2023-2024学年浙江省杭州高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案

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这是一份2023-2024学年浙江省杭州高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.若x∈{1,2,x2}，则x的可能值为( )
A. 0，2B. 0，1C. 1，2D. 0，1，2
2.命题p: ∀x∈N, x3>x2的否定为( )
A. ∀x∈N, x3≤x2B. ∃x∉N, x3≤x2C. ∃x∈N, x3≤x2D. ∃x∈N, x33.若a，b，c∈R，aA. 1a<1bB. abC. a|c|>b|c|D. a(c2+1)4.已知函数y=f(2x)的定义域为[1,2]，则函数y=f(x+1)x−1的定义域为( )
A. [−1,1)B. (1,3]C. [0,3]D. [0,1)∪(1,3]
5.使“2x+11−x≥0”成立的一个必要不充分条件是( )
A. −12≤x≤1B. −12≤x<1C. x≤−12或x≥1D. x≤−12或x>1
6.因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油.现张先生本周按照以下两种方案加油(两次加油时油价不一样)，甲方案：每次购买汽油的量一定;乙方案：每次加油的钱数一定.问哪种加油的方案更经济( )
A. 甲方案B. 乙方案C. 一样D. 无法确定
7.已知定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，定义在R上的偶函数g(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(1)=g(1)=0，则满足f(x)g(x)>0的x的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(−1,0)B. (−1,0)∪(1,+∞)
C. (0,1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(−1,1)
8.已知函数f(x)=2x2−1,g(x)=ax,x∈R，用Mx表示fx,gx中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，若Mx的最小值为−12，则实数a的值为( )
A. 0B. ±1C. ± 2D. ±2
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. f(x)=3x3与g(t)=t是同一函数
B. 奇函数的图象一定过点(0,0)
C. 对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
D. 函数f(x)=1x在其定义域内是单调递减函数
10.函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一坐标系中的图象可能为( )
A. B. C. D.
11.已知f(x)=x2,x≥5,12f(x+1),x<5，则( )
A. 2f(4)=f(5)B. 2f(5)=f(6)
C. f(1)=1532D. 当x∈[4,5),f(x)=(x+1)22
12.对于定义在D函数f(x)若满足：
①对任意的x∈D，f(x)+f(−x)=0;②对任意的x1∈D，存在x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=x1+x22;
则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为( )
A. f(x)=2xB. f(x)=x2,0C. f(x)=1xD. f(x)=|x−1x+1|
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.化简求值：0.027−13+( 8)43−3−1+( 2−1)0=__________.
14.函数f(x)=(12)|x−1|的单调递减区间为__________，值域为__________.
15.已知函数f(x)=ax2−(2−a)x+1，g(x)=x，若对于任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数a的取值范围是__________.
16.已知函数f(x)=x3+2x−12x+1+5，若实数a、b满足f(2a2)+f(b2−2)=10，则a 1+b2的最大值为__________
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设集合A=x−1≤x≤2，B=x2m2.
(1)若A∩B=B，求实数m的取值范围；
(2)若B∩C中只有一个整数，求实数m的取值范围．
18.已知函数gx=2x+b2x−b，b为非零常数．
(1)当b<0时，试判断函数y=gx的单调性，并用定义证明；
(2)当b=−1时，不等式gx2+1+g3−ax>0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
19.老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重量增长率200%，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为4.5个单位，含氧量y与年份x的函数模型为y=kax(k>0,0(1)试求出含氧量模型函数关系式;
(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失;
(3)求出第n+1年鱼的总重量an+1与第n年鱼的总重量an的关系式(不用证明关系式，n为整数)，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
20.对于定义域为I的函数fx，如果存在区间m,n⊆I，使得fx在区间m,n上是单调函数，且函数y=fx，x∈m,n的值域是m,n，则称区间m,n是函数fx的一个“优美区间”．
(1)判断函数y=x2(x∈R)和函数y=3−4x(x>0)是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？(直接写出结论，不要求证明)
(2)如果m,n是函数fx=a2+ax−1a2x(a≠0)的一个“优美区间”，求n−m的最大值．
浙江省杭州高级中学2023-2024学年第一学期期中考试试题
高一数学参考答案
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题．
利用集合中元素的互异性分类讨论求解即可．
【解答】
解：∵x∈{1,2,x2}，
当x=1时，{1,2,x2}={1,2,1}，不满足集合中元素的互异性；
当x=2时，{1,2,x2}={1,2,4}，满足集合中元素的互异性；
当x=x2，即x=0或x=1(舍)时，{1,2,x2}={1,2,0}，满足集合中元素的互异性；
∴x=0或x=2.
