高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法当堂达标检测题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．设，那么等于（ ）
A．B．
C．D．
3．用数学归纳法证明：“”，设，从到时（ ）
A．B．
C．D．
4．用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ）
A．B．C．D．
5．用数学归纳法证明，第一步验证（ ）
A．n=1B．n=2
C．n=3D．n=4
6．设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立
7．用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（ ）
A．1B．1或2C．1，2，3D．1，2，3，4
9．用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（ ）
A．2k﹣1B．2k﹣1C．2kD．2k+1
10．用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ）
A．假设时命题成立
B．假设时命题成立
C．假设时命题成立
D．假设时命题成立
11．用数学归纳法证明： 的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项B．项C．项D．项
二、填空题
12．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
13．用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________
14．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______.
15．对一切自然数，猜出使成立的最小自然数_______.
16．已知函数，对于，定义，则的解析式为________.
三、解答题
17．已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
18．证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．
19．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明
20．已知数列的前n项和为，其中且.
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
21．已知数列的前项和，满足，且．
（1）求、、；
（2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明．
22．观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．
答案解析：
1．B
【解析】第个圆与前个圆相交有个交点，这些交点把第个圆分成段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论．
【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此．
故选：B．
2．C
【分析】根据题意，写出，作差即可.
【详解】由题意，，
则，
所以，
即.
故选：C.
【注意】本题考查数学归纳法，正确弄清由到时增加和减少的项是解题的关键，属于基础题.
3．B
【分析】计算出，结合的表达式可得出结果.
【详解】因为，
则，
即.
故选：B.
4．D
【解析】只需将和分别代入到原式中，得到以及，然后用后式除以前式，则可以得出结果.
【详解】由题意有，假设时，成立，则
当时，
左边

右边
∴由数学归纳法可知上式成立
∴显然等式两边需同乘
故选：D.
【注意】本题仅仅是考查学生对数学归纳法的运用情况，要求学生会对复杂式子进行变形，以及运用数学归纳法时候能够根据所设条件得出相关类似结论，对学生数学运算能力要求较高，能具备相关推理思维，为中等难度题型.
5．C
【分析】由数学归纳法的一般步骤，第一步需要验证取第一个值时命题是否成立.
【详解】由题知，即n的最小值为3，
∴第一步验证n=3时，不等式是否成立.
故选：C
6．D
【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；
再根据题意可得若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；
选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；
根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.
故选：D.
7．C
【解析】分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.
【详解】当时，左边，共个连续自然数相加，
当时，左边，
所以从到，等式左边需增添的项是.
故选：C.
8．C
【分析】将分别代入等式进行检验可得答案.
【详解】当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边，右边，等式成立，
当时，左边，右边，等式不成立.
故选：C
9．C
【分析】根据数学归纳法的步骤即可求解.
【详解】在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时
假设当时不等式成立，左边=
则当时，左边=
则由递推到时不等式左边增加了：
共，
故选：C
10．C
【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；
【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，
归纳假设应写成：假设时命题成立．
故选：C．
11．D
【解析】时，最后一项为，时，最后一项为，由此可得由变到时，左边增加的项.
【详解】由题意，时，最后一项为，时，最后一项为
所以由变到时，左边增加的项为，增加了项
故选：D
12．n
【分析】先利用累乘法将的通项公式求出，再利用与的关系，求出的通项公式即可.
【详解】解：∵，∴
当时，，
当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
故答案为：n
13．
【解析】根据等式的结构，分别写出和时，等式的左边，对比即可求解.
【详解】当时，等式的左边为：，
当，等式的左边为：，
所以从到，等式左边需增加的代数式为.
故答案为：.
【注意】本题主要考查了数学归纳法及其应用，其中根据等式的结构，分别写出和时，等式的左边是解答的关键，着重考查运算能力.
14．25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2
【分析】证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，将n＝k＋1代入，化简可得答案．
【详解】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.
故答案为：25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2
15．3
【解析】运用数学归纳法证明当时，对一切自然数成立,可得答案.
【详解】当时，对一切自然数不成立；
当时，对一切自然数不成立（如时，）；
当时，对一切自然数成立,理由如下：
当时，成立，假设当时成立，即，
当时，，而，所以对一切自然数成立.
故答案为：3.
【注意】本题考查数学猜想和数学归纳法证明不等式，关键在于证明当时不等式成立，属于中档题.
16．
【分析】分别求出到的值，可猜想，再用数学归纳法证明即可；
【详解】解：函数对于，定义，
．
，
，
由此可以猜想
以下用数学归纳法证明：当时，，显然成立；
假设时成立，即，
则时，也成立
故
故答案为：．
17．(1)，，；
【分析】（1）根据递推关系写出，的值，由所得前3项猜想通项公式即可.
（2）应用数学归纳法，首先判断时通项公式是否成立，再假设时通项公式成立，进而利用关系求证是否成立即可.
【详解】（1）因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
（2）①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
18．【分析】利用数学归纳法可证明，先假设n＝k时成立，再证明n＝k＋1时成立即可.
【详解】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即，
当n＝k＋1时，
，
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
综上，原不等式对任意n∈N*都成立．
（1），；
【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；
（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.
【详解】（1）由，是，的等差中项，
可得，即，即，解得或，
又因为，所以，
又由，所以，
因为数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以，所以.
（2）先用数学归纳法证明当，，
①当时，，左式>右式，不等式成立；
②假设时，不等式成立，即，
当时，，因为在上单调递增，
由，得，即，
可得，不等式也成立.
由①②得证当，，
所以.
【注意】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的求法，利用数学归纳法与放缩法证明数列不等式，着重考查了逻辑思维能力和推理论证能力，属于难题.
（1），，；（2）猜想
【分析】（1）由，且，分别令，即可求得的值；
（2）由，，，猜想：，利用数学归纳法，即可证明.
【详解】（1）由题意，数列满足，且，
可得， 即，
又由，可得，可得.
（2）由，，，
猜想：，
证明：当时，由（1）可知等式成立；
假设时，猜想成立，即，
当时，由题设可得，
所以，
，
又由，所以，
所以，
即当时，命题也成立，
综上可得，命题对任意都成立.
【注意】对于数学归纳法的证明问题，解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设．
（1），，；（2）猜想，
【分析】（1）分别令、、，可求得、、的值；
（2）根据（1）猜想得出，，由可知当猜想成立，假设当时猜想成立，可得出，可得出当时，由整理得出，解出即可得出结论成立.
【详解】（1）对任意的，，且．
当时，，整理得，且，所以；
当时，，整理得，且，所以；
当时，，整理得，且，所以；
（2）由（1）猜想，，
下面用数学归纳法加以证明：
①当时，由（1）知成立；
②假设当时，成立．
当时，，
所以，且，
所以，即当时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切都成立．
【注意】思路注意：“归纳——猜想——证明”的一般环节：
（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；
（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；
（3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.
22．一般规律：；
【分析】总结规律后由数学归纳法证明
【详解】一般规律：，
证明：（1）时，左=右，等式成立；
（2）假设时，等式成立，即，
则当时，，
等式也成立，
由（1）（2）得当时等式都成立．