郑州外国语学校2022—2023学年高二上期期中考试数学试卷及参考答案

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（120分钟150分）
一、选择题（每题5分，1—10题为单选；11、12为多选，少选得2分，多选、错选得0分，共60分）
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点关于x轴对称的点的坐标是即可得出.
【详解】关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，点关于轴对称的点为.
故选：A．
2. 已知直线在轴上的截距为-2，则此直线方程可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入各项直线方程中求值即可.
【详解】A、B、D：将代入方程，可得，不合要求；
C：时，，符合要求；
故选：C
3. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量基底的定义和向量的线性运算的应用逐一判断即可求解.
【详解】对于A，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故A错误；
对于B，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故B错误；
对于C，若向量，，共面，则，无解，所以向量，，不共面，故C错误；
对于D，若向量，，共面，则，即，解得，所以向量，，共面，故D正确.
故选：D.
4. 下列说法中，
①若两直线平行，则其斜率相等;
②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直;.
③若直线与直线垂直，则.
其中正确命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线倾斜角与斜率关系、直线垂直的判定判断各项的真假，即可得结果.
【详解】①若两直线平行且两线都垂直于x轴，此时斜率不存在，错误；
②若两直线斜率之积为-1，则这两条直线垂直，正确；
③若直线与直线垂直，则，，错误.
正确命题为②.
故选：A
5. 已知双曲线过点，其中一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题设所求方程为：再待定系数放求解即可.
【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，
所以，可以设其方程为：
又由双曲线过点，则有解得，
所以，其方程为：．即.
故选：C．
6. 过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，可知定点，
又
所以直线与直线垂直，交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为2.
故选：C.
7. 已知实数，满足：，则的取值范围为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点和点直线的斜率，画出图像，计算角度，计算斜率得到答案.
【详解】表示圆心为，半径的圆，
表示点和点直线的斜率，
如图所示：直角中，，故，
，故，同理可得，对应的斜率为和.
故，
故选：A
8. 已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的有（ ）个不同的值
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】解方程得或，讨论、，结合椭圆、双曲线性质判断焦点位置，进而求参数值，即可得结果.
【详解】由，则或，
当时，曲线为椭圆，
当椭圆的焦点在x轴上时,，则，可得符合；
当椭圆的焦点在y轴上时，，则，可得符合；
当时，曲线为双曲线，则，故，可得符合.
综上，有3个不同的值.
故选：C
9. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用中垂线可得到，利用椭圆和双曲线的定义可得到，即可求得答案
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，
因为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，
则，
由椭圆和双曲线的定义可得，
两式相加得，两边同时除以得，
所以，
故选：B
10. 过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线,切点分别为A，B，根据切线的性质可得过点P，A，B的圆是以直径的圆，设其方程，联立方程组得出的直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】设圆的动点为，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则过点P，A，B的圆是以直径的圆，该圆的方程为．
由,可得的直线方程为．
原点到直线的距离为，
故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为，
故选:B．
11. （多选）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面平面ABCD，点P为半圆弧AD上一动点（点P与点A，D不重合），下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥的四个面都是直角三角形
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 在点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直
D. 当直线PB与平面ABCD所成角最大时，点P不是半圆弧AD的中点
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用空间中直线、平面垂直的有关定理证明即可；
对于B，三棱锥底面面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断；
对于C，假设垂直，利用空间中直线、平面垂直的有关定理即可推出矛盾；
对于D，首先利用空间向量解决当直线PB与平面ABCD所成角最大时，点P的位置，进而作出判断即可.
【详解】对于A，因为四边形ABCD是正方形，所以为直角三角形，
又因为为直径，所以，为直角三角形，
又因为半圆面平面ABCD，平面平面，，
所以平面，因为平面，所以，所以为直角三角形，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，所以为直角三角形，
因此三棱锥的四个面都是直角三角形，故选项A正确；
对于B，
过点在平面内作于点，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，为三棱锥的高，所以三棱锥的体积，
因为的面积为定值，
所以当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧AD的中点，，
所以三棱锥体积的最大值为，故B错误；
对于C，若点P变化过程中，直线PA与BD垂直，由A知：，，
所以平面，平面，所以，
又由A知：，在同一平面内，一条直线不可能同时垂直于两条相交直线，
所以点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直，故选项C正确；
对于D，由选项B解析可知：平面ABCD，为在平面内的投影，
所以直线PB与平面ABCD所成角，当直线PB与平面ABCD所成角最大时，取最小值，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，，则，
在直角三角形内，，即，
所以，所以，，
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，
取最小值，直线PB与平面ABCD所成角最大，
此时点P不是半圆弧AD的中点，故选项D正确，
故选：.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为
B. 直线过双曲线（，）的右焦点，与右支交于两点所形成的弦中，最短的弦长为
C. 抛物线上两点，，则弦AB经过焦点的充要条件是
D. 若直线l与抛物线只有一个公共点，则直线l与该抛物线相切
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，利用椭圆的性质及两点的斜率公式，结合点在椭圆上即可求解；
对于B，根据已知条件及双曲线的性质，设出直线方程，联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求解；
对于C，根据充要条件的定义及抛物线的性质，设出直线方程，联立直线方程与抛物线方程，再利用韦达定理及点在曲线上即可求解；
对于D，利用抛物线的对称性及直线与抛物线的位置关系即可求解.