故选A.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于基础题.
【解答】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
故命题p的否定为：∃x∈N,x3⩽x2.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质的综合应用，掌握不等式的性质是解题的关键，属于基础题.
利用不等式的性质，这个判断四个选项即可判断.
【解答】
解：对于A，由a1a>1b，故选项A不正确；
对于B，由a0,故ab>b2，故选项B不正确；
对于C，当c=0时，ac=bc，当c≠0时，ac对于D，由c2+1>0，a故选：D.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域求解，需要充分理解定义域的具体含义，为基础题.
【解答】
解：函数y=f(2x)的定义域为[1,2]，则有fx的定义域为2,4，
则函数y=f(x+1)x−1的定义域满足2≤x+1≤4x≠1，即该函数的定义域为(1,3].
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查必要不充分条件的概念及应用，以及分式不等式的求解.
【解答】
解：2x+11−x≥0，可得2x+1x−1≤0，且x≠1.可得−12≤x<1，结合选项找必要不充分条件，则为−12≤x≤1，为选项A.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查根据实际问题中用作差法比较大小，属于基础题.
设两次加油的油价分别为x元/升、y元/升，分别写出两种方案两次加油的平均价格，比差即可得结论.
【解答】
解：设两次加油的油价分别为x元/升，y元/升(x,y>0,且x≠y)，
甲方案每次加油的量为a升(a>0)，
则甲方案的平均油价为：ax+ay2a=x+y2;
乙方案每次加油的钱数为b元(b>0)，
乙方案的平均油价为：2bbx+by=21x+1y=2xyx+y；
因为x+y2−2xyx+y=(x−y)22(x+y)>0，
所以x+y2>2xyx+y，即乙方案更经济.
故选B.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性以及单调性，属于中档题．
根据函数奇偶性以及单调性可得当x<−1或00，当−11时，f(x)<0，当x<−1或x>1时，g(x)<0，当−10，从而可解．
【解答】
解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，又f(1)=0，则当x<−1或00，当−11时，f(x)<0，
又因为g(x)是定义在R上的偶函数，且g(1)=0，则当x<−1或x>1时，g(x)<0，
当−10，
则当f(x)g(x)>0时，01，
故选：C.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，考查函数的最值，属于一般题.
先画出两个函数的图象，得到Mx的图象，根据最小值为−12进行数形结合可知，交点处函数值为−12，计算即得结果.
【解答】
解：依题意，先作两个函数f(x)=2x2−1,g(x)=ax,x∈R的草图(图中a的正负情况对解题过程不影响)，
因为M(x)=max{f(x),g(x)}，故草图如下：
可知在交点A出取得最小值−12，
令2x2−1=−12，得x=±12，故A±12,−12，代入直线g(x)=ax，得−12=±12a，
故a=±1.
故选：B.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查函数的定义和性质，属于基础题.
【解答】
解：f(x)=3x3=x与g(t)=t是同一函数，故A正确;
奇函数的图象不一定过(0,0)点，故B错误;
函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x值肯定不同，故C正确;
f(x)=1x的单调减区间为(−∞,0)和(0,+∞)，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误.
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数图象特征与对应参数取值范围的关系，理解基本函数图象的特征是解答本题的关键，此类题通常是假定一个正确，从而来检验两者之间是否有矛盾．
先假定函数g(x)=xa的图象正确，得出相应的参数a的范围，再由此判断函数f(x)=ax2+2x+1图象是否符合这一特征，即可得出正确选项．
【解答】解：对于A选项，函数g(x)=xa正确，可得出a<0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x=−1a>0，所给图象符合这一特征，故可能是A；不可能是B；
对于选项C，函数g(x)=xa正确，可得出a>0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−1a<0，所给图象符合这一特征，故可能是C；
对于选项D，函数g(x)=xa正确，可得出a>0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−1a<0，所给图象符合这一特征，故可能是D；
故选：ACD.
