2023-2024学年宁夏回族自治区银川市第二中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏回族自治区银川市第二中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求集合A，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：，所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为命题“，”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即，，
故选：D
3．已知函数，如下表所示：则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质，首先确定的范围，然后在求解的范围即可.
【详解】因为，根据表格，解得，
根据下表格，当，解得：或，
故选：D.
4．已知幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．-2B．1C．D．-1
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及性质分类讨论计算即可.
【详解】由题意有，解得或，
①当时，，在区间上单调递减，不合题意；
②当时，，在区间上单调递增，符合题意.
故选：B
5．设，则函数的最小值为（ ）
A．0B．C．-1D．
【答案】C
【分析】设，，则，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】设，，则，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
6．已知，其中，若，则正实数a的取值范围为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】B
【分析】根据题意得出分段函数，分类解不等式即可.
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得或（舍去）；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，因为为正实数，所以此种情况无解.
综上正实数a的取值范围为：或.
故选：B.
7．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）
A．40万元B．60万元
C．80万元D．120万元
【答案】D
【分析】根据题中数据，分析可得t1时刻买入甲， t2时刻卖出，可获得40(万元)，此时全部买入乙，并在t4时刻全部卖出，即可求得获得最大利润，即可得答案.
【详解】甲6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6=20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2=40(万元)，
乙4元时，该商人买入乙商品，可以买(120+40)÷4=40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2=80(万元)，共获利40+80=120(万元).
故选：D
8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意将不等式转化为，再由在区间单调递增，得，然后求出的最小值，从而可求出的取值范围
【详解】由，得，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以可化为
因为在区间单调递增，
所以，所以，
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，解得，
即的取值范围是，
故选：A
二、多选题
9．下列各组函数表示相同函数的有（ ）
A．B．
C．D．，
【答案】ACD
【分析】根据同一函数的定义，分别判断即可．
【详解】对于A，可知两个函数的定义域均为R，且，故A正确；
对于B，的定义域为，的定义域为，故B错误；
对于C，的定义域为，的定义域为，且,故C正确；
对于D，可知两个函数的定义域均为R，且，故D正确．
故选：ACD．
10．定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．不等式的解集为
【答案】AD
【分析】根据题意，结合函数的单调性与奇偶性，可得判定A正确，B错误；结合函数的图象变换，可判定C错误；结合题意，分和，两种情况，结合函数的单调性，求得不等式的解集，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，且在上单调递减，可得，所以A正确；
对于B中，由函数为奇函数，且在上单调递减，
可函数的图象关于原点对称可知在上单调递减，且，
则，所以，所以B错误；
对于C中，函数向左平移2个单位，可得为非奇非偶函数，所以C错误；
对于D中，由函数是的奇函数，满足，且在上单调递减，可得，且在上单调递减，
又由不等式，可得当时，，解得；
当时，，解得，
所以不等式的解集为，所以D正确.
故选：AD.
11．在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则（ ）
A．
B．
C．“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”
D．“整数a，b满足”是“”的必要不充分条件.
【答案】BC
【分析】对A，由定义得，再判断元素与几何关系即可；
对B，由定义及被6除所得余数为0至5的整数可判断；
对C，分别根据定义证明充分性及必要性即可；
对D，由定义证充分性，必要性可举反例即可判断
【详解】对A，因为，由可得，所以，A错；
对B，
，B对；
对C，充分性：若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即；
必要性：若，则被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同，
所以“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“”，C对；
对D，若整数a，b满足，则，
所以，故；
若，则可能有，
故整数a，b满足”是“”的充分不必要条件，D错
故选：BC
12．若，则下列关系正确的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】将不等式转化为，再构造函数分析单调性，再逐个选项判断即可.
【详解】对A，由题意，设，易得为增函数，又，故，故A正确；
对BC，设，，则，故BC错误；
对D，因为，故，故D正确.
故选：AD
三、填空题
13．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为 .
【答案】
【分析】利用给定解集结合韦达定理用表示出，再代入解不等式即得.
【详解】由关于的不等式的解集为或，
得是方程的二根，且，
于是，解得，
不等式化为：，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14．已知函数，，对任意的、且，总有，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数是定义在上的增函数，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】对对任意的、且，总有，
不妨设，则，即，
所以，函数是定义在上的增函数，
因为，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．已知函数是定义R在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】．
【分析】先由条件求出时的解析式，然后分三种情况讨论即可
【详解】若，则，
∵当时，，
∴当时，，
∵是定义在R上的奇函数，
∴，
则，，
当时，不等式等价为即，无解，不成立；
当时，不等式等价为即，
得，即；
当时，，不等式不成立，
综上，不等式的解为．
故不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是由函数的奇偶性求解析式及分段函数解不等式，较为典型.
16．已知不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】变换得到，设，则，得到，根据函数的单调性计算最值得到答案.
【详解】，即，，故有解，
设，则，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，故.
故答案为：.
四、计算题
17．计算化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】利用分数指数幂的运算法则进行计算即可得解.
【详解】（1）
.
（2）
.
五、解答题
18．已知全集为，集合.
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）解分式不等式得集合，由得集合，再根据补集与交集的运算即可得所求；
（2）若是的必要条件，可得，分类讨论得集合，即可求得符合题意的实数的取值范围.
【详解】（1）由整理得，解得，所以，则，
若，则
所以；
（2）若是的必要条件，则
当时，即时，，符合题意；
当时，即时，，要满足，可得
解得，
综上，实数的取值范为或.
19．已知函数是R上的奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断并证明的单调性；
【答案】(1)
(2)在R上单调递增，证明见解析
【分析】（1）由可直接求出结果；
（2）设，再通过作差判断的符号即可判断单调性；
【详解】（1）∵是R上的奇函数，∴，即：，∴.经检验是奇函数
（2）由（1）知，∴在R上单调递增.
证明：设，则
∵，∴，又∵，，∴
∴即，∴在R上单调递增．
六、应用题
20．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元
【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解.
【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元
则，
令，则，
当时，，此时.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
七、解答题
21．已知二次函数，恒有.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得出关于的方程，解出即可；
（2）根据对称轴与区间中点的关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）由，得，
则，所以且，解得，
又，则，
故．
（2），对称轴，
当，即时，时，，解得；
当，即时，，
时，，不合题意；
当，即时，时，，解得（舍），
综上，．
22．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
(1)已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
(2)若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)是“局部奇函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）将问题转化为有解，解方程可求得，由此可得结论；
（2）令，将问题转化为方程在上有解，通过讨论二次函数的图象可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）由题意知：若为“局部奇函数”，则关于的方程有解，
当时，，
，又，，
函数是“局部奇函数”.
（2）当时，，
有解，
令，（当且仅当时取等号），，
关于的方程在上有解；
令，则，
①当，即或时，方程无解，不合题意；
②，即时，由得：，
又，当时，满足题意；
③当，即时，
或，
解得：或；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“局部奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题来进行求解.
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