2022-2023学年河南省济源第一中学高一下学期3月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省济源第一中学高一下学期3月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设向量，，如果与共线且方向相反，则t的值为（ ）
A．1B．-1C．-2D．2
【答案】B
【分析】根据与共线，利用共线向量定理求解.
【详解】已知向量，，
因为与共线，
所以，
又因为方向相反，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查共线向量定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
2．在中，，，，则的解的个数为（ ）
A．1B．2C．无解D．无法确定
【答案】A
【分析】利用正弦定理求出的值，再由小边对小角即可判断.
【详解】在中，由正弦定理可得：，
所以，
因为，所以，所以角是锐角，进而可得角和边都是唯一的，
所以的解的个数为，
故选：A.
3．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】判断选项中各组向量是否共线，即可得答案.
【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，
都可作为平面向量的基底，
而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底.
故选:D.
4．已知中，，，，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，结合平面向量数量积的运算可求得的值，求出，进而可得出、的夹角.
【详解】，，
所以，，
，则，因此，与的夹角是.
故选：D.
5．在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用向量减法的三角形法则，转化为和即可．
【详解】=﹣=+﹣=+﹣
=+（﹣）﹣
=﹣，
故选D．
【点睛】本题考查利用基底表示向量，解题关键理解向量加法、减法、数乘的几何意义,属于基础题.
6．已知向量，为非零向量，有以下四个命题：
甲：；乙：；丙：与的方向相反；丁：．
若以上关于向量，的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】分析可知甲与乙肯定有一个不正确，再分类讨论即可得解.
【详解】由题意知，甲与乙肯定有一个不正确，
若甲正确，则丙也不正确，不合题意；
若甲错误，乙、丙、丁可以同时正确；
故甲不正确．
故选：A.
7．已知三角形的三边长分别为3，4，，若该三角形是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A．，B．C．，，D．，，
【答案】D
【解析】根据题意分两种情况，分别由边角关系判断出最大角，根据三角形三边关系和余弦定理列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】由题意，为钝角三角形，三边长分别为3，4，，
可得当4是最大边时，4所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零，
则，解得，
当是最大边时，所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零，
则，解得，
综上可得，的取值范围是，，，
故选：.
8．在中，时，角A的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理得，再利用余弦定理结合正弦函数图象与性质即可得到角A的范围.
【详解】∵中，，
∴由正弦定理化简得：，即，
∴，
∵A为三角形的内角，∴，
则A的范围为.
故选：B.
9．在中，角对边为，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
在中，由余弦定理：，
代入得，，即，
所以.
所以直角三角形.
故选：B
10．如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值.
【详解】∵，∴，
又，∴，
∵B，P，D三点共线，∴，∴.
故选：A.
11．在中，已知，，边上的中线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，是的中点, 在中由余弦定理可求得进而得到,然后在中利用余弦定理求得,再利用正弦定理即可求得.
【详解】取的中点，连接,是的中点，所以是的中位线，，在中由余弦定理可得，所以，所以, 所以，在中，由余弦定理得，所以，根据正弦定理得，所以.
故选：.
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，属中档题.
12．已知为内一点，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作，的中点，连接，，利用题中条件，化简得到与的关系，即可得到结果.
【详解】如图，设,分别为，的中点，连接，，则，
，
,
故点在上，
，
，
，
到的距离等于到的距离的，
为，
故选：.

二、填空题
13．已知向量，.若为锐角，则x的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据向量的夹角定义及向量的数量积运算求解即可．
【详解】∵为锐角，
∴，且，不共线，
∴，解且，
∴x的取值范围为．
故答案为：．
14．已知，，且，则与方向相同的单位向量的坐标为 .
【答案】
【分析】由运算可得，再根据方向相同的单位向量为，可得解.
【详解】∵，，且，
∴，
∴，故，
∴与方向相同的单位向量为，
故答案为：.
15．已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则 ．
【答案】
【分析】先求得在向量上的投影，再根据为在向量上的投影，求得的坐标，然后由求解.
【详解】因为点，，
所以，又向量，
所以在向量上的投影，
所以
因为，
所以，
故答案为：
16．有两个斜边长相等的直角三角板，其中一个为等腰直角三角形，另一个边长为3，4，5，将它们拼成一个平面四边形，则不是斜边的那条对角线长是 .
【答案】/
【分析】设，可得，，进而求得，在中，由余弦定理可求得答案.
【详解】如图所示，，，
，，，，
设，，，
，
∴在中，由余弦定理可得，，
∴.
故答案为：.
三、计算题
17．已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
【答案】(1)
(2)
【分析】根据数量积的计算规则计算.
【详解】（1），，与的夹角是，
则，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.则当k为时，；、
综上，（1），（2）.
四、解答题
18．在中，角所对的边分别为， .
（1）求角的大小；
（2）若求
【答案】（1） ；（2）或.
【解析】（1）利用正弦定理可以得到，即可求出角的大小；（2）利用余弦定理并结合（1）中的结论，可以求出，然后解方程组即可求解
【详解】解（1）
由正弦定理可得：
在中，
（2）由余弦定理得：
或
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
19．已知向量，，，．
（1）求的最小值及相应的t值；
（2）若与共线，求实数t．
【答案】（1）最小值为，；（2）．
【分析】（1）由向量的坐标运算和模的计算公式计算，再由二次函数求最值即可；
（2）由平面向量共线的充要条件列方程解得可得．
【详解】解：（1）因为，，
所以，
所以．
当且仅当时取等号，即的最小值为，此时．
（2）因为，
又与共线，，
所以，
解得．
五、问答题
20．如图，点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，，，与所成角是.
(1)若，求实数x，y的值；
(2)求线段EF的长度.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意，可得，化简得到，再结合条件得到的值；
（2）由，结合条件，求出线段EF的长度即可.
【详解】（1）由题意，可得．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴，，
∴①+②得，，
∴，又，
∴，．
（2）∵，，，所成角为，
∴，
∴，
∴线段EF的长度为.
六、解答题
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求角A；
(2)若点D在边AC上，且，求△BCD面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式，诱导公式变形可求得；
（2）由平面向量的线性运算求得，，用余弦定理及基本不等式求得的最大值，可得面积的最大值，从而得结论．
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，即，
三角形中，所以，而，所以；
（2）由得，，所以，，
在中由余弦定理，即，当且仅当时等号成立，
所以，，
所以△BCD面积的最大值为．
七、问答题
22．在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理可得.
（2）根据，二倍角公式和辅助角公式可将转化为
，再根据正弦函数的性质可得最大值.
【详解】（1），所以，
故，又因为，所以.
（2）
当，即时，有最大值1，
故的最大值为.