【详解】对于A，椭圆的左右顶点分别为，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，所以，
又因为在椭圆上，所以，即代入，得，故A正确；
对于B，设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线右支相交于，
当直线斜率不存在时，直线的方程为则，
当直线斜率存在时，设直线的方程为
联立，消去，得，
，
由，解得或，
所以
，
所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，故B正确；
对于C，充分性：当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，因为，所以，此时直线过焦点.
当直线斜率存在时，设直线的方程为
联立，消去，得，
所以，且，所以，解得或，
所以直线的方程为或.
当直线时，取时，，所以直线过焦点；
当直线时，取时，，所以直线过点；
所以充分性不成立.
必要性：当直线过焦点时，设过焦点的直线的方程为，
联立，消去，得，
所以，
所以，
所以必要性成立.
所以抛物线上两点，，则弦AB经过焦点的必要不充分条件是，故C错误；
对于D，直线l与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，故D错误.
故选：AB.
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知抛物线的方程是，则它的焦点坐标为____________.
【答案】
【解析】
【分析】先将抛物线的方程化为标准式为，再求其焦点坐标即可得解.
【详解】解：由抛物线的方程是，化为标准式为，
即抛物线的焦点坐标为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的焦点坐标的求法，属基础题.
14. 已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．
【答案】##.
【解析】
【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.
【详解】因为，
所以，
所以当时，取得最大值，
因为，所以的最小值为，
因为的最大值是它的最小值的2倍，
所以，
所以，所以，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
15. 若点满足方程，则点P的轨迹是______.（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）
【答案】抛物线
【解析】
【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，结合抛物线的定义即可求解.
【详解】由，得，
所以等式左边表示点到点的距离，右边表示点到直线的距离，即点到点的距离与到直线的距离相等，
又因为点不在直线上，由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.
故答案为：抛物线.
16. 设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是_______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，取的中点，利用得到直线是
直线的垂直平分线，又由于，两点在
渐近线上，可以运用点差法求出直线的斜率
表达式，再分别运用点在直线上以及
直线与直线的斜率乘积为，
得出的值，进而求得渐近线方程．
【详解】
如图，由双曲线得到渐近线的方程为；
即双曲线的两条渐近线合并为；
设，的中点为，
则，；
两式相减可得，即；
…………… ①
又点在直线上，则 ……… ②
由，则，则 …………… ③
联立②，③可得，；
将代入①可得；
所以渐近线的方程为；
故答案为：．
三、解答题（写清楚必要的解题步骤、文字说明以及计算过程，17题10分，18—22题每题12分，共70分）
17. 求满足下列条件的直线方程.
（1）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程；
（2）直线l经过点，并且圆关于直线l对称，求直线l方程.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论直线l过原点与否，由斜截式及截距式即可求得直线方程；
（2）由圆关于直线对称，得到直线过圆心，再由点斜式即可得到直线方程.
【小问1详解】
当直线l过原点时，设直线方程为，
代入点得，故所求直线，即；
当截距不过原点时，设方程为，
代入得，解得，
故所求直线为；
综上：直线方程为或.
【小问2详解】
因为圆配方为，
所以圆心为，
因为该圆关于直线l对称，所以过圆心，
又因为l经过点，所以，
所以直线l为，即.
18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解.
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴．
又∵平面平面，平面平面，
且平面
∴平面．
【小问2详解】
由，得，
∴．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，，．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．
则，令，则，
∴．
，令，则，
∴，
∴．
∴平面与平面夹角的余弦值为．
19. 已知在平面直角坐标系中,点,动点满足,记点轨迹为.
（1）求轨迹的方程;
（2）若直线交轨迹于两点,求弦长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由等式几何意义判断出点的轨迹为椭圆,设出方程求出关键信息,写出方程即可;
(2)联立椭圆和直线方程,求出两点坐标,用两点间的距离公式即可求出弦长.
小问1详解】
解:由题知由椭圆的定义可知点的轨迹为焦点在轴上的椭圆,
不妨设椭圆方程为,
由,
可知,则,
由,可得,则,
故轨迹的方程为;
【小问2详解】
由(1)知椭圆方程为
联立,消去得,
则或,
不妨设,,
则.
20. 已知圆，圆.
（1）若圆与圆外切，求实数的值；
（2）设时，圆与圆相交于两点，求AB直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求两圆的圆心和半径，结合两圆外切的关系进行求解；
（2）把代入方程，两个圆的方程相减可得直线AB的方程.
【小问1详解】
圆，即，所以，
圆，所以，
因为两圆外切，所以，得，
化简得，所以.
【小问2详解】
时，圆，即，
将圆与圆的方程联立，得到方程组
两式相减得公共弦的方程为：.
21. 已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；
（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.
【小问1详解】
由抛物线过点，且，
得
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，
设，联立
得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以，
则，
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数的值为.
22. 已知椭圆C：的下顶点为点D，右焦点为.延长交椭圆C于点E，且满足.
（1）试求椭圆C的标准方程；
（2）A，B分别是椭圆长轴的左右两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，AN的斜率分别是，.若直线MN过点，则是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值；
【解析】
【分析】（1）由转化为平面向量表达式，根据椭圆的顶点坐标、焦点坐标，结合平面向量共线的坐标表示得到的坐标，从而代入椭圆求解即可；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，化为一元二次方程，根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式进行数学运算证明即可.
【小问1详解】
椭圆的下顶点为，右焦点，设点的坐标为，
因为，所以，又，，
所以，解得，
代入可得，即，得，
又，则，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题意设直线，，，
联立，消去，得，
则，，
所以
．
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.