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2023-2024学年吉林省长春市第二实验中学十一校联考高一上学期期中考试数学含答案
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这是一份2023-2024学年吉林省长春市第二实验中学十一校联考高一上学期期中考试数学含答案，文件包含数学试题docx、数学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算求解即可.
【详解】
因为，
所以．
故选：B.
2. “所有的长方体都有12条棱”的否定是（）
A. 所有的长方体都没有12条棱B. 有些长方体没有12条棱
C. 有些长方体有12条棱D. 所有的长方体不都有12条棱
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称命题否定的方法进行判断.
【详解】“所有长方体都有12条棱”的否定是“有些长方体没有12条棱”.
故选：B.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.
【详解】因为的定义域为，所以，解得．
故选：D.
4. 高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（）
A. 3人B. 2人C. 1人D. 4人
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形即可得到方程，解出即可.
【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得．
故选：C.
5. 函数部分图象大致为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
6. 设等腰三角形腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若“的周长为16”，则，解得，
所以“其中一条边长为6”.
若“其中一条边长为6”，如，
则，此时三角形的周长为，
即无法得出“的周长为16”，
所以“的周长为16”是“其中一条边长为6” 充分不必要条件.
故选：A
7. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】不等式转化为．
当，即时，恒成立，符合题意．
当时，，解得．
故的取值范围为．
故选：D.
8. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】依题意，定义域为的函数满足，
所以的图象关于直线对称，
而时，恒成立，
所以在区间上单调递增，
，
，，
，
所以，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.
【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，
故两函数是同一个函数，所以A正确；
选项B，因为的定义域为，而的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以B错误；
选项C，，且定义域都，
故两函数是同一个函数，所以C正确；
选项D，的定义域为，的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知幂函数满足，则（）
A. B.
C. 的图象经过原点D. 的图象不经过第二象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得，结合图象逐项判断即可得答案.
【详解】设幂函数，根据题意可得，解得，则，
的图象如图所示：
则的图象经过原点，不经过第二象限．
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，则“为偶函数”的一个必要不充分条件可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用偶函数的性质逐项判断即可.
【详解】若为偶函数，不一定成立，但，
．
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故A正确；
若，则为偶函数，是“为偶函数”的一个充分必要条件，故B错误；
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个不必要不充分条件，故C错误；
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故D正确；
故选：AD.
12. 函数在上的最大值为4，最小值为，则的值可能为（）
A. B. C. 8D. 9
【答案】BCD
【解析】
【分析】分类讨论得到的图象，然后分、和三种情况讨论求解即可.
【详解】当时，；
当时，．作出的图象，如图所示．
当时，由，即，解得．
当时，．
当时，由，即，解得．
当时，．
根据在上的最大值为4，最小值为，可对作如下讨论：
若，则，不合题意；
若，则，不合题意；
若，则，令，解得（舍去）或5．
综上可得，，，故．
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为______元．
【答案】13
【解析】
【分析】根据题意得到王先生的停车时长，然后求停车费即可.
【详解】依题意得，王先生的停车时长为4小时35分，则按5小时计费，王先生应付的停车费为元．
故答案为：13.
14. 已知是定义在上的奇函数，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因为是奇函数，
则恒成立，
即恒成立，
化简得，因为该等式对恒成立，
所以.
故答案为：；.
15. 已知，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，所以，
则．
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：
16. 已知是定义在上的单调函数，且，，则______．
【答案】14
【解析】
【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.
【详解】，，是定义在上的单调函数，
则为定值，设，则，
，解得，得，
所以.
故答案为：14.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到集合，然后求交集即可；
（2）根据得到，然后分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
当时，，
因为，所以．
【小问2详解】
因为，所以．
当时，，解得．
当时，，解得．
综上，m的取值范围为．
18. 已知正实数，满足．
（1）求的最大值；
（2）证明：．
【答案】（1）9 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求最大值即可；
（2）利用基本不等式证明即可.
【小问1详解】
解：因为，，，所以，
则，解得，即，
当且仅当时，等号成立．
故的最大值为9．
【小问2详解】
证明：（方法一）因为，
解得或（舍去），
当且仅当时，等号成立．
故，即得证．
（方法二）由（1）得，则，故，即得证．
19. 已知函数．
（1）求的解析式；
（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明详见解析
【解析】
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
，
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
20. 已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值.
【答案】（1）当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低
（2），最大值为万元
【解析】
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.
【小问2详解】
依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元.
21. 已知关于的不等式．
（1）若原不等式的解集为或，求的值；
（2）若，且原不等式的解集中恰有8个质数，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和方程的根之间的关系求解即可；
（2）根据不等式的解集和质数的定义列不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，1是关于的方程的两根，且，
则，，
解得．
【小问2详解】
不等式可化，
因为，所以关于的方程的两根为1，，
且，
因为关于的不等式的解集为：，
解集中恰有8个质数，
所以，
解得，即的取值范围为．
22. 已知定义在上的函数满足，，．
（1）试判断的奇偶性，并说明理由．
（2）证明：．
【答案】（1）偶函数，证明见详解
（2）证明详解
【解析】
【分析】（1）令，可得，再令，结合偶函数的定义即可判定；
（2）令，可得，又，即可证明原不等式成立.
【小问1详解】
为偶函数，理由如下：
令，
由，
得，又，
所以，
令，则，
所以，即，，
故为偶函数.
