2023-2024学年上海市浦东新区高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区高一上学期期中数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了填空题，单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．设、，则“，”是“”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既非充分也非必要”）
【答案】充分非必要
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】当且时，由不等式的基本性质可得，
则“，”“”；
当时，取，，则“，” “”.
所以，“，”是“”的充分非必要条件.
故答案为：充分非必要.
2．已知一元二次方程的两个实根分别为，，且，则实数
【答案】
【分析】利用根的判定式求出参数的取值范围，再利用韦达定理计算可得；
【详解】解：因为一元二次方程的两个实根分别为，，
所以，解得或
所以
又因为，所以，即，解得或（舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查根与系数的关系的应用，属于基础题.
3．设a、b、c是实数，对于下列命题：①如果，那么，其中是正整数；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中是正整数；⑤如果，那么；⑥如果，那么.其中真命题的序号为 .
【答案】①③⑥
【分析】①结合的乘方的性质进行考虑；②考虑的情况；③考虑的性质；④考虑的情况；⑤取特殊值考虑，⑥结合的单调性进行考虑
【详解】对①，因为表示个相乘，则，那么，①正确；
对②，当时，满足，但，②错误；
对③，若，则且，所以，③正确；
对④，取，则，，④错误；
对⑤，取，满足，但，⑤错误；
对⑥，函数在上单调递增，若，则，⑥正确.
故答案为：①③⑥
4．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围 .
【答案】.
【分析】由一元二次函数的性质可得.
【详解】由题意，解得，
故答案为：.
5．50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测试成绩及格的分别有人和人，两项测试成绩均不及格的共有人，两项成绩都及格的共有 人．
【答案】25
【分析】设两项测试全都及格的人数是 x,根据条件列式求解即可.
【详解】至少有一项及格的人数为 50-4=46，设两项测试全都及格的人数是 x，则由 46=40+31-x，解得 x=25，
故答案为: 25．
6．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 .
【答案】
【分析】根据集合相等可得出关于实数、的等式组，解出、的值，即可得出的值.
【详解】由题意可知，，则，所以，，可得，
从而，所以，，且，解得，
因此，.
故答案为：.
7．已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由充分条件列不等式组求参数范围.
【详解】由题意，所以.
故答案为：
8．已知集合，，，当 时，且.
【答案】5或
【分析】先求出集合，然后分析出的情形，再代入集合中的方程求解.
【详解】，，
且，则或，
由得或，
时，，满足题意，
时，，满足题意，
若，则，无解，
故答案为：5或.
9．已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是 .
【答案】
【分析】根据集合的包含关系分类求解．
【详解】时，，
时，，由得，或，即或，
综上，的取值集合是．
故答案为：．
10．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是
【答案】
【详解】由得
由整数有且仅有1，2，3知，解得
11．研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解决方案：
解：由，令，则，
所以不等式的解集为.
参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ；
【答案】
【分析】参考题中所给解法，通过变形将不等式中的变为的形式，再令，解不等式即可.
【详解】由得，，
令，因为，所以.
所以不等式的解集为.
故答案为：.
12．已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个.
【答案】31
【分析】根据集合的定义确定集合中可能含有的元素，然后结合子集个数可得..
【详解】由题意1和36同时属于或不属于集合，2和18同时属于或不属于集合，3和12同时属于或不属于集合，4和9同时属于或不属于集合，又6也可以属于或不属于集合，
因此满足题意的集合的个数为，
故答案为：31.
二、单选题
13．已知集合，则集合A中的元素（ ）
A．除以3余数为；B．除以3余数为1；
C．除以3余数为2；D．能被3整除.
【答案】C
【分析】根据集合的定义与整除的概念判断.
【详解】，因此集合A中的元素除以3余数为2，
故选：C.
14．用反证法证明“若a，b∈R，，则a，b不全为0”时，假设正确的是（ ）
A．a，b中只有一个为0B．a，b至少一个不为0
C．a，b至少有一个为0D．a，b全为0
【答案】D
【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．
【详解】由于“a，b不全为0”的否定为：“a，b全为0”，
所以假设正确的是a，b全为0.
故选：D．
三、多选题
15．设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质判断，其中D用特殊值法．
【详解】，则，所以，，D正确；
，，A错误；
，，C正确；
若，则，B错误．
故选：CD．
四、单选题
16．若不等式，当时总成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质求得的最大值，然后解相应不等式可得.
【详解】因为，
所以不等式，当时总成立等价于，
，，，所以，
故选：C.
五、解答题
17．解不等式组
【答案】.
【分析】分别解一元二次不等式和分式不等式后，再求交集可得.
【详解】，
，
所以原不等式组的解集为.
18．已知全集为，集合，.
(1)求；
(2)求、.
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】（1）由绝对值性质确定集合，然后由补集定义确定；
（2）由交集、并集定义计算．
【详解】（1）全集为，则，
，
时，，，∴，
时，，无实解，
综上，；
（2）由（1），．
19．已知命题甲：方程在上有解；命题乙：只有一个实数满足不等式.设命题甲、命题乙为真时实数的取值分别组成集合A、B.
(1)求集合A、B；
(2)若命题甲与命题乙至少有一个是假命题，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）根据一元二次方程的解和一元二次不等式的解的情况确定集合；
（2）求出的补集即得.
【详解】（1）或，或，所以，即，
只有一个实数满足不等式，则，或，所以.
（2）命题甲与命题乙都是真命题时的范围是，
因此命题甲与命题乙至少有一个是假命题时，的范围是.
20．已知a、b均为正数，设.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的最小值为6，求的值，并求的最小值.
【答案】(1)；
(2)1
【分析】（1）根据经验值性质分类讨论去掉绝对值符号求解；
（2）同经验值性质求最小值得，再利用“1”的代换求最小值.
【详解】（1）由已知不等式为，
时，不等式为，，所以；
时，不等式为，，不成立；
时，不等式为，，所以，
综上，不等式的解集为；
（2），即的最小值是，
所以，又，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
所以所求最小值为1.
21．某品牌饮料原来每瓶成本为6元，售价为8元，月销售5万瓶.
(1)据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万瓶，要使月利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入－月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投入万元作为营销策略改革费用，据市场调查，每瓶售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万瓶则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？
【答案】(1)最多为元；
(2)10元.
【分析】（1）根据已知列出利润不等式，解之可得；；
（2）由已知写出利润函数，变形后利用基本不等式求得最大值，从而得出结论.
【详解】（1）设该饮料每瓶售价最多为元，由题意，解得，
所以该饮料每瓶售价最多为元；
（2）由题意利润为，当且仅当，即时等号成立，
所以每瓶售价为10元时，下月的月总利润最大.