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的解析式与求值，属于中档题.
根据分段函数的解析式，逐项分析即得.
【解答】
解：因为fx=x2,x≥512fx+1,x<5，
所以f4=12f5，即2f4=f5，故A正确；
所以f5=25,f6=36，2f5≠f6，故B错误；
所以f(1)=12f(2)=14f(3)=18f(4)=116f(5)=2516≠1532，故C错误；
当x∈4,5时，x+1∈5,6,所以fx=12fx+1=x+122，故D正确.
故选：AD.
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查新函数的判定，函数新定义问题，属于中档题目．
由条件得出“等均值函数”在定义域内为奇函数，结合新定义对选项进行逐一判断即可.
【解答】
解：对于A：f(−x)=−2x，所以f(x)+f(−x)=0，满足①；
对任意的x1∈R，存在x2=−x1∈R，使得f(x1)+f(x2)2=2x1+2x22=x1+x2=0=x1+x22，满足②，A正确；
对于B：当0当−1对任意的x1∈(−1,0)，存在x2=x1+1∈(0,1)，f(x1)+f(x2)2=−x12+x222=(x2+x1)(x2−x1)2=x1+x22，满足②，B正确；
对于C：f(−x)=1−x，所以f(x)+f(−x)=0，满足①；
对任意的x1∈(−∞,0)∪(0,+∞)，存在x2=1x1∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
使得f(x1)+f(x2)2=1x1+1x22=x1+x2x1x22=x1+x22，满足②，C正确；
对于D：定义域是x≠−1，对于任意的x，当x=1时，没有对应的−x使得f(x)+f(−x)=0成立，不满足①，D错误；
故选：ABC.
13.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查指数幂的化简求值，为基础题.
【解答】
解：0.027−13+ 843−3−1+ 2−10=0.3−1+4−13+1=8.
14.【答案】(1,+∞) ； (0,1]
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的值域和单调区间，考查指数函数的性质，属于基础题.
根据指数函数的性质可得值域，根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调区间.
【解答】
解：定义域为R，
∵|x−1|≥0，
∴0∴值域为(0,1].
设y=(12)u，u=|x−1|，
∴u在区间(−∞,1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，
∵y=(12)u为减函数，
∴y=(12)|x−1|在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减.
故答案为(1,+∞)；(0,1].
15.【答案】[0,4+2 3),
【解析】【分析】
本题主要考查了恒成立问题中求解参数范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
问题转化为当x<0时，f(x)=ax2−(2−a)x+1>0恒成立，然后对a是否为0进行分类讨论，结合二次函数的性质及一次函数性质可求．
【解答】
解：当x≥0时，g(x)≥0，当x<0时，g(x)<0，
因为对于任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，
故当x<0时，f(x)=ax2−(2−a)x+1>0恒成立，
当a<0时显然不成立，
当a=0时，f(x)=−2x+1>0对x<0时恒成立，满足题意，
当a>0时，函数图象开口向上，对称轴x=2−a2a，
①若2−a2a≥0，即0故f(x)>0对x<0时恒成立，满足题意；
②若2−a2a<0，即a>2时，f(x)min=f(2−a2a)=4a−(2−a)24a>0，
解得4−2 3综上，0≤a<4+2 3.
16.【答案】3 24
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性的应用，考查分类讨论等，为较难题.
【解答】
解：令gx=fx−5=x3+2x−12x+1，
g−x=−x3+2−x−12−x+1=−x3+2x−12x+1=−gx，故gx为奇函数，
f2a2−5=−fb2−2−5，即g2a2=−gb2−2，可知2a2=−b2+2，
即b2=2−2a2成立，则a∈−1,1，
当−1≤a≤0时，a 1+b2恒小于或等于0，
当0a 1+b2=a −2a2+3= −2a4+3a2= −2a2−342+98≤3 24.
综上a 1+b2的最大值为3 24.
17.【答案】解：(1)因为A∩B=B，所以B⊆A.
①当B≠⌀时，由B⊆A，得2m<12m≥−1，解得−12≤m<12；
②当B=⌀，即m≥12时，B⊆A成立．
综上，实数m的取值范围是mm≥−12.
