2023-2024学年吉林省四平市高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省四平市高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据补集的运算法则即可得出结果.
【详解】由补集的定义可知，，
故选：A．
2．已知命题p：“，使得”，则命题p的否定是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，D．，
【答案】C
【分析】“存在一个符合”的否定为“任一个都不符合”
【详解】命题p：，使得，则命题p的否定是，，
故选:：C．
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解.
【详解】设幂函数，所以，解得，所以，
故.
故选:C.
4．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断.
【详解】当，时，，故A错误；
当时，，故B错误；
∵，，显然不能得到，
例如当，时，，故C错误；
若，，则，故D正确.
故选：D.
5．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，解出的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若函数在区间上单调递增，
则，解得，
因为，
因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件，
故选：B.
6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ）
A．1B．3
C．D．
【答案】D
【分析】由偶函数的性质得列式求解．
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，解得．
故选：D
7．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出m，n，再利用不等式的性质求的取值范围.
【详解】设，则，
所以，解得，
于是
又，，
所以，即.
故．
故选：D．
8．已知函数的定义域为R，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知得出函数的单调性，进而由不等式即可得出对任意恒成立.根据二次不等式恒成立，即可得出，化简求解即可得出答案.
【详解】不妨设，则，
由，
可得，
即，
所以在R上单调递增.
由可得，，
即对任意恒成立，
所以，
整理可得，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据元素与集合之间以及集合之间的关系可判断A、B项；根据子集的概念可判断C项；根据的含义可判断D项.
【详解】因为2是中的元素，A项正确；
“”表示的是元素与集合之间的关系，而不能表示集合与集合之间的关系，B项错误；
因为，，根据子集的概念知，C项正确；
是任何集合的子集，D项正确.
故选：ACD.
10．已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】先求出的充要条件，再对照四个选项一一判断.
【详解】由命题：，．
故命题成立的一个充分条件是的子集，
对照四个选项，ABD符合要求.
故选：ABD．
11．已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】ABD
【分析】分别按一次方程、二次方程讨论，即可确定的取值.
【详解】当时，，解得，所以，符合题意；
当时，由题意，得，解得或.
故选：ABD
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若对恒成立，则实数a的取值范围是
B．若对恒成立，则实数a的取值范围是
C．若，的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是
D．若，的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是
【答案】AC
【分析】化简可得对恒成立，分以及结合不等式恒成立，即可得出的范围，判断A、B；代入，求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质，分，，三种情况，分别求出函数的最值，即可判断C、D.
【详解】对于A项，若对恒成立，
即对恒成立，
当时，不等式化为恒成立，符合题意；
当时，
要使不等式对恒成立，
则应有，解得．
综上，实数a的取值范围是．故A正确，B错误；
对于C项，若，的定义域为，二次函数的对称轴为.
①当时，有
根据二次函数的性质可得，在上单调递减，
所以，，不符合题意；
②当时，有，
根据二次函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又，，所以，符合题意；
③当时，
根据二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又，，所以，不符合题意．
综上，实数m的取值范围是．故C正确，D错误．
故选：AC．
三、填空题
13．用描述法表示下图中的阴影部分可以是 ．
【答案】
【分析】首先注意是点集，利用与的范围来限定.
【详解】可以用来表示图中阴影部分.
故答案为：
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据分式函数和根式函数，由求解.
【详解】解：由，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
15．已知实数，，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
当且仅当，且，即，时等号成立．
所以，的最小值为.
故答案为：.
16．已知关于的不等式的解集中恰有5个整数解，则实数的范围是 .
【答案】或.
【分析】利用分解因式解不等式，然后分类讨论与大小，结合解集中恰有5个整数解，可得答案.
【详解】因为，
所以.
①当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得；
②当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得；
③，即时，不等式解集为空集，不合题意.
综上：当不等式的解集中恰有5个整数解时，的范围是或.
故答案为：或.
四、解答题
17．设集合．求：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)或
(3)或.
【分析】由集合的交并补混合运算直接得出答案.
【详解】（1）由集合交集的定义，
；
（2）由集合并集和补集的定义，
，
或；
（3）由集合补集和交集的定义，
或，
或，
或.
五、问答题
18．已知集合，命题p：，．
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p为真命题时，a的取值构成集合B，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据命题p的真假性即可写出实数a的范围.
（2）由列出不等关系，求出实数m的取值范围.
【详解】（1）对于命题p，因为命题p为真命题，所以，
故a的取值范围为
（2）由（1）可得，又.
由，
当时，，满足题意；
当时，则，即．
综上所述，m的取值范围为．
六、解答题
19．（1）已知，求的最小值﹔
（2）已知，，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案.
（2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1），
当且仅当，即时等号成立
（2），
当且仅当，即，时等号成立.
20．如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物.
(1)若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；
(2)若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围.
【答案】(1)每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m
(2)
【分析】（1）利用基本不等式即可求得栅栏总长度的最小值；
（2）根据题意可知总费用，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】（1）设每个长方形区域的长为m（），则宽为，
则栅栏总长为.
当且仅当，即时等号成立，
所以每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m；
（2）由题可知每个长方形区域的长为m，宽为m，，
则长方形区域的面积为，栅栏总长为，
总费用，又总费用不超过180元，
，解得：,
又，,
故当时，总费用不超过180元.
21．已知函数，且．
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)由条件列方程求，再根据减函数的定义证明在区间上单调递减；
(2)由条件可得，解不等式求的取值范围．
【详解】（1）因为，，所以，解得，所以，
任取实数，且，则，
又，所以，，
所以，即，所以在区间上单调递减；
（2）由（1）知，在上单调递减，所以，
因为对恒成立，所以，
即，化简得，解得，
即实数t的取值范围是．
七、问答题
22．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数，求出.然后即可根据奇函数的性质，求出时，的表达式；
（2）作出函数的图象，分，，，，分别根据图象以及二次函数的对称性，得出函数的最小值.
【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，
所以，解得，
则当时，.
，则，.
因为是定义在R上的奇函数，
所以，，
所以，，
所以.
（2）函数的图象如图所示：
当，即时，
根据二次函数的对称性可知，所以；
当，即时，
由图象可知，；
当，即时，；
当，即时，此时．
综上，.