2023-2024学年福建省福州市鼓楼区格致中学高一上学期10月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省福州市鼓楼区格致中学高一上学期10月期中考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，证明题，计算题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【分析】通过建立圆柱和球的等量体积关系，即可得到答案.
【详解】解：设圆柱的高为h，则
，，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆柱和球的相关公式，难度较小.
2．函数f（x）=x3+3x﹣1在以下哪个区间一定有零点
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
【答案】B
【分析】根据函数零点的判定定理将选项中区间的端点值代入验证即可得到答案．
【详解】∵f（x）=x3+3x﹣1
∴f(﹣1）f（0）=（﹣1﹣3﹣1）（﹣1）＞0，排除A．
f（1）f（2）=（1+3﹣1)（8+6﹣1）＞0，排除C．
f（0）f（1）=（﹣1）（1+3﹣1）＜0，
∴函数f（x）在区间（0，1）一定有零点．
故选:B．
3．下列关系正确的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】利用元素与集合的关系逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，，故A错.
对于B，，故B错.
对于C，因为1为集合中的元素，故C正确.
对于D，不是中的元素，故D错.
故选：C.
4．已知，则等于（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】A
【分析】把已知等式两边平方即可求得答案．
【详解】由，
两边平方得：，
即，
．
故选:A．
5．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】使函数有意义解不等式即可.
【详解】要使函数有意义，则，即，
即函数的定义域为.
故选:A．
6．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论.
【详解】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点；
而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点；
故选：C
7．设，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：，，.故，选A.
【解析】比较大小.
8．已知函数,那么函数是
A．奇函数,且在上是增函数
B．偶函数,且在上是减函数
C．奇函数,且在上是增函数
D．偶函数,且在上是减函数
【答案】D
【详解】试题分析：函数定义域为R，，所以函数为偶函数，当时，函数为减函数，因此D正确
【解析】函数奇偶性单调性
9．函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用配方法可得,则,,根据二次函数的对称性即可判断的范围
【详解】由题,,
因为,,且对称轴为,
所以,
因为在区间上的最大值是5,最小值是1,
所以
故选：B
【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题
10．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．(1，＋∞)B．(1,8)C．(4,8)D．[4,8)
【答案】D
【分析】根据函数的单调性给出不等式组，求解参数的取值范围即可.
【详解】由题意得 解得4≤a＜8.
故选：D.
11．函数恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的性质即可得到过定点
【详解】指数函数（且）过定点，
所以，当时的值恒为2，即过定点，
故选：B
12．三个数a=0.312，b=lg20.31，c=20.31之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．
【详解】解：∵0＜0.312＜0.310=1，lg20.31＜lg21=0，20.31＞20=1，
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点睛】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键．
二、填空题
13．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为______cm3．
【答案】6．
【分析】如图，过作于，可证平面，利用体积公式计算即可.
【详解】如图，过作于，∵长方体底面是正方形，∴中，，，又由，，∴平面，∴．
【解析】棱锥体积的计算．
【点睛】本题考查四棱锥体积的计算，关键是高的计算，需利用线面垂直来求，本题属于基础题.
14．已知是定义在R上的偶函数，当时，；则当时， ．
【答案】
【分析】当时，,先写出函数的解析式，再利用函数为偶函数，即可写出分段函数的解析式.
【详解】由已知可得，当时，，，
即当时，；
故答案为：
15．已知为R上的奇函数，当时，，那么的值为 ．
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得,代入解析式求解即可
【详解】因为是定义在上的奇函数,
所以,
故答案为：.
16．已知幂函数的图象过点，则 ．
【答案】3
【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.
【详解】设，由于图象过点,
得，
，
，故答案为3.
【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
三、证明题
17．已知函数
(1)用定义证明是偶函数；
(2)用定义证明在上是减函数；
(3)作出函数的图象，并写出函数当时的最大值与最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)作图见解析；最大值与最小值分别为7与﹣1
【分析】（1）首先确定函数的定义域，然后根据证明；
（2）设 ， 根据证明单调性；
（3）先画出函数图象，再求二次函数的对称轴，判定单调性，再得到最值．
【详解】（1）因为函数的定义域R,关于原点对称，,
所以是偶函数.
（2）设，那么
根据，得到，,
所以.
所以在上是减函数.
（3）作出函数的图象
对称轴是,
所以最大值是,
最小值是,
函数当时的最大值与最小值分别为7与﹣1．
四、计算题
18．（1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1）或；（2）1 ．
【分析】应用指对数运算律结合指对数转化计算求解即可.
【详解】（1）方程：即，
因式分解为，∴或，解得或．
（2）原式
．
五、解答题
19．已知全集，集合或，，
（1）求、；
（2）若集合是集合A的子集，求实数k的取值范围．
【答案】（1），或；（2）或.
【分析】（1）先求出，，，再求，即可；
（2）先分类讨论①当时，不存在；②当时，解得或，最后写出实数k的取值范围即可.
【详解】解：（1）因为全集，集合或，，
所以，，或，
所以，或，
（2）因为集合是集合A的子集，
所以①当时，，不存在；
②当时，或，解得：或，
综上所述：实数k的取值范围是或.
【点睛】本题考查集合的运算、根据集合的基本关系求参数范围，是基础题.
20．已知函数且．
（1）求的值；
（2）若函数有零点，求实数的取值范围．
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由函数的解析式以及，求得的值．
（2）由题意可得，函数的图象和直线有交点，故有，求得的范围．
（3）由题意可得当时，恒成立．令，则，且．利用单调性求得，从而可得的范围．
【详解】解：（1）对于函数，由，
解得，故．
（2）若函数 有零点，
则函数的图象和直线有交点，，解得．
（3）当时，恒成立，即恒成立．
令，则，且．
由于 在上单调递减，，．即
【点睛】本题主要考查指数函数的性质综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
21．已知函数.
(1)判定函数的奇偶性，并加以证明；
(2)判定的单调性（不用证明），并求不等式的解集.
【答案】(1)是奇函数，证明见解析
(2)在定义域上单调递增，
【分析】（1）先求出的定义域并判断定义域是否关于原点对称，然后判断之间的关系即可.
（2）将解析式变形，结合复合函数单调性可知在定义域上单调递增，而由（1）可知的定义域为，且是奇函数，
故不等式等价于不等式组，解不等式组即可.
【详解】（1）是奇函数，理由如下：
由题意，解得，即的定义域关于原点对称，
且，即，
所以是奇函数.
（2）由于，所以由复合函数单调性可知在定义域上单调递增，
由（1）可知的定义域为，且是奇函数，
所以，
因为在定义域上单调递增，
所以有，解不等式组得，即，
所以不等式的解集为.
六、应用题
22．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入50万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元．
(1)该公司这种产品的年生产量为件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量的函数为，求；
(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
【答案】(1)
(2)450件
【分析】（1）利用分段函数模型对生产量件进行分类讨论，即可得分段函数；
（2）根据函数的解析式，利用一次函数和二次函数性质可求得当时，当年所获得的利润最大.
【详解】（1）（1）根据题意可知，
当时，，
当时，；
故；
（2）当时，
故当时，；
当时，；
显然，
故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大．