2023-2024学年河南省安阳市龙安高级中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省安阳市龙安高级中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，则集合P中元素的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】由集合的表示可解.
【详解】集合P中元素为，共2个.
故选：B
2．已知集合则=
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接利用并集的定义可得解.
【详解】
集合，所以.
故选A.
【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，属于基础题.
3．已知集合，，，则的子集共有 （ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】利用集合的交集的定义求出集合；利用集合的子集的个数公式求出的子集个数．
【详解】解：，
，
的子集共有
故选：．
4．“”是“一元二次方程”有实数解的
A．充分非必要条件B．充分必要条件
C．必要非充分条件D．非充分必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确．
【解析】充分必要条件
5．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”．
故选：D．
6．若，则下列不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作差，根据不等式的性质，即可判断得出答案.
【详解】对于A项，，
因为，所以，，
所以，，所以，故A项成立；
对于B项，，
因为，所以，
所以，，所以，故B项成立；
对于C项，，
因为，所以，，
所以，，所以，故C项成立；
对于D项，，
因为，所以，，，
所以，，所以，故D项不成立.
故选：D.
7．设集合，.若，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图象，根据集合之间的包含关系，即可得出答案.
【详解】
由已知结合图象可得，.
故选：C.
8．若正实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将条件变形为，然后利用常数代换结合基本不等式求解即可.
【详解】由，得，又为正实数，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
二、多选题
9．下列表达式正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据元素、集合以及空集的概念，即可得出答案.
【详解】对于A项，显然0是集合的元素，故A项正确；
对于B、C项，根据的概念，空集是没有任何元素的集合，可知B、C项错误；
对于D项，空集是任何集合的子集，故D项正确.
故选：AD.
10．下列命题中是真命题的是（ ）
A．且是的充要条件
B．是的充分不必要条件
C．是有实数解的充要条件
D．三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
【答案】BD
【分析】A选项，可举出反例；BD可推导出正确；C选项，根据一元二次方程有解，满足，故C错误.
【详解】A选项，当时，满足，但不满足且，
故且不是的充要条件，A错误；
B选项，因为，但，
故是的充分不必要条件，B正确；
C选项，有实数解，则要满足，故C错误；
D选项，三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形，
反之，若一个三角形是直角三角形，则三边满足勾股定理，
故三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形，D正确.
故选：BD
11．已知实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】举特例即可说明A项；根据不等式的性质，即可得出B、C两项；作差结合不等式的性质，即可得出D项.
【详解】对于A项，取，，，，
则，，所以，故A项错误；
对于B项，由已知可得，，，所以，故B项正确；
对于C项，因为，所以.
因为，所以，故C项正确；
对于D项，因为，所以.
因为，所以，
所以，所以.
又，所以，，所以，故D项正确.
故选：BCD.
12．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由二次不等式的解集可知，相应的二次函数图像开口向下，由相应的一元二次方程的两根结合起韦达定理可求的符号，将代入即可得解.
【详解】因为不等式的解集为，
故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误；
易知2和是方程的两个根，则有，，
又，故，，故BC正确；
因为，所以，故D正确．
故选：BCD
三、填空题
13．已知，，若集合，则的值为 .
【答案】－1
【分析】根据集合相等的条件即可得出，代入可推得.根据集合元素的互异性得出的值，代入即可得出答案.
【详解】根据已知可得，所以，
此时有，，
所以有，解得.
根据集合元素的互异性可知，，所以.
所以，.
故答案为：.
14．已知，，求的取值范围 .
【答案】
【解析】由不等式的性质直接求解即可
【详解】解：因为，所以，
因为，所以，
即，
所以的取值范围为，
故答案为：
【点睛】此题考查不等式性质的应用，属于基础题
15．已知，则的最大值是 .
【答案】
【解析】转化条件为，再由基本不等式即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式求最值的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
16．若，，则的大小关系 .
【答案】.
【解析】先假设，然后使用分析法逐步推理得到最简待证明式子，通过已知条件判断最简待证明式子的成立情况，从而得到的大小关系.
【详解】假设，因为要证，只需要证，
只需要证，
只需要证，
只需要证.
因为成立，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用分析法比较值的大小，难度较易.使用分析法证明时，注意从结论发出，逐步推导出最简待证明条件.
四、解答题
17．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2(1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)．
【答案】（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁UB)∪(∁UC)＝{1,2,6,7,8}．
【详解】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁UB，∁UC；再求(∁UB)∪(∁UC)．
试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)由∁UB＝{6,7,8}，∁UC＝{1,2}；
故有(∁UB)∪(∁UC)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．
18．已知集合，集合
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由题意可得，解一元二次不等式求出集合，再根据集合的交集运算即可求出结果;
（2）因为，所以，所以，由此即可求出结果.
【详解】（1）解：当时，集合
集合或；
所以或.
（2）解：因为，所以，
所以，即.
19．解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将不等式化为，解出对应的一元二次方程的解，即可得出答案；
（2）原不等式可化为，等价于.求出对应的一元二次方程的解，即可得出答案.
【详解】（1）原不等式可化为，
解可得，，，
所以，解可得，
所以，不等式的解集为.
（2）由可得，，
该不等式等价于.
解可得，，，
则解可得，或，
所以，不等式的解集为或.
20．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）7；（2）.
【分析】（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；
（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
21．已知命题，，命题，.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为对恒成立，即可求的取值范围；
（2）求命题q为真命题时的取值范围，再求两个集合的并集.
【详解】（1）若命题p为真命题，则对恒成立，因此，解得.
因此，实数m的取值范围是.
（2）若命题q为真命题，则，即，解得或.
因此，实数m的取值范围是或；
若命题p，q至少有一个为真命题，
可得或或.
所以实数的取值范围或.
22．一公司某年用98万元购进一台生产设备，使用年后需要的维护费总计万元，该设备每年创造利润50万元.
(1)求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？
(2)求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？
【答案】(1)10年，102万元；
(2)7年，12万元.
【分析】(1)设该设备使用年后获得总利润为万元，则，结合二次函数的性质即可求解；
(2)由(1)可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）设该设备使用年后获得总利润为万元，
则，
该二次函数为开口向下、对称轴为的抛物线，
所以当时，函数y即总利润取得最大，且最大值为102万元；
（2）由(1)可知，年平均利润为
，
当且仅当即时，等号成立，
所以使用设备7年后的年平均利润最大，且最大值为12万元.