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    2023-2024学年湖南省湘西州花垣县民族中学高一上学期期中数学试题含答案

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    2023-2024学年湖南省湘西州花垣县民族中学高一上学期期中数学试题含答案

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    这是一份2023-2024学年湖南省湘西州花垣县民族中学高一上学期期中数学试题含答案,共9页。试卷主要包含了单选题,填空题,计算题,解答题,问答题,证明题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题
    1.设集合,,则等于( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】直接根据交集的定义计算即可得解.
    【详解】因为,,所以.
    故选:D.
    2.已知命题,,则为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】B
    【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
    【详解】解:命题,为全称量词命题,
    其否定为:,.
    故选:B
    3.“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分又不必要条件
    【答案】A
    【分析】解方程,然后根据充分性和必要性的定义求解即可.
    【详解】或,
    故“”是“”的充分不必要条件,
    故选:A.
    4.若,则下列不等式不能成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】根据不等式的性质逐项判断.
    【详解】对于A:由得,则,即,故A成立;
    对于B:由得,则根据不等式的性质有,即,故B成立;
    对于C:由得,则,进而,故C成立;
    对于D:由可得,故D不成立.
    故选:D.
    5.若,则的最小值为( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】B
    【分析】根据题意利用基本不等式即可求得的最小值为.
    【详解】由可知,
    所以,当且仅当时,等号成立;
    即的最小值为.
    故选:B
    6.下列各组函数是同一个函数的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】D
    【分析】同一函数指定义域,值域和对应法则都相同,根据这一标准即可进行判断.
    【详解】A选项:的定义域是R,而的定义域是,所以A不正确.
    B选项:的定义域是R,的定义域是,所以B不正确.
    C选项:的值域是R,而的值域是,所以C不正确.
    D选项:的定义域是R,而的定义域是R,定义域和对应法则都相同,所以D正确.
    故选:D
    7.不等式的解集用区间表达为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】解一元二次不等式求解集,再用区间表示解集即可.
    【详解】由,即或,
    所以解集用区间表达为.
    故选:D
    8.已知函数的图象关于原点对称,则( )
    A.B.
    C.D.无法确定
    【答案】A
    【分析】根据函数特征,图象关于原点对称,则函数必过原点,代入方程求出的值.
    【详解】因为函数定义域为,且图象关于原点对称,
    则有图象必过原点,
    即,解得,
    当时,则,可知图象关于原点对称,
    所以.
    故选:A.
    9.下列函数中, 既是奇函数又是增函数的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.
    【详解】解:对于A:,则,故为非奇非偶函数,故A错误;
    对于B:为奇函数,函数在,上单调递增,在定义域上不具有单调性,故B错误;
    对于C:为奇函数,且在定义域上单调递增,故C正确;
    对于D:为偶函数,故D错误;
    故选:C
    10.函数的定义域是( )
    A.且B.
    C.D.且
    【答案】D
    【分析】根据的次方没有意义,分母不等于及开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.
    【详解】由,
    得,解得且,
    所以函数的定义域是且.
    故选:D.
    二、填空题
    11.已知集合,且,则 .
    【答案】
    【分析】根据集合相等的定义求出即可得解.
    【详解】因为集合,且,
    所以,
    所以.
    故答案为:.
    12.已知,则的最大值为 .
    【答案】
    【解析】直接使用基本不等式,即可求得结果.
    【详解】因为,当且仅当,即时取得最大值.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,属基础题.
    13.已知函数,则 .
    【答案】
    【分析】根据题意,由分段函数的解析式代入计算,即可得到结果.
    【详解】由题意可得,,则.
    故答案为:.
    14.已知集合,,则 .
    【答案】
    【分析】根据一元二次不等式解法化简集合A和B,然后利用并集运算求解即可.
    【详解】因为集合,
    集合或,
    所以.
    故答案为:.
    15.若,且,则 .
    【答案】
    【分析】由已知列方程组求得,再将代入求值即可.
    【详解】由题设,
    所以,则.
    故答案为:
    三、计算题
    16.解下列不等式,并把解集用区间表达.
    (1)
    (2)
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)(2)求出不等式对应方程的实数根,画出其对应的函数图象即可得出(1)(2)中的不等式的解集,表示成区间即可.
    【详解】(1)不等式等价于,
    易知方程的两个实数根为和,
    其对应的一元二次函数的图象如下图所示:
    所以不等式的解集为
    (2)将不等式整理成,即,
    易知方程的两个实数根为和,
    二次函数对应的图象如下图:
    所以该不等式的解集为.
    四、解答题
    17.集合,,求,,
    【答案】,,
    【详解】,,


    ,或,
    或.
    五、问答题
    18.已知函数
    (1)点在该函数图象上吗?
    (2)当时,求的值.
    【答案】(1)在图象上
    (2)3
    【分析】(1)根据得到点在函数的图象上;
    (2)令,然后解方程即可.
    【详解】(1),所以点在函数的图象上.
    (2),解得,所以的值为3.
    六、证明题
    19.已知函数
    (1)判定并证明的奇偶性.
    (2)判定并证明函数在区间上为减函数
    【答案】(1)为奇函数,证明见解析
    (2)函数在区间上为减函数,证明见解析
    【分析】(1)根据奇函数的定义判断和证明即可;
    (2)利用单调性定义即可判断和证明函数的单调性.
    【详解】(1)为奇函数,证明如下:
    要使函数有意义,则,即函数的定义域为,关于原点对称,
    因为,所以函数为奇函数.
    (2)函数在区间上为减函数,证明如下:
    设,且,有.
    由及得,
    则,即.
    所以函数在区间上为减函数.
    七、解答题
    20.一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于,而且这个比值越大,采光效果越好.
    (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米?
    (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果是变好了还是变坏了?请证明你的结论.
    【答案】(1)
    (2)变好,证明见详解
    【分析】(1)设该公寓窗户面积为,依题意列出不等式组求解可得;
    (2)记窗户面积为a和地板面积为b,同时增加的面积为c,表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断.
    【详解】(1)设该公寓窗户面积为,则地板面积为,
    依题意有,解得,
    所以,这所公寓的窗户面积至少为.
    (2)记窗户面积为a和地板面积为b,同时增加的面积为c.
    由题可知,,增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,
    因为,且,
    所以,即,
    所以,同时增加相同的窗户面积和地板面积,公寓的采光效果变好了.

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