2023-2024学年河南省周口市鹿邑县第二高级中学校高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省周口市鹿邑县第二高级中学校高一上学期第一次月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，故或.
故选：B.
2．命题“，使得”的否定为（ ）
A．B．，使得
C．D．，使得
【答案】C
【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出原命题的否定作答.
【详解】命题“，使得”的否定为“”，
故选：C.
3．已知，，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分别求出命题中的取值范围，再利用集合之间的关系，即可判断.
【详解】解：，，
故，
故，
令，
由，
解得：或，
令，
又，
故p是q的充分不必要条件.
故选：A.
4．设集合，，，若，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据，，由且求解.
【详解】解：由，，
得且，
当时，无解；
当时，解得.
经检验，满足题意.
故选：C.
5．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【分析】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D.
【详解】A选项，当时，，故A错误；
B选项，当，，，时，，，故B错误；
C选项，当，，，时，，故C错误；
D选项，若，，则，即，故D正确．
故选：D.
6．如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合.
【详解】由韦恩图可知，，
因为，，
则，，因此，.
故选：D.
7．已知集合，集合且，则集合的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【分析】求出集合及子集可得答案.
【详解】由题意可得，故子集为，
共有8个.
故选：B.
8．下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是5D．设，，且，则的最小值是
【答案】D
【解析】根据基本不等式可判断.
【详解】A选项：当时，，，当且仅当时等号成立，但等号取不到，故，A选项错误；
B选项：当时，的最小值是2；当时，的最大值是，B选项错误；
C选项：当时，，则，当且仅当即时等号成立，C选项错误；
D选项：当，，，当且仅当时等号成立
D选项正确.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
二、多选题
9．若M、N是全集I的真子集，下面四个命题m，n，s，t是命题充要条件的是（ ）
，，，
A．mB．nC．sD．t
【答案】AC
【分析】把条件具体化，结合充要条件即可作出判断.
【详解】解：由得图，
对于A，，易知等价于，m是p的充要条件；
对于B，，易知等价于，n不是p的充要条件；
对于C，，易知等价于，s是p的充要条件；
对于D，M、N是全集I的真子集，不成立，t不是p的充要条件.
故是p的充要条件的有m，s，
故选：AC.
10．设集合，则下列说法不正确的是（ ）
A．若有4个元素，则B．若，则有4个元素
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.
【详解】（1）当时，，；
（2）当时，，；
（3）当时，，；
（4）当时，，；
故A，B，C，不正确，D正确
故选：ABC
【点睛】本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
11．下列各结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．的最小值为2
C．命题“”的否定是“”
D．“一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件
【答案】AD
【详解】根据符号规律可判断A；根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B；根据全称命题否定形式可判断C；结合二次函数图象与性质可判断D.
【分析】解：⇔，故A正确;
，令，则，
且在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大，最小值为，故B错误；
命题“”的否定是“”，故C错误；
一元二次函数的图象过点显然有，反之亦可，故D正确.
故选：AD
12．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AD
【分析】由一元二次不等式的解法得关系，对选项逐一判断，
【详解】由的解集为或得，
故故A正确，，故D正确，
对于B，，解得，故B错误，
对于C，为，解得，故C错误.
故选：AD
三、填空题
13．毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】“好汉”“到长城”， “到长城”“好汉”，
所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
14．已知命题，.若为假命题，则的取值范围为
【答案】
【分析】首先写出命题的否命题，根据为假命题即可得出为真命题即可求出的取值范围.
【详解】为假命题
为真命题，故
在 的最小值为
∴
故答案为：
15．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有 人.
【答案】8
【分析】首先设同时参加球类比赛和田径比赛的有人，从而可得到只参加一项比赛的人数，结合已知条件求出，从而可得到只参加球类一项比赛的人数.
【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有人，
结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有人，只参加田径比赛的有人，
故，解得，
从而只参加球类一项比赛的有8人.
故答案为：8.
16．给出下列命题：
①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设，则“”是“”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是 ．
【答案】③④
【分析】①根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；②③④由充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可判断正误.
【详解】①，故真子集个数为个，错误；
②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，错误；
③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；
④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确.
故答案为：③④
四、解答题
17．已知集合，．
（Ⅰ）当时，求，；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ），或；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）解不等式求得集合，再由交并集的定义求解；
（Ⅱ）求出与，然后分析两集合有公共元素时的不等关系，可得的范围．
【详解】由得，所以
由，得，
解得或，所以或．
（Ⅰ）当时，，
所以，或
（Ⅱ）因为或，
所以．
又因为，所以，解得．
所以实数的取值范围是．
【点睛】本题考查集合的表示、运算，考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法．属于基础题．
18．已知集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合；
（3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3）
【分析】（1）方程无解，则，根据判别式即可求解；
（2）分方程无解或者一个解讨论即可；
（3）由题意可知有两个不等的实根，由判别式求解即可.
【详解】（1）若A是空集，则方程无解，
此时 且，即，
所以的取值范围为；
（2）若A中至多有一个元素，
则方程有且只有一个实根或者无解，
若方程有且只有一个实根，则
当时，方程为一元一次方程，满足条件，
当时，此时，解得：，
若方程无解，由（1）可知，
综上可知：若A中至多有一个元素，则实数的取值为；
当时，；当时，；当时，；
（3）若A中至少有两个元素，则有两个不等的实数根，
此时 且，解得且，
所以a的取值范围是.
19．（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；
（2）证明：已知，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）利用作差法判断即可；
（2）根据不等式的性质计算可得；
【详解】解：（1）因为，，
所以
因为，，所以，，
所以，即；
（2）因为，且，所以，，
所以，
所以，
所以；
20．（1）已知，，求和的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据不等式的性质求解
（2）由待定系数法配凑后求解
【详解】（1），
又，
，
又，
（2）设，得
即
而，
21．（1）已知，，都是正数，求证：；
（2）已知，，，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）运用基本不等式即可证明；
（2）首先利用“1”的妙用，将代入中并整理化简，然后运用基本不等式即可证明.
【详解】（1）∵，，，∴，
，，
∴(当且仅当取等)．
（2）因为，，，
所以，同理，
所以．
（当且仅当时等号成立）
22．已知函数．
(1)若时，对任意的都成立，求实数的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次不等式恒成立，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
（2）由可得出，分、、三种情况讨论，利用一次不等式、二次不等式的解法解原不等式，即可出原不等式的解集.
【详解】（1）解：因为对任意的都成立，
当时，则有，合乎题意；
当时，即对任意的都成立，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：由可得，
即，
当时，解得，则原不等式解集为；
当时，即，可得，则原不等式解集为；
当时，即，可得，则原不等式的解集为.
综上所述：当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.