2023-2024学年河北省石家庄十五中高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄十五中高一上学期第一次月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用并集运算即可得到答案
【详解】解：因为，
所以，
故选：D
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定，可得答案.
【详解】命题“”的否定是“”，
故选：A.
3．若，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】ABD可举出反例，C选项，可根据在R上单调递增得到C正确.
【详解】A选项，当时，满足，此时，A错误；
B选项，当时，满足，但不满足，B错误；
C选项，因为，而在R上单调递增，故，C正确；
D选项，当时，，D错误.
故选：C
4．已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵a>0，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充要条件的定义判断即可.
【详解】由可得，或，所以可推出，即“”是“”的充分条件；由，不能够推出，故“”是“”的不必要条件；
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．已知则集合的子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，可得为的正约数，又，从而即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又，所以，
所以集合，所以集合的子集个数为个．
故选：B．
7．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先解出集合B，再根据图中阴影部分表示的集合的含义直接求解.
【详解】.
因为，，，图中阴影部分表示的集合为中的元素去掉中的元素，即.
故选：D．
8．若，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故，的最小值为6．
故选：C．
二、多选题
9．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．集合的真子集个数为8
【答案】AC
【分析】根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.
【详解】因为全集，集合，，
所以，，，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，
故选：AC
10．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】AC
【分析】首先解不等式得到解集为，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】不等式等价于，也就是，
故不等式的解集为.
A、B、C、D四个选项中，只有A、C中对应的集合为的真子集.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查分式不等式，同时考查了充分不必要条件的判断，属于简单题.
11．在下列命题中，真命题有（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．，是有理数
C．，使
D．
【答案】ABC
【分析】根据全称命题和特称命题的含义，结合特例法分别判断即可.
【详解】对于选项A，由全程命题的否定，是把全称量词换成存在量词，再否定结论可知，故A正确；
对于选项B，，一定是有理数，故B正确；
对于选项C，当，时，，故C正确；
对于选项D，当时，，故D错.
故选：ABC.
12．若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】BC
【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可.
【详解】可化为，
因为关于的不等式的解集中恰有两个整数，
由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，

所以解得，
故选：BC
三、填空题
13．已知集合，，则集合的真子集的个数为 .
【答案】
【分析】求出集合，利用集合真子集个数公式可求得结果.
【详解】由已知，则，
所以，集合的真子集的个数为.
故答案为：.
14．若，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由可得，则可求出一元二次不等式的解．
【详解】，，则，
，
或．
故答案为：．
15．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】条件可转化为方程至多有一个根，然后分和两种情况讨论即可.
【详解】因为集合中至多有一个元素
所以方程至多有一个根，
当时解得，满足题意
当时，，解得
综上：或
【点睛】解答本题时一定要注意讨论的情况，否则就会漏解.
16．设，，若，则的最小值为 ．
【答案】16
【解析】把乘以得到，后用均值定理
【详解】解：，且且
∴
当且仅当取等号，
又，即，时取等号，故所求最小值为16．
故答案为：16
【点睛】考查均值定理的应用，基础题
四、解答题
17．（1）若，且满足，求的取值范围；
（2）已知，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意，由，代入计算，结合一元二次不等式求解，即可得到结果；
（2）根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以，因为，所以，
即，所以，因为，所以，
则，当且仅当时，等号成立，的取值范围为.
（2），且，则
，当且仅当时，即时，等号成立，所以的取值范围为.
18．已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）可利用数轴求两个集合的交集；
（2）根据子集关系列出不等式组，解不等式组即得结果．
【详解】（1）
（2）因为，
所以当时，有，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，以及集合之间的包含关系，属于基础题.
19．已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求得或，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）根据题意得到是Q的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）当时，集合，可得或，
因为，所以.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是Q的真子集，
当时，即时，此时，满足，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
综上，实数的取值范围为.
20．已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决.
【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，
又，所以 ，解得．
（2）因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
21．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
【答案】(1) y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2) 当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.
【详解】(1)设所用时间为t＝ (h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【点睛】本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
22．设.
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知解关于的不等式
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，转化为对一切实数恒成立，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，求得的两个根为，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
当时，，不满足题意；
当时，则满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：由不等式，即，
方程的两个根为，
①当时，不等式的解集为
②当时，不等式的解集为
③当时，不等式的解集为.
综上所述，
当时，不等式的解集为；
当时，解集为.