(2)因为B∩C中只有一个整数，所以B≠⌀，
且−3≤2m<−2，解得−32≤m<−1，
所以实数m的取值范围是m−32≤m<−1.

【解析】本题主要考查集合交集的性质，集合之间的关系，属于基础题.
(1)根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；
(2)由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.
18.【答案】(1)解：因为gx=2x+b2x−b=1+2b2x−b，
所以，由指数型复合函数单调性可判断：函数y=gx在定义域上为单调增函数．
证明：∵b<0时，∴2x−b>0对x∈R恒成立，
∴函数y=gx的定义域为R，
任取x1,x2∈R且x10，2x2−b>0，
∵gx=2x+b2x−b=1+2b2x−b，
∴gx2−gx1=1+2b2x2−b−1+2b2x1−b=2b2x2−b−2b2x1−b =2b2x1−2x22x2−b2x1−b
=2b×2x11−2x2−x12x2−b2x1−b ，
∵x10，∴2x2−x1>20=1，∴1−2x2−x1<0，
又∵b<0， 2x1>0，2x1−b>0，2x2−b>0，
∴gx2−gx1>0，即g(x2)>g(x1)，
∴函数y=gx在x∈R为单调增函数．
(2)解：当b=−1时，gx=2x−12x+1 ，
∴由(1)知函数y=gx在x∈R为单调增函数，
∵函数y=gx的定义域为x∈R，关于原点对称，
又g−x=2−x−12−x+1=1−2x2x+1=−gx≠gx，
∴函数y=gx为R上的奇函数，
∴不等式gx2+1+g3−ax>0对x∈R恒成立等价于gx2+1>−g3−ax=gax−3 对x∈R恒成立，
∴x2+1>ax−3对x∈R恒成立，
∴x2−ax+4>0对x∈R恒成立，
∴Δ=a2−16<0，解得−4∴实数a的取值范围是−4,4 .

【解析】本题考查判断并证明函数的单调性、函数单调性、奇偶性的综合应用，属于较难题.
(1)gx=1+2b2x−b，进而结合指数型复合函数判断，再根据函数单调性的定义证明即可；
(2)结合(1)得y=gx在x∈R为单调增函数，再判断函数的奇偶性得y=gx为奇函数，再根据单调性与奇偶性得x2−ax+4>0对x∈R恒成立，进而根据二次不等式恒成立求解即可.
19.【答案】解：(1)含氧量y与年份x的函数模型为y=kax(k>0,0由已知条件知8=ka4.5=ka3，a=34k=323，即y=8⋅(34)x−1(x∈N).
(2)8⋅(34)x−1<8132，可得x−1>4，即x>5，
所以从第6年开始生长缓慢并出现损失.
(3)由题意和(2)可知，当n≤5时an+1=(1+12n−2)an，
当n≥6时，an+1=(1+12n−2)an⋅95%
当n≤5时，显然是递增，
当n≥6时an+12n−2>19，n≥7，故签7年.

【解析】本题考查指数函数模型的实际应用，为中档题.
20.【答案】解：(1)y=x2≥0，y=x2在[0,+∞)上单调递增，
由x2=x得x=0或1，存在优美区间是[0,1]；
y=3−4x(x>0)是增函数，若存在优美区间[m,n]，
则3−4m=m,3−4n=n,无解，不合题意，因此，不存在优美区间.
(2)由f(x)=(a2+a)x−1a2x=a+1a−1a2x在(−∞,0)和(0,+∞)上均为增函数，
已知f(x)在“优美区间”[m,n]上单调，
所以[m,n]⊆(−∞,0)或 [m,n]⊆(0,+∞)，且f(x)在[m,n]上为单调增，
则同理可得f(m)=m，f(n)=n，
即m，n(m等价于方程a2x2−(a2+a)x+1=0有两个同号的实数根，并注意到mn=1a2>0，
则只要△=(a2+a)2−4a2>0，解得a>1或a<−3，
而由韦达定理知n+m=a2+aa2=a+1a,mn=1a2，
所以n−m= (n+m)2−4mn= (a+1a)2−4a2
= −3a2+2a+1= −3(1a−13)2+43，
其中a>1或a<−3，
所以当a=3时，n−m取得最大值2 33.