2023-2024学年新疆奇台县第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆奇台县第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据数集的概念逐个判断即可.
【详解】是有理数，故①正确；不是正整数，故②错误；不是自然数，故③错误；
不是有理数，故④错误；不是整数，故⑤正确．故正确的有2个．
故选：B．
2．设集合，则下列结论正确的是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【答案】C
【分析】求出集合再判断选项可得答案.
【详解】集合，则且.
故选：C.
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”．
故选：D．
4．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【分析】根据幂函数定义求得k，再根据图象过的点求得，即可得答案.
【详解】由题意是幂函数，则，
即，将代入可得，
故，
故选：C
5．设，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.
【详解】若且，则，充分性成立；取，则成立，但“且”不成立，必要性不成立.因此“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性和单调性，比较函数值的大小即可.
【详解】∵，且在区间上是增函数，
∴．
故选：B.
7．设定义在上的函数是偶函数，且在为增函数.若对于，且，则有 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】函数是偶函数，且在为增函数，可以得到函数在为减函数，根据单调性以及的大小关系，分别判断各选项中函数的大小即可
【详解】因为函数是偶函数，且在为增函数，所以函数在为减函数
A选项中，因为，且，则，因为函数在减函数，所以选项A错误
B选项中，因为函数为偶函数，所以等价于，因为，所以，在为增函数，所以，即，所以B选项错误
同理，C选项错误
D选项中，等价于，所以D选项正确
故选：D
8．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A
二、多选题
9．下列各组函数不是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据两函数的定义域和对应关系完全相同是同一个函数逐个分析判断即可.
【详解】对于A，，，，
所以与不是同一函数；
对于B，，，，
所以与不是同一函数；
对于C，，，，，
所以与是同一函数；
对于D，，，
，，
所以与不是同一函数.
故选：ABD.
10．下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则B．若，则
C．如果，那么D．，则
【答案】BCD
【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立.
【详解】对于A，令，，则，故A错误.
对于B，因为，所以，故B正确.
对于C，由于 ，同乘以，
得，又，所以，故C正确.
对于D，若，则，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有B．，使得
C．任意非零实数，，都有D．函数最小值为2
【答案】AB
【分析】由基本不等式，全称量词，存在量词命题逐项判断命题的真假即可.
【详解】对于选项A，，都有，所以恒成立.故为真命题.
对于选项B，当时，，故为真命题.
对于选项C，当时，，故为假命题.
对于选项D，，当且仅当，此时无解，故等号不成立，所以为假命题.
故选：AB.
12．已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BCD
【分析】配方后得到当时，取得最小值，结合，求出，得到答案.
【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，取得最小值，
又，
故要想在上的值域为，
则要，
故实数的值可以是.
故选：BCD
三、填空题
13．已知集合的真子集有 个．
【答案】7
【分析】根据集合的定义，求出，由的集合有3个元素，利用真子集的定义，计算真子集个数可得答案.
【详解】由已知得
故真子集个数为：
故答案为：7
14．函数在上是增函数 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，先求出函数的对称轴，然后结合开口方向及在上单调性判断对称轴与4的大小即可求解．
【详解】解：二次函数是开口向下的二次函数，
对称轴为，
∴二次函数在上是增函数，
∴，解得：．
故答案为：．
15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】令，解出即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
解得，
故函数的定义域为，
故答案为：.
16．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人 .
【答案】
【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出结果.
【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：
由图可知：，解得，
所以同时参加数学和化学小组有人.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域
（2）直接把代入到函数解析式中可求
【详解】解：（1）由题意可得，
解不等式可得，且
故函数的定义域为且
（2）.
18．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）因式分解可得结果；
（2）配方法可得结果；
（3）配方法可得结果.
【详解】（1）由，得，得，
所以不等式的解集为.
（2）由得，得，
得，得或，即或，
所以原不等式的解集为或.
（3）由得，所以.
所以原不等式的解集为.
19．设集合，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据并集定义可直接求得结果；
（2）根据补集和并集定义可求得结果；
（3）根据补集和交集定义可求得结果.
【详解】（1）由并集定义知：.
（2），.
（3），或，
.
20．用定义证明函数在区间上单调递减．
【答案】证明见解析.
【分析】令，应用作差法判断的大小关系，即可证明结论.
【详解】任取，且，有，
由，则，，且，，
∴，即，
∴在区间上单调递减．
21．已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)若，恒成立，求：实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接将代入解析式，解方程即可得到答案；
（2）对进行分类讨论，若恒成立；若则可得抛物线开口向下，且与无交点；
【详解】（1）因为，
所以；
（2）当时，恒成立，
当，
综上所述：时，恒成立.
五、应用题
22．做一个体积为，高为的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周造价每平方米50元.当底面边长为多少时，总造价最低？最低是多少？
【答案】底面长与宽均为4m时总造价最低，最低为3040元．
【分析】设长方体底面的长与宽，由题意列出总造价y，再由基本不等式求解即可．
【详解】∵长方体体积为，高为，∴长方体底面积为，
设长方体底面的长为（），则宽为（），设总造价为y元，
则
由基本不等式，，
当且仅当，即时，等号成立.
∴当且仅当长方体的底面长和宽均为时，总造价最低，最低为元.