2023-2024学年湖南省株洲市第八中学高一上学期期中数学试题含答案

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命题人：符晨松 审核人：高一数学备课组
一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元一次不等式可得，即可求得.
【详解】解不等式可得，即，
又，所以.
故选：D
2. 已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A. -3B. -1C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇函数可得，再根据已知区间函数解析式即可得解.
【详解】解：因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以.
故选：C.
3. 函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为( )
A. 42，12B. 42，－
C. 12，－D. 无最大值，－
【答案】D
【解析】
【详解】因为对称轴为x= ，所以x=时取最小值－，由于为开区间，端点值取不到，无最大值，选D.
4. 如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作直线分别与曲线相交，结合函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数为增函数，所以，
所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为，
由图可知，曲线相应n值为.
故选：A

5. 下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；
对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；
对于D中，函数的定义域为，因为函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：B.
6. “关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的解集为，可得出，可求出的取值范围，结合集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若关于的不等式的解集为，则，解得，
因为，，
，
因此，“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是“”.
故选：D.
7. 已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件①可知函数在上单调递减，再根据偶函数性质即可得出函数的单调性，结合条件②并对进行分类讨论即可解出不等式.
【详解】由对任意的，且，都有成立可得，
函数在上单调递减，
又是定义在上的偶函数，根据偶函数性质可知，
在上单调递增，且；
由不等式可知，
当时，，根据在上单调递减可得；
当时，，根据在上单调递增可得；
综上可知，不等式的解集为.
故选：A
8. 在上定义运算，时，不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
转化条件得在上有解，利用基本不等式求得在的最大值即可得解.
【详解】由题意可得在上有解，
所以即在上有解，
又，当且仅当时，等号成立，
所以在的最大值为，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
二､多选题（本大题共4小题，共20分，在每小题有多项符合题目要求，少选一个得2分，多选或错选得0分）
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】利用特殊值代入法排除AB，利用不等式的基本性质可判断CD，得出结论．
【详解】对于A，不妨令，，，，尽管满足，，但显然不满足，故错误；
对于B，不妨令，，显然满足，但不满足，故错误；
对于C，由不等式的性质知，若，则，故正确；
对于D，若，则，，故正确.
故选：CD.
10. 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）.
A. 甲和乙B. 乙和丙C. 甲和丙D. 乙和丁
【答案】C
【解析】
【分析】从四人的描述语句可以看出，甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再对乙、丁的说法进行判断.
【详解】∵“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”
∴甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.
若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误；
若甲和丙的说法与结果不符，则乙、丁的预测成立
所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖，乙不获奖.
故选：C
【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，进行有效论证.
11. 函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，分、以及三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．
【详解】解：根据题意，
当时，，，其图象与选项对应，
当时，，在区间上，，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项对应，
当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项对应，
故选：．
12. 定义在上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A. B. 是偶函数
C. 在上有最大值D. 的解集为
【答案】CD
【解析】
【分析】赋值法可以求出，，判断出B选项；利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而判断AC；利用函数的单调性进行解不等式，判断D.
【详解】∵定义在R上的函数满足，
令得：，解得：，
令得：，因为，所以，
故是奇函数，B错误；
任取，，且，则令，，代入得：，
因为当时，，而，所以，
