2023-2024学年上海市风华中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市风华中学高一上学期期中数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了概念填空，填空题，证明题，解答题，问答题，计算题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、概念填空
1．集合的子集有 个．
【答案】4
【详解】集合的子集为：，共4个
故答案为：4
二、填空题
2．已知集合，，则
【答案】
【分析】根据集合的定义集体即可。
【详解】因为,，所以.
故答案为：
3．用反证法证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设 ．
【答案】该梯形是等腰梯形
【分析】根据反证法的原理可得答案.
【详解】若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设该梯形是等腰梯形
故答案为：该梯形是等腰梯形
4．已知，则“”是“”的 条件.
【答案】充分非必要
【分析】首先求解，根据两个集合的包含关系，即可判断.
【详解】若，即，
解得：或，
集合或，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故答案为：充分非必要
5．已知，，则
【答案】
【分析】将对数式转化为指数式，再通过指数运算公式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：
6．已知幂函数过原点，则实数的值为 ．
【答案】﹣2
【分析】由幂函数的定义及性质即可得解.
【详解】因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数的图象过原点，符合题意；
当时，函数的图象不经过原点，不符合题意；
故.
故答案为：-2.
7．设，则不等式的等号成立时x的取值范围为
【答案】
【分析】根据x的范围分类讨论，去掉绝对值求解即可.
【详解】，
所以的等号成立时，
即或或，
解得：，
故答案为：
8．函数（，且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值为 ．
【答案】或
【分析】讨论或，根据指数函数的单调性求出最值即可求解.
【详解】当时，则函数在区间上单调递增，
由题意可得：，解得或（舍去）；
当 时，则函数在区间上单调递减，
由题意可得：，解得或（舍去）；
综上所述：或 ．
故答案为：或.
9．设为实数，现有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，，则；
④不等式与不等式等价；
其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号)
【答案】①②④
【分析】利用不等式的性质可判断①②；举反例可判断③；利用指数函数的单调性可判断④.
【详解】对于①，若，则，正确；
对于②，若，则，所以，正确；
对于③，若，，则，故错误；
对于④，为上的单调递增函数，若，则，若，则，故正确；
故答案为：①②④.
10．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意，将替换x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出的解集.
【详解】关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，
用－替换x，不等式可以化为＋＝＋＜0，
因为－∈(－2，－1)∪(2，3)，所以＜x＜1或－＜x＜－，
即不等式＋＜0的解集为∪
故答案为： ∪
【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.
三、证明题
11．设，试比较与的大小.
【答案】
【分析】利用作差法，即可比较两式的大小.
【详解】,
因为,所以,
所以，所以.
四、解答题
12．已知集合，，若，求实数的值及．
【答案】；.
【分析】根据给定条件可得，再分类求解并验证作答.
【详解】因，则，在集合中，，
于是得或，解得或，
当时，，，而与已知矛盾，即不成立，
当时，，，有，则，，.
所以，.
五、问答题
13．已知全集，集合集合.
(1)当时，求集合;
(2)若求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解分式不等式以及绝对值不等式 ，求出集合A、B，再利用集合的并运算即可求解.
（2）由题意可得，再由集合的包含关系得到不等式，求出答案.
【详解】（1）当时，，故，解得，
故，
，解得，
故，
（2）由（1）可得，或，，
若，可得或，解得或
所以实数a的取值范围为
六、计算题
14．（1）已知正实数，满足，求 的最小值，并求出此时，的值.
（2）已知，，试用，表示，
【答案】（1）4；；（2）
【分析】（1）应用基本不等式求和的“乘1法”，求和的最小值.
（2）通过换底公式和对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）因为正实数，满足，
所以 ，
所以 的最小值为4，此时，又，即.
（2）因为，，
，
七、应用题
15．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度y (单位：km/min) 和候鸟每分钟耗氧量的单位数x，满足关系式其中常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.
(1)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位?(答案四舍五入到整数)
(2)若雄鸟的飞行速度为1.5km/ min，雄鸟的飞行速度为1km/ min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍?
，
【答案】(1)466
(2)3
【分析】（1）将代入解析式，令求出，得到答案；
（2）设出未知数，得到方程组，两式相减得到，得到答案
【详解】（1）由题意得函数，令得，，
即所以所以，
所以候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位；
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，
由题意可得，
两式相减可得所以，解得，
所以此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
八、计算题
16．已知函数的表达式为且
(1)求函数的解析式；
(2)若方程 有两个不同的实数解，求实数m的取值范围；
(3)已知若方程的解分别为，，
方程的解分别为，，求的最大值.
【答案】(1)
(2);
(3).
【分析】（1）将点代入解析式中求出的值，即可求得函数解析式
（2）结合已知条件得到方程，然后令，将方程转化为一元二次方程并求根，然后根据自变量的取值范围即可求出参数的取值范围；
（3）首先通过求解含绝对值的方程，得到，同理解方程，得到，然后根据指数运算可得，最后根据的取值范围即可求解的最大值.
【详解】（1）由可得，又，，；
（2）由和方程
可得：，令，
可得，则有，
且方程有两个不同的实数解，
，解得：.
（3）由，得或，
所以，，，
由，得，，
，，
又因为，所以；
，，
即的最大值为.