2023-2024学年上海市闵行区六校联考高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市闵行区六校联考高一上学期期中数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了填空题，单选题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．集合，则实数
【答案】2
【分析】根据集合间关系可知，即可求出.
【详解】因为，
所以，解得，
故答案为：2
2．集合，集合，则
【答案】
【分析】利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故答案为：
3．函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式，即可求出函数的最小值，得到答案.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号，此时，即函数的最小值是.
故答案为：.
4．已知集合，，则
【答案】
【分析】先解不等式，对集合A进行化简，再求出集合A的补集.
【详解】即解得，
故，
又，
所以.
故答案为：
5．下列写法中，正确的有
①；②；③；④.
【答案】①
【分析】根据元素与集合，集合与集合关系可判断.
【详解】空集是任何非空集合的真子集，故①正确，②错误，，故③错误，空集是不含任何元素的集合，故④错误.
故答案为：①.
6．已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ .
【答案】
【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.
【详解】在数轴上表示出集合和集合,要使，只有.

【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.
7．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是
【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，
可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
8．设命题p：集合，命题q：集合，若，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得命题p是命题q的充分条件，列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为，则命题p是命题q的充分条件，则，解得，即实数a的取值范围是.
故答案为：
9．若关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】先考虑时的情况，再考虑时的情况，当时根据一元二次不等式恒成立问题的解法即可求解.
【详解】当即时，不等式可化为，此时不等式恒成立，
当即时，若对一切实数x都成立，
则，解得，
综上所述，若对一切实数x都成立，则.
故答案为：
10．已知对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意，由绝对值不等式可得，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为对一切实数x都成立，即，
又，所以，解得，所以实数a的取值范围是.
故答案为：
11．用长度为24米的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 米.
【答案】3
【详解】设隔墙长度为x，场地面积为S，则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.
∴当x＝3时，S有最大值18,故填3.
12．对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是
【答案】17
【分析】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可.
【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16；
当a，b一奇一偶时，1×16=16；
集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个.
故答案为：17.
二、单选题
13．若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于选项A：若，则，故选项A正确；
对于选项B：，因为，所以，
即，所以，故选项B不正确；
对于选项C：若，则，故选项C正确；
对于选项D：若，则，故选项D正确，
故选：B
14．下列命题中：
①关于x的方程是一元二次方程；
②空集是任意非空集合的真子集；
③如果，那么；
④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．①②④
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可.
【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题；
②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题；
③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题；
④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题，
故选：B
15．若a，b，c是常数，则“ a>0，且b2-4ac<0 ”是“对任意，有ax2+bx+c>0 ”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：因为“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”等价于a>0，且判别式小于零或者a=0,b=0,c>0的充分不必要条件，选A
16．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”．给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，，且是“复活集”，则；③若，，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．其中正确的命题个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案.
【详解】对于①， ，故①正确；
对于②，不妨设，
则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，
由，可得或，故②错；
对于③，不妨设中，
由得，
当时，即有，
，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确；
对于④，当时，，故只能，，求得，
于是“复活集” 只有一个，为，
当时，由，
即有，
也就是说“复活集”存在的必要条件是，
事实上，矛盾，
当时不存在“复活集”，故④正确.
故选：C
三、问答题
17．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数m取值范围组成的集合.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）代入根据并集含义即可；
（2）根据真子集关系得到不等式组，解出即可.
【详解】（1）当时，；
（2）由题意得是的真子集，则，解得，
所以实数取值范围组成的集合.
18．设集合，集合.
(1)若集合A是关于x的一元一次不等式的解，求集合A；
(2)若时，求.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由题意得得到关于的方程，解出再代入即可；
（2）直接代入解出集合，再根据交集含义即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
此时，解得.
（2）当时，，解得，
而等价于，解得，
则.
四、解答题
19．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元．
(1)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？
(2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨？
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）根据一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，可建立不等式，从而可求次购买量的范围；
（2）先设某公司每次都购买吨，由于一年购买某种货物400吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，最后利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可．
【详解】（1）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元．
由，得．
每次购买量在大于或等于10吨且小于或等于40吨的范围内．
（2），当即吨时，等号成立．
每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
五、问答题
20．已知函数.
(1)求不等式的解集M；
(2)设M中的最小数是m，正数a、b满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将函数写为分段函数的形式，再根据范围依次解不等式即可.
（2）确定，变换，再利用均值不等式计算得到最值.
【详解】（1），
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
综上所述：，即.
（2），，
.
当且仅当，即，时等号成立.
六、解答题
21．符号表示不大于的最大整数（）,例如：
（1）已知，分别求两方程的解集；
（2）设方程的解集为,集合，若，求的取值范围.
（3）在（2）的条件下，集合，是否存在实数，，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）根据定义直接写出；（2）先求解出集合中表示元素的范围，再根据求解的范围；（3）由可知，根据子集关系求解的范围.
【详解】（1）因为表示不大于的最大整数，时，解得：，所以 ；时，解得：，所以；
（2）因为，所以，根据绝对值不等式的几何意义解得： ，又；
当时，，所以成立；
当时， ，若，则有：，解得；
当时，，若，则有：，解得；综上：；
（3）因为，所以，且，所以设集合的解集为：，则有：，所以，解得：.
【点睛】（1）对于集合：当时，；当时，；
（2）通过集合间的关系求解参数或者参数范围时，如果不能直接得到对应的结果或者计算很麻烦，可以利用数轴去分析集合表示元素间的关系.