2023-2024学年新疆维吾尔自治区高一初高中衔接入学考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆维吾尔自治区高一初高中衔接入学考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）
A．圆锥B．球C．圆柱D．棱柱
【答案】B
【分析】依据圆锥、球、圆柱、棱柱的结构特征去判断平面截圆锥、球、圆柱、棱柱等几何体所得截面的情况即可.
【详解】选项A：当平面过圆锥的轴时所得截面为等腰三角形.不合题意；
选项B：平面截球所得截面为大圆或小圆.符合题意；
选项C：当平面过圆柱的轴时所得截面为矩形.不合题意；
选项D：当平面平行于棱柱的底面时所得截面为与底面全等的多边形. 不合题意.
故选：B
2．在中，a、b、c为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】A
【分析】利用方程根的判别式可得，结合勾股定理的逆定理即可.
【详解】因为方程有两个相等的实数根，
所以，即，
所以
所以
所以是直角三角形.
故选：A
3．如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°，若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用扇形面积减去的面积来求得正确答案.
【详解】，
图中阴影部分的面积是.
故选：B
4．某中学每年都要举行秋季运动会，为了进一步科学地指导学生提高运动成绩，某体育老师在学校的秋季运动会上根据一名同学1500m跑的测试情况绘成下图，图中是一条折线段，图形反映的是这名同学跑步的时间与距离的关系，由图可知下列说法错误的是（ ）
A．这名同学跑完1500m用了6分钟，最后一分钟跑了300m
B．这名同学的速度越来越快
C．这名同学第3到第5分钟的速度最慢
D．这名同学第2、第3分钟的速度是一样的
【答案】B
【分析】根据图象判断同学跑步速度变化情况及总路程和时间关系，即可判断各项的正误.
【详解】由图知：6分钟跑完1500m且最后一分钟跑了300m，A正确；
前5分钟，第0到1分钟斜率最大，第1到3分钟、第3到5分钟斜率依次变小，而从第5到6分钟斜率再次变大，
所以B错误，C、D正确.
故选：B
5．等腰直角三角形的腰长为，该三角形的重心到斜边的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由重心性质及等腰直角三角形性质求解．
【详解】如图，是等腰直角三角形，是直角顶点，是斜边中点，则，
，则，，是的重心，则在上，且．所以重心到斜边的距离为．
故选：D．
6．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据进而得，即可求解.
【详解】∵，∴，∴，∴．
故选：B．
7．如图，边长为的正方形，点F为正方形的中心，点E在的延长线上，．的半径为，圆心O在线段EF上从点E出发向点F运动，小明发现：当满足①；②；③；④时，与正方形的边只有两个公共点，你认为小明探究结论正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①③④
【答案】A
【分析】根据给定的图象，确定与正方形边的两个公共点位置，结合点A与圆的位置关系求出范围作答.
【详解】依题意，，有，④不正确；
因与正方形边有两个公共点，则这两个公共点只能在边上，当且仅当点A在内或与AB相切，
当点A在内时，，即，解得，①正确，②不正确；
当与AB相切时，圆心O在线段AF上，到AB的距离为1，则，，③正确，
所以小明探究结论正确的是①③.
故选：A
8．如图为二次函数的图象．
在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象特征即可结合选项逐一判断.
【详解】①利用图象中抛物线开口向上可知，与y轴负半轴相交可知，所以．
②图象中抛物线与x轴交点的横坐标为－1，3，可知方程的根是，．
③从图中可知抛物线上横坐标为1的点在第四象限内，所以．
④从与x轴两交点的横坐标为－1，3可知抛物线的对称轴为x＝1且开口向上，所以当时，y随x的增大而增大．所以正确的说法是：①②④．
故选:C．
二、多选题
9．对于实数，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【解析】利用等式的性质逐一判断可得答案．
【详解】对于A，若，则，正确；
对于B，若，则，正确；
对于C，若，则，正确；
对于D，若，则，错误，当时，与不一定相等；
故选：ABC
【点睛】本题考查等式的性质，考查学生逻辑推理能力，属于基础题．
10．某院校教师情况如下表所示.
