2023-2024学年山东师范大学附属中学幸福柳分校高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东师范大学附属中学幸福柳分校高一上学期期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可求解.
【详解】对于A，当时，，故A错误，
对于B，，由于，所以，故B正确，
对于C，若则，此时，故C错误，
对于D，取，则，不满足，故D错误，
故选：B
2．下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，
对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数，对应关系不同，即C错误.
故选：B
3．已知集合，那么集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据集合描述，联立二元一次方程求解，即可得.
【详解】由，故.
故选：D
4．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：A.
5．下列命题中错误的是（ ）
A．当时，B．当时，的最小值为2
C．当时，D．当时，
【答案】B
【解析】利用基本不等式可判断选项A；利用对勾函数的性质可判断选项B；利用基本不等式可判断选项C；利用基本不等式可判断选项D．
【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，正确；
对于B，当时，，错误；
对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，正确；
对于D，当时，，，当且仅当时取等号，正确；
故选：B
6．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由于函数是上的减函数，
则函数在上为减函数，所以，，解得.
且有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
7．定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度．用表示不超过x的最大整数，记，其中．设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数k的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．7
【答案】B
【分析】根据的定义将化为，对，，…，依次讨论，求解不等式直到满足解集的区间长度为，从而可求得最小值.
【详解】，，
即，
当时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
当 时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
当 时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
所以当 时, 不等式的解集为；
∴当时，不等式解集的区间长度为 ，
所以实数k的最小值为.
故选：B
【点睛】函数新定义的题目，解题关键点是围绕着新定义的概念和运算进行分析.
8．已知，，，则（ ）
A． B．C．D．.
【答案】A
【分析】利用的单调性比较的大小关系，利用的单调性证明即可比较出的大小关系.
【详解】令，则，
由得，，由得，，
所以在上为增函数，在为减函数.
因为，所以，即，故.
因为，所以，所以，
所以，所以，而，所以．
故选：A
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若，则“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．若，，则
【答案】BD
【分析】对于A，由特称命题否定为全称命题分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C，举例判断，对于D，作差法分析判断
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，所以A错误，
对于B，当时，，，而当时，，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确，
对于C，若，则，所以“”不是“”的充要条件，所以C错误，
对于D，因为，，所以，
所以，所以，所以D正确，
故选：BD
10．下列命题正确的是（ ）
A．的图像是由的图像向左平移一个单位长度得到的
B．的图像是由的图像向上平移一个单位长度得到的
C．函数的图像与函数的图像关于轴对称
D．的图像是由的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的
【答案】BCD
【分析】由函数的平移法则和对称性可直接判断A，B，C选项，采用分离常数法化简函数，再结合函数平移法则可判断D选项.
【详解】的图像是由的图像向右平移一个单位长度得到的，故A项错误；
的图像是由的图像向上平移一个单位长度得到的，故B项正确；
函数的图像与函数的图像关于轴对称，故C项正确；
，故的图像是由的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，故D项正确.
故选：BCD
11．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，．则下列选项成立的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【分析】对A：根据函数奇偶性的性质，赋值即可求得结果；
对B：利用函数奇偶性和单调性即可判断；
对C：利用函数性质，分类讨论，即可求得不等式解集；
对D：由，结合函数单调性，即可求得不等式解集.
【详解】由，得：函数是R上的奇函数；
由，，，得：在上单调递减；
又是连续函数，故可得在上单调递减；
对A：，令，故可得，A正确；
对B：，即，
由在上单调递减，可得，故B正确；
对C：对，当时，；当时，；
由在上单调递减，且可知，
的解集为，故C错误；
对D：，即，则，解得，故D错误；
故选：AB．
12．设，且，那么（ ）
A．有最小值
B．有最大值
C．ab有最大值.
D．ab有最小值.
【答案】AD
【分析】直接利用基本不等式分别求出和ab的范围，对照四个选项进行判断.
【详解】，，
，当时取等号，
，解得，
，
有最小值；
，当时取等号，
，
，
，解得，即，
有最小值．
故选：AD
13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，，若，则有
D．方程的解集为
【答案】BCD
【分析】对于A：取，不成立；
对于B：设， ,讨论 与求解；
对于C：，，由得证；
对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值.
【详解】对于A：取，，故A错误；
对于B：设,
，
当时，，，则 ，
则，,故当时成立.
当时，，则 ，
则，故当时成立.
综上B正确.
对于C：设，则，，则，因此，故C正确;
对于D：由知，一定为整数且 ，
所以，所以，所以 ，
由得，
由解得 ，只能取，
由解得 或(舍)，故，
所以或，
当时，当时，
所以方程的解集为，
故选：BCD.
【点睛】高斯函数常见处理策略:
(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.
(2)由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时因为不是一个确定的实数,可设，处理.
(3)求由构成的方程时先求出的范围,再求的取值范围.
(4)求由与混合构成的方程时,可用放缩为只有构成的不等式求解.
三、填空题
14．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据解析式建立不等式求解即可.
【详解】由，即，解得，
即函数的定义域是.