【小问2详解】
令及，可得
，
所以，即，
又，
当时，等号成立，
故，
即，
故原不等式得证.
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算求解即可.
【详解】
因为，
所以．
故选：B.
2. “所有的长方体都有12条棱”的否定是（）
A. 所有的长方体都没有12条棱B. 有些长方体没有12条棱
C. 有些长方体有12条棱D. 所有的长方体不都有12条棱
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称命题否定的方法进行判断.
【详解】“所有长方体都有12条棱”的否定是“有些长方体没有12条棱”.
故选：B.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.
【详解】因为的定义域为，所以，解得．
故选：D.
4. 高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（）
A. 3人B. 2人C. 1人D. 4人
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形即可得到方程，解出即可.
【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得．
故选：C.
5. 函数部分图象大致为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
6. 设等腰三角形腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若“的周长为16”，则，解得，
所以“其中一条边长为6”.
若“其中一条边长为6”，如，
则，此时三角形的周长为，
即无法得出“的周长为16”，
所以“的周长为16”是“其中一条边长为6” 充分不必要条件.
故选：A
7. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】不等式转化为．
当，即时，恒成立，符合题意．
当时，，解得．
故的取值范围为．
故选：D.
8. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】依题意，定义域为的函数满足，
所以的图象关于直线对称，
而时，恒成立，
所以在区间上单调递增，
，
，，
，
所以，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.
【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，
故两函数是同一个函数，所以A正确；
选项B，因为的定义域为，而的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以B错误；
选项C，，且定义域都，
故两函数是同一个函数，所以C正确；
选项D，的定义域为，的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知幂函数满足，则（）
A. B.
C. 的图象经过原点D. 的图象不经过第二象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得，结合图象逐项判断即可得答案.
【详解】设幂函数，根据题意可得，解得，则，
的图象如图所示：
则的图象经过原点，不经过第二象限．
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，则“为偶函数”的一个必要不充分条件可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用偶函数的性质逐项判断即可.
【详解】若为偶函数，不一定成立，但，
．
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故A正确；
若，则为偶函数，是“为偶函数”的一个充分必要条件，故B错误；
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个不必要不充分条件，故C错误；
由不能推出为偶函数，所以是“为偶函数”的一个必要不充分条件，故D正确；
故选：AD.
12. 函数在上的最大值为4，最小值为，则的值可能为（）
A. B. C. 8D. 9
【答案】BCD
【解析】
【分析】分类讨论得到的图象，然后分、和三种情况讨论求解即可.
【详解】当时，；
当时，．作出的图象，如图所示．
当时，由，即，解得．
当时，．
当时，由，即，解得．
当时，．
根据在上的最大值为4，最小值为，可对作如下讨论：
若，则，不合题意；
若，则，不合题意；
若，则，令，解得（舍去）或5．
综上可得，，，故．
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为______元．
【答案】13
【解析】
【分析】根据题意得到王先生的停车时长，然后求停车费即可.
【详解】依题意得，王先生的停车时长为4小时35分，则按5小时计费，王先生应付的停车费为元．
故答案为：13.
14. 已知是定义在上的奇函数，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因为是奇函数，
则恒成立，
即恒成立，
化简得，因为该等式对恒成立，
所以.
故答案为：；.
15. 已知，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，所以，
则．
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：
16. 已知是定义在上的单调函数，且，，则______．
【答案】14
【解析】
【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.
【详解】，，是定义在上的单调函数，
则为定值，设，则，
，解得，得，
所以.
故答案为：14.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到集合，然后求交集即可；
（2）根据得到，然后分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
当时，，
因为，所以．
【小问2详解】
因为，所以．
当时，，解得．
当时，，解得．
综上，m的取值范围为．
18. 已知正实数，满足．
（1）求的最大值；
（2）证明：．
【答案】（1）9 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求最大值即可；
（2）利用基本不等式证明即可.
【小问1详解】
解：因为，，，所以，
则，解得，即，
当且仅当时，等号成立．
故的最大值为9．
【小问2详解】
证明：（方法一）因为，
解得或（舍去），
当且仅当时，等号成立．
故，即得证．
（方法二）由（1）得，则，故，即得证．
19. 已知函数．
（1）求的解析式；
（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明详见解析
【解析】
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
，
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
20. 已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值.
【答案】（1）当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低
（2），最大值为万元
【解析】
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.
【小问2详解】
依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元.
21. 已知关于的不等式．
（1）若原不等式的解集为或，求的值；
（2）若，且原不等式的解集中恰有8个质数，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和方程的根之间的关系求解即可；
（2）根据不等式的解集和质数的定义列不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，1是关于的方程的两根，且，
则，，
解得．
【小问2详解】
不等式可化，
因为，所以关于的方程的两根为1，，
且，
因为关于的不等式的解集为：，
解集中恰有8个质数，
所以，
解得，即的取值范围为．
22. 已知定义在上的函数满足，，．
（1）试判断的奇偶性，并说明理由．
（2）证明：．
【答案】（1）偶函数，证明见详解
（2）证明详解
【解析】
【分析】（1）令，可得，再令，结合偶函数的定义即可判定；
（2）令，可得，又，即可证明原不等式成立.
【小问1详解】
为偶函数，理由如下：
令，
由，
得，又，
所以，
令，则，
所以，即，，
故为偶函数.
【小问2详解】
令及，可得
，
所以，即，
又，
当时，等号成立，
故，
即，
故原不等式得证.
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