故，即，从而在R上单调递减，
所以，A错误；
所以函数在上有最大值为，C正确；
由， 在R上单调递减，故，解得，故的解集为，D正确.
故选：CD.
三､填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知幂函数的图象过点，则函数__________;
【答案】
【解析】
【分析】设出幂函数的解析式，把点代入求的值.
【详解】设幂函数，因为函数过点，所以，解得：，
所以.
14. 已知，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用拼凑法结合均值不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当即即时等号成立，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
15. 已知函数是上是减函数，则a的取值范围___________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值.
【详解】函数是上减函数，
所以，
解得.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：分段函数在上是单调函数，除了保证在各段内单调性一致，还要注意在接口处单调.
16. 对于任意实数，表示不小于的最小整数，如，定义在上的函数，若集合，则集合中所有元素的和为_______
【答案】-4
【解析】
【分析】讨论，，三种情况，分别计算得到得到答案.
【详解】当时：
当时：，，
当时：，，
故，集合中所有元素的和为
故答案为
【点睛】本题考查了集合的元素和，分类讨论是一个常用的技巧，可以简化题目，易于计算.
四､解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出，再根据集合的并集，交集的运算求解即可．
（2）根据题意可得，再求得，列出方程组求出的取值范围即可得答案．
【小问1详解】
解：当时，，，
，．
【小问2详解】
解：是成立的充分不必要条件，
，
，，，
则，，
经检验知，当时，，不合题意，
实数的取值范围．
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求出函数在上的解析式，并补出函数在轴右侧的图像；
（2）①根据图像写出函数的单调递减区间；
②若时函数的值域是，求的取值范围.
【答案】（1），图象答案见解析；（2）①减区间为：和；②.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义求得解析式，根据对称性作出图象．
（2）由图象的上升与下降得增减区间，解出方程的正数解，可得结论．
【详解】（1）当，，则
因为为奇函数，则，
即时，
所以，
图象如下：
（2）如图可知，减区间为：和
，
令
∵∴
故由图可知．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查图象的应用，由图象得单调区间，得函数值域．是我们学好数学的基本技能．
19. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由根号下的式子为非负，解不等式即可得函数的定义域；
（2）利用换元法和二次函数单调性即可求得函数的值域.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以函数的定义域为
【小问2详解】
易知；
令，可得，
所以，
由二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减；
所以，
可得函数的值域为.
20. 已知定义在区间上两个函数和，，，，．
（1）求函数的最大值：
（2）若对于任意，总存在，使恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由二次函数图像性质，由对称轴与区间的关系，分别讨论、即可；
（2）原命题恒成立等价于，为对勾函数，可得，由（1）的结论分类讨论即可
【小问1详解】
，开口向下，对称轴为，
当，最大值；
当，最大值
∴
【小问2详解】
由题意，原命题恒成立等价于，
为对勾函数，在单调递减，故；
由（1）得，当，，符合
当，，由得，，∴.
综上，实数a的取值范围为
21. 随着经济的发展，人们越来越注重生活的品质，对产品提出了更高的要求．产品质量作为一个重要的因素，与价格共同对产品的销售量产生影响．某企业加大科研投入，提高产品质量，增加利润．去年其旗下一产品的年销售量为1万只，每只销售价为6元，成本为5元，今年计划投入科研，进行产品升级，预计年销售量P（万只）与投入科研经费x（万元）之间的函数关系为，且当投入科研经费为20万元时，销售量为1.5万只，现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占科研经费的倍”之和．
（1）当投入科研经费为15万元时，要使得该产品年利润W不少于20万元，则的最小值是多少？
（2）若，则当投入多少万元科研经费时，该产品可获最大年利润？最大年利润是多少？（，精确到0.1万元）
【答案】（1）
（2）当投入约9.2（万元）科研经费时，该产品可获最大年利润，最大年利润约为0.8万元．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，先求得，代入，可得销售量，根据年利润=销售价销售量产品成本投入科研经费，
可构造不等式求得；
（2）根据已知条件结合基本不等式的公式即可求解.
【小问1详解】
当投入科研经费为20万元时，销售量为1.5万只，
，解得，
∴，则当时，；
∴现每只产品的销售价为，∴，
解得：，即的最小值为．
【小问2详解】
由（1）知：∴；
当时，现每只产品的销售价为，
∴
（当且仅当，即时取等号），
所以当投入约9.2（万元）科研经费时，该产品可获最大年利润，最大年利润约为0.8万元．
22. 给定函数．且用表示，较大者，记为．
（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；
（2）若函数的最小值为，试求实数的值．
【答案】（1），；（2）或．
【解析】
【分析】由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.
【详解】由题意，
当时，，
当时，，
∴
（1）当时，，

∴当时，，此时，
当时，，此时，
.
（2），且对称轴分别为，
①当时，即时，在单调递减，单调递增；

，即，（舍去），
②当，即时，在单调递减，单调递增；

，有，故此时无解.
③当，即时，在单调递减，单调递增；

，即，（舍去）
综上，得：或.