2023-2024学年上海市黄浦区高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区高一上学期期中数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．若集合，则
【答案】
【解析】根据两个集合的元素直接写出并集即可.
【详解】由题：集合，则.
故答案为：
【点睛】此题考查集合的并集运算，根据集合中的元素，直接写出并集，属于简单题目.
2．若恒成立，则的值 ．
【答案】5
【解析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.
【详解】因为，即恒成立，
所以，所以.
故答案为：5
【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.
3．若，则 .
【答案】16
【分析】直接根据对数式与指数式的互化即可得解.
【详解】解：因为，所以，解得.
故答案为：16.
4．方程的解集为 ．
【答案】
【分析】含有绝对值的一元一次方程，对的取值范围进行讨论即可.
【详解】当时，原式得：，解得：
当时，原式得：，解得：
当时，原式得：，解得：
当时，原式得：，解得：
则其解集为.
故答案为：
5．若，则 ．
【答案】
【分析】利用集合的互异性及集合相等，求出即得.
【详解】由，得且，当时，显然，于是，
解得，，所以.
故答案为：
6．设关于的不等式与的解集分别为，用集合运算表示不等式组的解集
【答案】
【解析】根据题意可知不等式的解集为，然后即可用集合的运算表示原不等式组的解集．
【详解】解：不等式的解集为，
不等式的解集为，
不等式组的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式组解集的定义及求法，交集和补集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
7．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围
【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．
故答案为：
8．用反证法证明命题：若实数a、b、c满足，且，则且．正确的假设是： ．
【答案】或
【分析】根据给定的条件，求出结论的否定即得.
【详解】依题意，正确的假设是或.
故答案为：或
9．若，则的值为 ．
【答案】1
【分析】由指数式和对数式的互化，可将和表示出来，然后根据换底公式表示出和，代入，根据对数的运算性质计算即可.
【详解】因为，所以，，
所以，，所以.
故答案为：1
10．已知集合，，若，则实数 ．
【答案】，或或，
【分析】根据集合交集的运算性质进行求解即可.
【详解】，
当时，，显然符合，
当时，，因为，
所以有，或，解得，或，
综上所述：，或或，
故答案为：，或或，
11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）．
【答案】
【分析】根据题目条件得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】设该小城的长宽分别为，，步里，步里，
则，即，
故周长为，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
12．若正实数x、y满足，且，则xy的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据均值不等式计算得到，确定，，代入计算得到不等式，解得答案.
【详解】正实数x、y满足，则，即，
当且仅当时等号成立；
，则，，
，即，即，解得；
故.
故答案为：.
二、单选题
13．若与互为相反数，则有（ ）
A．B．C．D．以上答案均不对
【答案】C
【分析】根据相反数得到，计算得到答案.
【详解】与互为相反数，则，即，.
故选：C.
14．已知命题：①若，则；②若，则；③若，则且；④若，则．其中真命题的个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用等式及不等式的性质逐一判断各个命题即得.
【详解】对于①，，由，得，①是真命题；
对于②，在中，，因此，②是真命题；
对于③，显然满足，③是假命题；
对于④，显然满足，而，④是假命题，
所以真命题的个数为2.
故选：B
15．“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分非必条件
【答案】C
【分析】根据不等式有解得到，解得答案.
【详解】存在实数x使得不等式成立，则，
解得或.
故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件.
故选：C.
16．设表示不超过x的最大整数，如，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式得到，再根据定义确定范围.
【详解】，则，故.
故选：D.
三、解答题
17．已知．
(1)求的值；
(2)用m表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用对数的运算法则计算得到答案.
（2）变换得到，得到答案.
【详解】（1），则
.
（2）
.
18．已知集合，．
(1)若，求；
(2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由集合的交集运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得是的真子集。列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，，
当时，则，所以.
（2）因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，又，，
所以，解得，即实数a的取值范围为.
19．已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为．
(1)均为正根，求实数m的取值范围；
(2)若满足：，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】结合韦达定理列出式子，即可求；
【详解】（1）由均为正根，得，
解得，即；
（2）由（1）得，解得（舍去）或，
则
20．经观测，杭州亚运期间，某路段在某时段内的车流量L（千辆/小时）与汽车平均速度v（千米/小时）之间关系如下：．
(1)在该时段内车流至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应该控制在什么范围？
(2)求该时段内该公路的大车流量（车流量精确到：0.1千辆/小时，并求出最大车流量时的汽车平均速度．
【答案】(1)
(2)汽车平均速度为时，车流量最大为
【分析】（1）解不等式得到答案.
（2）利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1），恒成立，即，
解得，
故汽车的平均速度应该控制在.
（2）.
当且仅当，即时等号成立.
即当汽车平均速度为时，车流量最大为.
21．已知点和点是直角坐系第一象限内的两个点，定义：若，则称点是点的“上位点”，点是点的“下位点”．
(1)试写出点的一个“上位点”和一个“下位点”坐标；
(2)已知正数a、b、c、d满足：，，且点是点的“上位点”．试判断点和点是否是的“上位点”？证明你的结论．
【答案】(1)一个“上位点”是，一个“下位点”是；
(答案不唯一)
(2)点不是的“上位点”， 点是的“上位点”，证明见解析.
【分析】（1）利用“上位点”和“下位点”的定义，即可求解；
（2）利用“上位点”和“下位点”的定义，列式证明
【详解】（1）由定义，可知，，且，
所以点的一个“上位点”是，一个“下位点”是；
（2）由条件可知，，且，
则
，
由条件，，可知，，，
且，即，
即，得，
所以点是的“下位点”，不是“上位点”，
，
由条件，，可知，，，
且，即，
即，得，
所以点是的“上位点”.