山西省2022届高三第一次模拟数学（文科）试题(含答案)

这是一份山西省2022届高三第一次模拟数学（文科）试题(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.
C.D.
2、设复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3、已知命题若,则;命题,在定义域内是增函数.则下列命题中的真命题是( )
A.B.C.D.
4、若倾斜角为的直线l过抛物线的焦点,且与C交于A、B两点,则( )
A.B.C.D.
5、已知非零向量、满足,,则与的夹角为( )
A. B.C. D.
6、如图,正方体中,若E,F,G分别是棱AD,,的中点,则下列结论中正确的是( )
A.平面DFGB.平面DFG
C.平面DFGD.平面平面DFG
7、执行如图所示的程序框图,如果输入的x,,那么输出的S的取值范围是( )
A.B.C. D.
8、已知函数在上恰有3个零点,则的取值范围是( )
A. B.C. D.
9、设函数,若有四个实数根、、、,且,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
10、设,,,则a、b、c的大小关系是( )
A.B.C.D.
11、“三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一”“三分益一”.取一段弦,“三分损一”即均分弦为三段,舍一留二,便得到弦.“三分益一”即弦均分三段后再加一段,便得到弦.以宫为第一个音,依次按照损益的顺序,得到四个音,这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽,合称“五音”.已知声音的音高与弦长是成反比的,那么所得四音生成的顺序是( )
A.徵、商、羽、角B.徵、羽、商、角
C.商、角、徵、羽D.角、羽、商、徵
12、如图①,在中,,,D,E分别为AC,AB的中点,将沿DE折起到OA,DE的位置,使,如图②.若F是的中点,点M在线段上运动,则当直线CM与平面DEF所成角最小时,四面体MFCE的体积是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组,并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计,结果如下表：
已知按兴趣小组类别用分层抽样的方法,从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人,其中书法组被抽取12人,则__________.
14、我们都知道一杯糖水中再加入一些糖,糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为：,其中,且a,b,.据此可以判断两个分数的大小关系,比如_________（填“＞”“＜”）.
15、过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线,垂足为点A,交y轴于点B,若,则C的离心率是__________.
16、已知圆内接四边形ABCD中,,,,,则_____________.
三、解答题
17、已知各项都不相等的等差数列中,,且,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
18、在如图所示的几何体中,平面平面ABCD,四边形ADNM是矩形,四边形ABCD为梯形,,,.
(1)求证：平面MBC;
(2)已知直线AN与BC所成角为60°,求点C到平面MBD的距离
19、从某台机器一天产出的零件中,随机抽取10件作为样本,测得其质量如下（单位：克）：10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3,记样本均值为,样本标准差为s.
(1)求,s;
(2)将质量在区间内的零件定为一等品.
①估计这台机器生产的零件的一等品率;
②从样本中的一等品中随机抽取2件,求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.
20、在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率,且过点,A,B分别是C的左、右顶点.
(1)求C的方程;
(2)已知过点的直线交C于M,N两点（异于点A,B）,试证直线MA与直线NB的交点在定直线上.
21、已知函数.
(1)当时,证明：在定义域上是增函数;
(2)记是的导函数,,若在内没有极值点,求a的取值范围.（参考数据：,.）
22、在极坐标系中,O为极点,直线与以点为圆心,且过点的圆相交于A,B两点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若,求.
23、已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：由题设,1,3,,2,,
所以.
故选：A.
2、答案：D
解析：由已知可得.
故选：D.
3、答案：B
解析：对于命题p,取,,则,但,p为假命题,
对于命题q,,,则函数在定义域内为增函数,q为真命题.
所以,、、均为假命题,为真命题.
故选：B.
4、答案：C
解析：抛物线的焦点为,设点、,
直线l的方程为,联立,可得,
,由韦达定理可得.
故选：C.
5、答案：C
解析：由,可得,所以,,
因为,则,故,
所以,,
因为,因此,.
故选：C.
6、答案：C
解析：由为正方体,且F,G分别是棱,的中点,则,则平面DFG即为平面,
A选项,如图连接,由正方体可知,又不成立,所以不成立,即A选项错误;
B选项,由平面,故与平面不平行,B选项错误;
C选项,连接CE,则,又平面,,所以平面,C选项正确;
D选项,平面与平面有公共点,故D选项错误;
故选：C.
7、答案：B
解析：由题设,,
当,即且时,可得,
所以且,此时;
当时,.
综上,输出的S的取值范围是.
故选：B.
8、答案：D
解析：函数在上恰有3个零点,
则,求得：.
故选：D.
