2023-2024学年上海市南汇中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市南汇中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．集合的真子集的个数为
【答案】3
【分析】由真子集的定义，将集合的真子集列举出来即可.
【详解】集合的真子集有，
共3个，故答案为3.
【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分（不是所有）元素组成的集合，包括空集.
2．设全集，集合，则 .
【答案】
【分析】根据补集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
故答案为：
3．若集合，，则 .
【答案】
【分析】解方程组即可得出的元素，从而得出．
【详解】解，得，
．
故答案为：
4．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】把不等式，转化为不等式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，不等式，等价于，即，解得，
即不等式的解集为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．已知实数且，，则
【答案】
【分析】根据条件，利用分数指数幂的运算法则即可求出结果.
【详解】因为，所以，
故答案：.
6．已知，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将原式化为，利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】，，
，
当且仅当，即时取等号，
在时，最小值为.
故答案为：.
7．关于的不等式的解集为，则 .
【答案】2
【分析】由一元二次不等式的解集知是方程的两个根，结合根与系数关系求参数，即可得答案.
【详解】由题设是方程的两个根，则，
所以.
故答案为：2
8．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】假设为真，一元二次不等式求对应范围，根据是的必要条件确定集合包含关系即可求参数范围.
【详解】若为真，则，
若是的必要条件，即，则.
故答案为：
9．已知关于的方程的两个实根为、，，则实数 .
【答案】
【解析】根据韦达定理得到，带入式子计算得到答案.
【详解】方程的两个实根，则，则或，，则，解得或（舍去）.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次方程根与系数的关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，没有排除多余解是容易发生的错误.
10．已知关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】讨论、，结合一元二次不等式对应二次函数性质列不等式组求参数范围.
【详解】当时，在R上恒成立；
当时，只需，可得；
综上，.
故答案为：
11．若不等式组的解集为M，且中有2023个元素，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】先解不等式组求出集合，再由中有2023个元素，可求出的取值范围
【详解】由，得，解得或，
由，得，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为空集，不合题意，所以舍去，
所以当时，，
因为中有2023个元素，
所以，所以，
所以，
当时，由于中有2023个元素，，
则，所以，所以，
综上的取值范围是，
故答案为：
12．非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是 .
（1） （2） （3）若，，则 （4）若，、则
【答案】（1）（2）（4）
【分析】（1）用反证法，证明矛盾即可；（2）由开始类推，能得到所有自然数均属于集合，由题知，两者相除也属于集合；（3）和（4）属于同类型，因为加减乘除分别互为逆运算，所以也成立.
【详解】假设，则令，
则，，
令，，
则，，
令，，
不存在，即，矛盾，
所以，（1）对；
由题知，，
则，，
，
，（2）对；
因为，
若，
则，（3）错；
因为，，
所以，
又，，（4）对.
故答案为：（1）（2）（4）
二、单选题
13．用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设
A．B．C．且D．或
【答案】D
【详解】分析：根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论.
详解：根据反证法证明数学命题的方法，
应先假设要证命题的否定成立，
而的否定为“不都为零”，故选D.
点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于简单题.
14．有四个命题：①；②，；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由不等式的性质及特殊值法判断各项的正误即可.
【详解】①，则，对于任意实数都有，对；
②，，若，此时，错；
③，则，故，对；
④由不等式性质知，对.
所以共有3个正确命题.
故选：C
15．已知､是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件与必要条件的定义、一元二次不等式的解法以及集合并集的运算进行分析求解即可．
【详解】解：①当时，若，则，此时，,所以；
当，时，此时，，所以，
故“”是“”的充分条件；
②当时，若，此时，
当，此时，不满足题意，
当时，，符合题意，此时；
若，此时，
当时，，不符合题意；
当时，，满足题意，此时，
故“”是“”的必要条件．
综上所述，“”是“”的充要条件．
故选：C
16．已知，集合，且，则不可能的值是（ ）
A．4B．9C．16D．64
【答案】A
【解析】先设是方程的根，，再依题意分析根均为整数，列举根的所有情况，确定和的可能情况，得到的最小取值和其他可能的情况，即得结果.
【详解】设是方程的根，则由根和系数的关系知，又，说明方程有一个方程是两个相等的根，其他三个方程是两个不同的根，由于根均为整数且和为4，则方程的根有以下这些情况：…，，乘积分别为…，-60，-45，-32，-21，-12，-5，0，3，4.
因为，故，来自于4前面的任意可能三个不同的数字，最小，故当时最小，等于9，故不可能取4，能取9；当或时可以取16，64.
故选：A.
【点睛】本题解题关键是能依据题意分析方程的根的可能情况，既是整数又满足和为4，判断，再根据的可能情况，确定的可能结果，以突破难点.
三、解答题
17．设，试比较与的大小.
【答案】
【分析】利用作差法，即可比较两式的大小.
【详解】,
因为,所以,
所以，所以.
18．已知集合，.
(1)若，求集合；
(2)若且，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集的运算可得；
（2）由得，再根据分类，可得.
【详解】（1）或，
当，，所以
（2）当时，，满足题意；
当时，，
由得，所以，得，故，
综上
19．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
20．设在二维平面上有两个点，，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.
(1)已知A，B两个点的坐标为，，如果，那么x的取值范围是多少？
(2)已知A，B两个点的坐标为，，如果，那么x的取值范围是多少？
(3)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a的取值范围是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到，求出解集；
（2）根据题意得到，写出分段函数形式，从而得到答案；
（3）由绝对值三角不等式得到，进而得到不等式，求出解集.
【详解】（1），即，
故，解得，
故x的取值范围是；
（2），
因为，
显然或满足要求，又令，解得，
令，解得，综上，x的取值范围是；
（3）由题意得恒成立，
因为，
所以，解得或，
故a的取值范围是.
21．问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)时，取得最小值．
【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．
（3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得．
【详解】（1）因为,，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
（2），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足.
（3）令，，由得，
，
又，所以，
构造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等号时，且同正，
结合，解得，即，．
所以时，取得最小值．
【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题．