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2023-2024学年浙江省余姚中学浙南名校联盟高一上学期期中联考数学试题word版含答案
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这是一份2023-2024学年浙江省余姚中学浙南名校联盟高一上学期期中联考数学试题word版含答案,文件包含浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题Word版无答案docx、2023学年第一学期浙南名校联盟期中联考docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共16页, 欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.
【答案】A
2.
【答案】C
3.
【答案】B
【解析】
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】B
8.
【答案】A
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.
【答案】AD
10. 【答案】BD
【答案】BCD
12.
【答案】ACD
非选择题部分
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.【答案】##
14.【答案】##
15.【答案】
16.【答案】或或
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若,求实数m的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据分式不等式,解得集合的元素,根据题意,明确集合的元素,结合并集运算,可得答案;
(2)利用分类讨论思想,结合题意,分情况建立不等式组,可得答案.
【小问1详解】
根据题意,集合.
当时,,则;
【小问2详解】
,则,
若,则,此时;若,则有,此时m无解.
综合知实数m的取值集合为.
18. 函数为定义在上的奇函数,已知当时, .
(1)当时,求的解析式;
(2)判断在上的单调性,并利用单调性的定义证明;
(3)若,求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增,证明见解析
(3)
【解析】
【分析】(1)当时,,代入函数解析式根据奇函数性质得到答案.
(2)确定在上的单调递增,任取,,且,计算得到证明.
(3)确定为上的增函数,变换得到,根据函数的单调性解不等式得到答案.
【小问1详解】
当时,,则,
因为函数为奇函数,所以,
即时,的解析式为;
【小问2详解】
在上的单调递增,
证明如下:
任取,,且,则,
因为,,且,所以,,,
则,即,
所以在上的单调递增;
【小问3详解】
在上的单调递增,且函数为上的奇函数,
故为上的增函数.
由,,
于是,所以,
解得,即.
19. 某厂家在“双11”中拟举办促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂家的年产量)万件与年促销费用万元满足关系式(为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是1万件.已知生产该产品的固定年投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)求的值,并将该产品的年利润(万元)表示为年促销费用(万元)的函数;
(2)该厂家年利润的最大值为多少万元?为此需要投入多少万元的年促销费用?
【答案】(1)2;;
(2)厂家的年利润最大值为万元,为此需要投入万元的促销费用.
【解析】
【分析】(1)由时,,可求得的值,得到,而每件产品的销售价格为,代入利润关于的函数中,化简可得结果;
(2)利用基本不等式可求得,当且仅当,即时取等号,从而可求出年利润的最大值.
【小问1详解】
解:由题意可知:当时,(万件),
,解得:,
,又每件产品的销售价格为,
年利润
,
即.
【小问2详解】
解:,
,则,(当且仅当,即时取等号),
此时年利润(万元),
该厂家的年促销费用投入万元时,厂家的年利润最大,最大为万元.
20. 设函数为实数 .
(1)当时,求方程的根;
(2)当时,设函数,若对任意的,总存在着,使得成立,求实数b的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】(1)当时,,根据题意得到,即可求解;
(2)当时,可得,利用换元法求得,再由一次函数的性质,求得,结合题意,得到,列出不等式,即可求解.
【小问1详解】
解:当时,,
由,可得,所以或,
解得或.
【小问2详解】
解:当时,可得,
设,,所以,则,
当时,单调递减;当时,单调递增,
所以,
又由,所以,即
又由,可得,
因为对于任意,总存在,使得成立,
可得,即,解得,
所以实数的取值范围为
21. 如果函数的定义域为R,且存在实常数a,使得对定义域内的任意x,都有恒成立,那么称此函数具有“性质”.
(1)已知具有“性质”,且当时,,求在的最大值;
(2)已知定义在R上函数具有“性质”,当时,若有8个不同的实数解,求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意,明确函数的奇偶性,结合其性质,可得答案;
(2)根据题意,写出函数的解析式,画出函数图象,利用二次函数的性质,可得答案.
【小问1详解】
具有“性质”,对恒成立,是偶函数,
当时,,
当时,;当时,;
【小问2详解】
函数具有“性质”,则,
当时,,所以当时,,
于是,如下图所示:
若有8个不同的实数解,令,
则有两个不等的实数根,,且,,
所以,所以
所以t的取值范围为.
22. 已知定义在上的函数 .
(1)当时,求的单调区间;
(2)设,若对任意,恒成立,求的最小值.
【答案】(1)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增
(2)
【解析】
【分析】(1)当时,将,根据二次函数的性质可得单调区间;
(2)根据结合的对称轴对进行分类讨论,根据对任意,
恒成立,得到与的关系式,进而可得的最小值.
【小问1详解】
当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
【小问2详解】
因为,,,
①当时,,
对称轴,所以在上单调递增,
故,得,
所以,
又因,故当时,取得最小值,
故当,时,的最小值为;
②当时,
对称轴都是,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
则;
(i)当时,,
则,
当,时,的最小值为;
(ii)当时,,得,
则;
③当时,,对称轴,
(i)当时,在上单调递增,在上单调递减,
,得,则;
(ii)当时,在上单调递增,
,得,
则,
综合①②③当,时,的最小值为 .
【点睛】关键点睛:本题关键时对进行合适分类,通过,,即对称轴,
将分为,,三大类,再结合恒成立,得到不同
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