9、答案：A
解析：作出函数的图象如下图所示：
由图可知,当时,直线与函数的图象有四个交点,且交点的横坐标分别为、、、,且,
由图可知,点、关于直线对称,则,
由图可知,,,
由可得,所以,,
所以,可得,
所以,,
易知函数在上为减函数,且,,
故.
故选：A.
10、答案：D
解析：构造函数,其中,则,
当时,,所以,函数在上单调递增,
因为,则,即,即,
所以,,
因为,故,即,即,
因此,.
故选：D.
11、答案：A
解析：由题设,若宫的弦长为,则其它四音对应弦长依次为、、、,
因为声音的音高与弦长是成反比,则四音的音高关系为,
又音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽,
所以五音生成顺序为宫、徵、商、羽、角.
故选：A.
12、答案：A
解析：若G是中点,连接FG,DG,则面DEF即为面FEDG,
所以直线CM与面DEF所成角,即为直线CM与面FEDG所成角为,
因为,,,则面EDCB,
又F是的中点,则F到面EDCB的距离为.
因为,,,则面,
又面FEDG,则面面,又面,面面,
所以直线CM与面FEDG所成角为,即为直线CM,GD所成角.
又为等腰直角三角形且,则,
由图知,M在线段上运动过程中,
即直线CM与平面DEF所成角最小时,M,D重合,
此时,四面体MFCE的体积.
故选：A.
13、答案：15
解析：由题设,,解得.
故答案为：15.
14、答案：>
解析：令,则,
令,则,
所以,,
根据题设知：.
故答案为：>.
15、答案：
解析：取双曲线的一条渐近线,即,
因为右焦点,
所以,
因为,所以,所以,所以,
因为直线BF与渐近线垂直,
所以直线BF的方程为,令,得,
所以,
所以,
因为,所以,
所以,
所以,
所以,得,
,所以,
所以离心率
故答案为：.
16、答案：20
解析：如图,
在圆内接四边形ABCD中,,
所以,,
因为,所以,
又,所以,
连接BD,在中,由余弦定理,得
,
在中,由余弦定理,得
,
又因为,所以,
则,
由,解得.
故答案为：20.
17、答案：(1);
(2).
解析：（1）若的公差为d,则,
所以,解得,则.
（2）由（1）知：,
所以.
18、答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：（1）由题意得,
取CD的中点E,连接BE、NE,则且,
故四边形ABCE是平行四边形,所以,
又平面MBC,所以平面MBC,
又且,且,
则且,故四边形是平行四边形,
所以,又平面MBC,所以平面MBC,
由得,平面平面MBC,
因为平面ANE,所以平面MBC;
（2）因为矩形平面ABCD,所以平面ABCD,
又,,所以四边形ABED为菱形,
则,直线AN与AE所成角为,
设AM的长为x,则,
在中,由余弦定理,得,
即,由解得,
所以,得,
在中,,
所以的高为,故,
设点C到平面MBD的距离为h,
则,
由,得,解得.
即点C到平面MBD的距离为.
19、答案：(1),
(2)①;②
解析：（1）
,所以.
（2）①,质量在区间内的零件定为一等品,样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件,用样本估计总体,这台机器生产的零件的一等品率为;
②从5件一等品中,抽取2件,分别为,,,,,,,,,共10种情况,如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：,,,,,,共7种,这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率.
20、答案：(1);
(2)证明见解析.
解析：（1）由题意知,
,化简得,
解得,故椭圆的方程为;
（2）设过点G的直线方程为,
,消去x,得,
,设,
则,所以
又,得,
所以直线AM的方程为,
直线BN的方程为,两式相除,
得,即,
又,
即,解得,
即直线AM与BN的交点的横坐标为4,
所以直线AM与BN的交点在定直线上.
21、答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：（1）由题设,且定义域为,
因为,则,当且仅当时等号成立,而,
所以,时有,故在上是增函数.
（2）由题设,,则且定义域为,
因为在内没有极值点,即或,
所以或在上恒成立,
令,则,当时;
当时,令则,,
所以在上递增,而,
所以在上,故在上递增,而,
综上,在上,即,
所以,在上,即单调递增,则,
故或,即a的取值范围为.
上恒成立,并构造函数,利用导数研究单调性求值域.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）的直角坐标为,的直角坐标为 ,
故圆的半径为 ,故圆的直角坐标方程为： ,
将,代入,得： ,
即圆C的极坐标方程为：;
（2）将代入中,
得,设,分别为A,B对应的极径,
故 ,
又,则 ,即 ,结合,
可得,
故.
23、答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,,
当时,解得：,此时.
当时,解得：,不成立.
当时,解得：,此时.
综上可知：不等式的解集为：.
（2）因为,
不等式恒成立,等价于,即或,
即a的取值范围为：.
书法组
舞蹈组
乐器组
高一
x
20
30
高二
45
30
10