关于2020年、2021年、2022年这三年该院校的教师情况，下面说法正确的是（ ）
A．2021年的男教师最多
B．该校教师最多的是2022年
C．2021年中年男教师比2020年中年男教师多80人
D．2020年到2022年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为220％
【答案】BCD
【分析】根据表格的信息进行数据分析，统计各年男教师人数，教师人数即可得答案；
【详解】对A，2020年男教师有460，2021年男教师有730，2022年男教师有1020，故A错误；
对B，2020年教师有680，2022年教师有1720，2021年教师有1090,故B正确；
对C，2021年中年男教师320，2020年中年男教师240，故C正确；
对D，该校青年年龄段的男教师人数增长率为，故D正确；
故选：BCD
11．若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由韦达定理得，，由已知等式列方程求解，注意即可得．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，
∴，，，
∵，
∴，即，
解得：，，
当时，，
∴此时方程无实数根，不合题意，舍去，
当时，，
∴此时方程有两个不相等实数根，
∴的值为，
故选：ABD．
12．对于反比例函数（为常数）下列说法正确的选项是（ ）
A．函数图象位于第一、三象限
B．函数值随的增大而减小
C．若是图象上三个点，则
D．为图象上任一点，过作轴于点，则的面积是定值
【答案】AD
【分析】根据反比函数的图象性质即可求解.
【详解】因为，
所以函数图象位于第一、三象限，故A正确；
在每个象限内，函数值随的增大而减小，故B错误；
若是图象上三个点，
则，故C错误；
为图象上任一点，过作轴于点，
则的面积为为定值，故D正确.
故选:AD.
三、填空题
13．已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数 ．
【答案】
【分析】利用韦达定理化简，即可求.
【详解】由题设，
又，
所以，可得.
故答案为：2
14．已知，请写出满足等式成立的一组的值 .
【答案】答案不唯一.
【分析】由于没有限制，可根据题意设两个数字，找出符合等式的另一个数.
【详解】解：由题知，，不妨假设，可知符合题意，或互为相反数，也可满足.
故答案为:（答案不唯一）.
15．构建几何图形解决代数问题是数形结合思想的重要应用.在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，得，所以.类比这种方法，计算的值为 .
【答案】/
【分析】可考虑构造，同时令，结合三角函数即可求解.
【详解】如图，作，，，延长，使，
连接，得，设，则，
所以.
故答案为：
16．方程的两根都在区间内，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可.
【详解】设方程的两个根为，则有，
所以有且且，
由；
由，显然成立；
由，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
四、解答题
17．解方程组
【答案】{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.
【分析】化简可得x＋y＝0或x－y－5＝0，然后分别与联立解方程即可.
【详解】由x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0，
所以x＋y＝0或x－y－5＝0，
所以原方程组可化为两个方程组：
或
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
或或或，
所以原方程组的解集为{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.
【点睛】本题主要考查解方程组，重在考查计算，属基础题.
五、证明题
18．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）通过证明来证得直线是⊙O的切线.
（2）解直角三角形求得，由此求得；通过平行线分线段成比例求得.
【详解】（1）连接，由于是⊙O的直径，所以，
由于，
所以是的中点，且，
由于，所以，
由于，
所以，即，
所以直线是⊙O的切线.
（2）在直角三角形中，
，
所以，，
所以，
过作，垂足为，
在直角三角形中，
，
所以，，
由于，
所以，
所以，
解得，所以.
六、解答题
19．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作圆，粒子在点注入，经过优弧后，在点引出，粒子注入和引出路径都与圆相切，，是两个加速电极，粒子在经过时被加速．已知，粒子注入路径与的夹角，所对的圆心角是90°．
(1)求圆的直径；
(2)比较与的长度哪个更长．（相关数据：）
【答案】(1)20km；
(2)AB的长度更长.
