函数的定义域为或，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，
故选：AC
10．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．的最小值是1
C．的最大值为2D．最小值为
【答案】BD
【分析】利用不等式性质及基本不等式，对选项逐个进行判断作答.
【详解】对于A，当时，，A不正确；
对于B，，当且仅当时取“=”，B正确；
对于C，，当且仅当时取“=”，C不正确；
对于D，，
当且仅当，即时取“=”，D正确.
故选：BD
11．关于函数的性质描述，正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．的图象关于点对称D．在定义域上是减函数
【答案】ABC
【分析】首先对原式分离常数，再根据函数性质即可求解.
【详解】由题可知，，分母不能为，则，A正确；，，即值域为，B正确；关于原点对称，可以由的图像先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则对称中心平移为，C正确；在上不符合函数单调性的定义，D错误.
故选：ABC
12．若函数在上是减函数，则关于实数a的可能取值是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】AB
【分析】先考虑各部分函数的单调性，然后分析两段函数在处的函数值的大小关系，从而求解出的取值范围.
【详解】当时，在上递减，所以对称轴，
当时，在上递减，所以，
又因为当时，，所以，
综上可知：.
所以实数a的可能取值为内的任意实数.
故选：AB
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由题可列出不等式组，解之即得.
【详解】要使函数有意义，
须满足，
解得且，
故函数的定义域为．
故答案为：．
14．已知函数满足，且，则 .
【答案】
【分析】用替换,再解方程组可得答案.
【详解】由①，
用替换，得②，
①×2－②，得，得.
故答案为：.
15．函数的单调递减区间为 ．
【答案】.
【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令且其对称轴为，且，
的单调减区间是， 又∵在上是增函数，
∴函数的单调递减区间为.
故答案为：.
16．已知，则的最大值为 ．
【答案】/0.25
【分析】利用基本不等式即得.
【详解】∵，
∴，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．求下列函数的解析式.
（1）已知，求；
（2）已知一次函数满足，求.
【答案】（1）；（2）或．
【详解】试题分析：（1）设，则，求解的表达式，即可求解函数的解析式；（2）设，根据，求得的值，即可求解函数的解析式.
试题解析：（1）（换元法）设，则，
∴，
∴.
（2）（待定系数法）∵是一次函数，∴设，则
，
∵，∴，解得或.
∴或.
【解析】函数的解析式.
18．已知：集合集合
（1）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
（2）若,求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先解出集合，由条件可知，列不等式求的取值范围；（2）由条件可知，再分和两种情况列式求的取值范围.
【详解】解：（1），
因为是的充分不必要条件，所以.
即：，（等号不能同时取）
故m的范围为
（2）因为所以
①当时：，
②当时：
， 即
综上可得：m的范围为
【点睛】本题考查根据充分必要条件，以及集合的包含关系求参数的取值范围，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
19．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据基本不等式构造积为定值，即可求出函数的最小值；
（2）由不等式恒成立，即，解不等式即可.
【详解】解：（1），
，
，
当且仅当 ，
即时，上式取得等号，
又 ，
，
当时，函数的最小值是；
（2）由（1）知的最小值是，
∴不等式恒成立等价于，
即，
解得：．
20．已知函数，.
（1）求的值；
（2）用定义证明函数在上为增函数；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）先求的值，再求的值即可；
（2）任取，且，作差、通分、分解因式，判断出，即可证明函数在上为增函数；
（3）利用函数单调性，结合函数的定义域，将不等式转化为不等式组，即可求实数的取值范围.
【详解】因为，
所以.
（2）任取，且，
则
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
（3）由（2）知在上为增函数.
又，所以
解得即，
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意应用函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．解题过程中，一定注意抽象函数的定义域.
21．已知函数
（1）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
（2）求函数的最小值；
【答案】（1）或；（2）详见解析.
【分析】（1）由的增区间为，减区间为，
讨论与区间的关系即可得解；
（2）由含参二次函数在区间上的最值问题可得分别讨论① ②③函数在上的单调性，从而求得最小值.
【详解】解：（1）因为，
即的增区间为，减区间为，
又在区间上是单调函数，
则或，即或时，
在区间[-5，5]上是单调函数；
（2）
所以函数的对称轴方程为，
①即时，在上为增函数，
所以当时，取最小值且；
②当，即时，时取最小值且；
③当即时，在上为减函数，
所以当时，取最小值且 ；
综上所述：当时，
当时，，
当时，.
【点睛】本题考查了含参二次函数的单调性及含参二次函数在区间上的最值问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
五、证明题
22．函数对任意的都有,并且时，恒有.
(1).求证：在R上是增函数；
(2).若解不等式
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用函数的单调性的定义，结合已知条件转化，证明f（x）在R上是增函数；
（2）利用已知条件通过f（3）＝4，求出2＝f（1），然后利用函数的单调性解不等式f（a2+a﹣5）＜2．
【详解】(1).设,且,则,所以
即,所以是R上的增函数.
(2).因为,不妨设,所以,即，，所以.
，因为在R上为增函数，所以得到,
即.
【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性证明以及函数的单调性的应用，考查计算能力．