故答案为：
15．已知，，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值.
【详解】因为，，
所以，又，，
所以，当且仅当时取等号．
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为.
故答案为：.
16．已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论：
①的最小值为0；
②的最大值为3；
③若在上单调递减，则的取值范围为；
④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个；
则全部正确命题的序号为 .
【答案】①②④
【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出的表达式并判断AB；由在上单调性确定a值判断C；由函数图象具有对称性求出a值判断D作答.
【详解】当时，，函数在上递减，在上递增，；
当时，，
若，函数在上递减，在上递增，，
若，函数在上递减，在上递增，当时，，
若，函数在上递减，在上递增，；
当时，，
若，函数在上递减，在上递增，，
若，函数在上递减，在上递增，当时，，
若，函数在上递减，在上递增，；
当时，，函数在上递减，在上递增，；
当时，，
函数在上递减，在上递增，，
因此，于是，即的最小值为0，最大值为3，①②正确；
显然当时，函数在上也递减，③错误；
当或时，函数的图象关于直线对称，
当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，
当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，
当时，不存在直线，使得函数的图象关于直线对称，
则当时，对于任意的，成立，此时，④正确，
所以正确命题的序号为①②④.
故答案为：①②④
【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑
17．在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意整理可得：对，则，分类讨论的取值范围，分析运算.
【详解】∵，即
对，则
，
故对，则，
∵，则有：
1.当时，则，
可得，不成立；
2.当时，则，
可得，则，
若，解得，符合题意；
特别的：例如，取，则，解得；
例如，取，则，解得；
故；
3.当时，则，
可得，不成立；
4.当时，则，
可得，则，
若，解得，符合题意；
特别的：例如，取，则；
例如，取，则；
故；
5.当时，则，
可得，不成立；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
（1）对，结合累加法求得；
（2）对于分段函数，一般根据题意分类讨论，本题重点讨论与的大小关系；
（3）对特殊函数的处理，本题可取和.
四、解答题
18．已知全集 .
(1)求集合；
(2)若集合，求实数的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解；
（2）先求出，再求，利用集合相等建立方程组求解即可.
【详解】（1），
所以，；
（2）由（1）得，
又，所以，
所以，得.
19．已知函数且．
(1)若函数的定义域为R，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得恒成立，再根据，且 ，求得的范围．
（2）分类讨论的范围，利用二次函数的性质，求得的值．
【详解】（1）函数且的定义域为R，故恒成立，
，且， ；
（2）令 ，当 时，是二次函数，其对称轴为 ，当 时，
，有 ，不符合题意，当 时， ，不合题意，
下面只讨论 的情况；
①当 时，要使函数在区间，上为增函数，
则函数在，上恒正，且为增函数，
，则必有 ，即 ，并且有 ， ，
，满足题意；
②当 时，讨论与①相同，但 ，不成立；
③当 时，要使函数在区间，上为增函数，
则函数在，上恒正，且为减函数．
，则必有 ，即 ，并且 ，
，满足题意；
综上，（1），（2） 当 和 时，存在 使得 在 上为增函数，并且最大值为2.
20．若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数．当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数．
(1)当时，取．求的解集；
(2)判断：当时，与是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)存在分隔直线函数，解析式为，理由见解析
【分析】（1）将不等式转化为，对n分类讨论解不等式；
（2）对m，n分类讨论找出介于两个函数值之间的函数解析式.
【详解】（1），时，，
可化为，即，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式的解集为或.
（2）若，，当时，恒成立，
恒成立，则是与的分隔直线函数；
若，，当时，恒成立，
恒成立，则是与的分隔直线函数；
综上所述，与的分隔直线函数解析式为.
21．若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间.
(1)是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间.
【答案】(1)存在，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据“正函数”的定义以及函数的单调性将问题转化为“方程在区间内有实数解”，利用构造函数法来求得的取值范围.
（2）根据“不等式的解集”求得的可能取值，再结合“等域区间”的定义求得正确答案.
【详解】（1）因为函数是上的减函数，
所以当时，，即
两式相减得，即，
代入得，
由，且得，
故关于a的方程在区间内有实数解，
记，
则，解得.
（2）
由不等式的解集恰为，且为二次函数，
得，且.
所以，①，②
将代入①，，
整理得.又，a，，
从而或.所以或
当时，，
当时，，所以不是的等域区间.
当时，，.
当时，，所以不是的等域区间.
【点睛】函数中的新定义问题， “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，以不变应万变才是制胜法宝.
五、证明题
22．设正实数a、b、c满足：，求证：对于整数，有．
【答案】证明见解析
【分析】本不等式是对称不等式，显然当时取等号．从不等式局部入手，当
时，，用 元均值不等式即可求解．
【详解】因为，
所以 .
同理可得 .
三式相加可得：
【点睛】对于对称型不等式, 有时从整体考虑较难入手, 故比较管用的手法是从局部入手, 从局部导出一些性质为整体服务, 这里的局部可以是某一单项也可以是其中的若干项.