2023-2024学年北京市通州区高一上学期期中数学试题含答案

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数学试卷
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A.
B
C.
D.
2. 命题:否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示,则的值为（ ）
A. 9B. 6C. 3D. 0
5. 有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 设函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
8. 向体积相同且高为的花瓶中，注水注满为止.如果注水量与水深的函数关系式如图所示，那么花瓶的形状是（ ）
A. B. C. D.
9. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（ ）
A. B.
C. D.
10. 公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为(其中为非零常数,为无理数,，则以下结论正确的是（ ）
A. 若，则奇函数
B. 若，则函数的最小值为2
C 若，则方程没有实数根
D. 若，则函数为单调递增函数
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是_______.
12. 不等式的解集为_____________.
13. 能说明“”为假命题的一个实数的值为_______.
14. 设函数，若当时，存在实数，使得，则的值为_______.若存在最大值，则实数的最小值为_______.
15. 狄利克雷函数定义为:当自变量取有理数时，函数值为1当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数的性质:
①的值域为；
②若，则有成立；
③函数的图象关于轴对称；
④不存在，使得为等腰直角三角形.
其中表述正确的是_______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知全集，集合.
（1）求和;
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
17. 已知指数函数的图象过点.
（1）求函数的解析式
（2）试比较这三个数的大小，并说明理由;
（3）若，求实数的取值范围.
18. 已知函数.
（1）证明:为偶函数;
（2）用定义证明:在区间上单调递减.
19. 刚刚结束的2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象，也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现:该商品在过去30天内，销售单价(单位:百元)与时间(单位:天)的函数关系近似满足(为常数),日销售量(单位:件)与时间的部分数据如下表所示:
已知第5天的日销售收入为216百元.
（1）求值；
（2）给出以下三种函数模型(1)；(2)；(3).
请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述与的变化关系，并求出函数的解析式;
（3）记该商品在这30天内的日销售收入为(单位:百元)，求的最大值.
20. 设函数，函数，用表示中的较大者，记为，再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知.
条件（1）:
条件（2）:恒成立.
（1）求不等式的解集;
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围;注:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
21. 已知正整数集合,对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有,则称集合具有性质.记是集合中的最大值.
（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；
（2）若集合具有性质，求证：；
（3）若集合具有性质，求的最大值.
0
3
6
3
0
6
5
10
15
20
25
30
180
310
390
420
400
330