【分析】（1）连接OA，过O作OE⊥AB于E，结合tan∠EAO=求，再由弦长、半径、弦心距的关系求半径，即可得结果；
（2）弧长的求法可得为，再与比较大小即可.
【详解】（1）连接OA，过O作OE⊥AB于E，
因为粒子注入和引出路径都与圆相切，
所以∠EAO=90°-，
因为OE⊥AB，OE所在的是直径，AB为弦，
所以AE=BE=，则tan∠EAO=，
所以km，
所以AOkm，
所以圆的直径为2×10=20 km；
（2）的长l=，
因为，所以，
则AB的长度更长．
20．为庆祝中国共产党建党周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加党史知识测试(满分分)为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：，
八年级：，
整理数据：
分析数据：
应用数据：
(1)填空：______，______，______，______；
(2)若八年级共有人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于分的人数；
(3)从测试成绩优秀的学生中选出名语言表达能力较强的学生，其中八年级名，七年级名．现从这名学生中随机抽取名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【答案】(1)1，4，，；
(2)人；
(3)．
【分析】(1)根据已知数据结合中位数和众数的概念即可求出a、b、c、d的值；
(2)根据调查的10人中成绩大于95分的人占的比例即可估计；
(3)可采用化树状图的方法求解，列出所有可能的结果，再数出其中两同学为同年级的结果数即可计算概率．
【详解】（1）八年级的数据为：，
介于90(不含)到95(含)之间的有：95，共1个，故a=1，
介于95(不含)到100(含)之间的有：100，98，98，98，共4个，故b=4；
将数据从小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
中间的两个数为90和95，故中位数c==92.5，
七年级的数据：，其中95出现次数最多，故其众数d=95．
（2）八年级的数据为：，
其中大于95的有100，98，98，98，共4个，占的比例为，
故估计八年级测试成绩大于分的人数为人；
（3）画树状图为：
共有种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为，
∴抽到同年级学生的概率为．
21．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
；
；
(2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值；
(3)若关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求的最大值．
【答案】(1)不是“邻根方程”， 是 “邻根方程”
(2)或
(3)
【分析】（1）分别求出、的根，即可判断；
（2）利用求根公式解出方程，利用，即可解出答案；
（3）利用求根公式解出方程，利用，可得，代入，利用二次函数的最值，即可解出答案.
【详解】（1），
所以，
所以，，，故不是“邻根方程”；
，
所以，
所以，故是 “邻根方程”；
（2）因为方程（是常数）是“邻根方程”，
所以方程必有两不相等实根，即，记，
由求根公式有：，
所以，
解得：或；
（3）因为方程是“邻根方程”， 记，
所以，
所以，
所以当时，的最大值为.
22．如图，对称轴为直线的抛物线经过点和．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)设点是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
(3)当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．
【答案】(1)；顶点坐标
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为，将点与代入，列方程组，求解即可.
（2）过点作，垂足为，由题意可知，，即，求解即可.
（3）根据（2）的计算结果，将代入解析式中求得的值，进而求出点坐标，通过点坐标判断平行四边形是否为菱形.
【详解】（1）根据题意，设抛物线的解析式为，
抛物线经过点与，
，解得：.
抛物线的解析式为，此时顶点坐标为.
（2）过点作，垂足为，如图：
由，得，.
点是抛物线上位于第一象限的动点，
，.
四边形是平行四边形，
，
即.
故四边形的面积与之间的函数关系式为，其中.
（3）根据（2）的计算结果，将代入函数关系式中可得：，解得或.
当时，点坐标为，此时，即平行四边形为菱形；
当时，点坐标为，此时，即平行四边形不是菱形.
类别
年度
老年
中年
青年
男
女
男
女
男
女
2020
120
60
240
120
100
40
2021
210
40
320
200
200
120
2022
300
150
400
270
320
280