2023-2024学年北京市北京交通大学附属中学高一上学期期中练习数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市北京交通大学附属中学高一上学期期中练习数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，问答题，应用题，计算题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：D.
2．命题“，”的否定为
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：A.
【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.
3．已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用判别式和韦达定理解决.
【详解】关于x的方程的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，
则有，解得.
故选：C
4．已知函数，则的值为（ ）
A．3B．0C．D．
【答案】D
【分析】先求，进而求出.
【详解】由题意得，，则.
故选：D.
5．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.
【详解】由得，此不等式与不等式同解，解得或.
所以，当时，一定成立，故充分性成立；
当即或时，不一定成立，故必要性不成立.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可得到答案.
【详解】对于A，当时，，所以不是奇函数，故A错误；
对于B，因为的定义域为，
又，所以为奇函数，
因为在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，故B正确；
对于C，因为的定义域为，
又，所以为偶函数，故C错误.
对于D，因为的定义域为，
又，所以为偶函数，故D错误.
故选：B.
7．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由数轴知 ，不妨取检验选项得解.
【详解】由数轴知 ，不妨取，
对于A， ， 不成立.
对于B，， 不成立.
对于C， ， 不成立.
对于D， ，因此成立.
故选：D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
8．设为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．12B．C．13D．
【答案】C
【分析】根据为上的奇函数，求出.
【详解】因为为上的奇函数，所以，，
所以.
故选：C
9．已知当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将参数与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m的取值范围.
【详解】根据题意当时，不等式恒成立，
则恒成立，只需即可；
易知当时，由基本不等式可得，当且仅当时取等号；
所以，即，
所以实数m的取值范围是.
故选：A
10．对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是( )
A．若则B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据,逐项分析,即可求得答案.
【详解】
对于A,,
分类讨论：
①当,则此时
②当且,即,此时，
③当且,
即时,,此时
综合所述,有,故A正确;
对于B , ,故(2)正确；
对于C ,
,故C正确;
对于D ,,故D错误.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
二、填空题
11．函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】依题意，.
三、双空题
12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则的解集为 .
【答案】
【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.
【详解】当时，由图象可知，即的解集为.
【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.
四、填空题
13．定义在上的函数，给出下列三个论断：
①在上单调递增；
②；
③.
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： ， 推出 .（把序号写在横线上）
【答案】 ①（答案不唯一） ②（答案不唯一） ③（答案不唯一）
【分析】根据单调性和范围即可推出不等式.
【详解】①②推出③；
证明：当在单调递增且当时，有，得证.
①③推出②；
证明：当在单调递增且当时，有，得证.
①②无法推出③；
取，此时满足且，但不满足在单调递增.
故答案为：①；②；③.（答案不唯一）
14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 .
【答案】/20立方米
【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.
【详解】设用水量为立方米，水价为元，
则，
整理得到：，
当时，；时，；
故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，
令，则（立方米），
故答案为：.
15．设函数.给出下列四个结论：
①函数的值域是；
②，有；
③，使得；
④若互不相等的实数满足，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断；
对于②，举反例排除即可；
对于③，将问题转化为与有交点，作出图2即可判断；
对于④，结合图1对进行分析即可.
【详解】对于①，因为，
所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1，
由的图像易知的值域是，故①正确；
对于②，易得，，显然在上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误；
对于③，假设存在，，则，即，
即与有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确；
对于④，由图1易知，则，
因为，所以，即，解得，
所以，即的取值范围是，故④正确；
综上：①③④正确.
故答案为：①③④.
五、问答题
16．设关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.
(1)求集合A，B；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）解绝对值不等式和二次不等式即可得解；
（2）利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）因为，所以，则，
所以，
因为，所以，解得，
所以
（2）因为，
因为恒成立，所以，
所以，解得，
故a取值范围为.
17．已知函数.
(1)用函数单调性的定义证明：在上是增函数；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）任取，且，通过计算的正负来判断单调性；
（2）由函数在区间上单调性求出最值即可.
【详解】（1）任取，且，
则，
因为，，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数.
（2）由（1）知在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的值域为.
18．已知二次函数的最小值为1，且.
(1)求的解析式；
(2)在区间上，的图象恒在的图象上方，确定实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用二次函数解析式的顶点式、待定系数法分析运算即可得解.
（2）由题意将图象的位置关系转化为不等式，利用分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，设二次函数，，
∵，
∴，解得：，
∴，.
（2）解：∵在区间上，的图象恒在的图象上方，
∴在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则在区间上恒成立，
∴，
∵函数图象的对称轴为，开口向上，
∴函数在区间上单调递减，
∴，则，
∴实数m的取值范围是.
六、应用题
19．为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．
(1)求m的值及用x表示S；
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．
【答案】(1)，（）；
(2)当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元.
【分析】（1）利用给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.
（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.
【详解】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，
则，解得，
显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：
（）.
（2）由（1）知
，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元．
七、计算题
20．已知是定义域为的函数，若对任意，，均有，则称是S关联.
(1)判断和证明函数是否是关联?是否是关联?
(2)若是关联，当时，，解不等式：.
【答案】(1)是关联，不是关联
(2)
【分析】（1）根据关联定义直接判断即可；
（2）先根据关联定义确定函数满足的性质，再结合时的解析式画出函数图像，结合图像即可求解.
【详解】（1）任取，若，则
所以是关联；
若，则，
所以不是关联.
（2）由题意知，当时，，即，
由于当时，，所以画出的图像如图，
当时，令得，
令得或，
结合图像求出点，，
所以当时，，
即不等式的解集为.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/