数学选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法导学案

这是一份数学选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，基础梳理，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

学案
一、学习目标
1. 了解数学归纳法原理及适用范围；
2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；
3. 明确数列问题解决的重要方法——“归纳——猜想——证明”.
二、基础梳理
1.数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
三、巩固练习
1.在用数学归纳法证明等式的第2步中，假设时原等式成立，则当时需要证明的等式为( )
A.
B.
C.
D.
2.用数学归纳法证明时，应先证明( )
A.B.C.D.
3.用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是( )
A.B.C.D.
4.若命题在时成立，则有时命题成立，现知在时命题成立，则有( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立
C.命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立
D.以上说法都不正确
5.用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是( )
A.B.C.D.
6.已知命题及其证明：
（1）当时，左边，右边，所以等式成立.
（2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立.
由（1）（2）知，对任意的正整数n命题都成立.
判断以上评述( )
A.命题、证明都正确
B.命题正确、证明不正确
C.命题不正确、证明正确
D.命题、证明都不正确
7.（多选）已知数列，均为递增数列，的前n项和为，的前n项和为，且满足，，则下列结论中正确的是( )
A.B.C.D.
8.（多选）用数学归纳法证明对任意都成立，则以下满足条件的k的值为( )
A.1B.2C.3D.4
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为用数学归纳法证明等式时，假设时，命题成立，即，则当时，左边，所以左边需增添的项是，所以.
2.答案：D
解析：利用数学归纳法证明时，第一步应该先证明当时命题成立，即.
3.答案：D
解析：当时，左边，当时，左边，所以由到时，等式左边应该增乘的代数式是.
4.答案：C
解析：由已知可得时命题成立，则有时命题成立，在时命题成立的前提下，可推得时命题也成立，以此类推，可知命题对大于或等于的正整数都成立，但命题对小于的正整数成立与否不能确定.故选C.
5.答案：D
解析：当时，假设成立的等式为，当时，要证明的等式为 左边需要添加的项为 .故选D.
6.答案：B
解析：证明不正确，错在证明时，没有用到假设的结论由等比数列求和公式知命题正确.故选B.
7.答案：ABC
解析：因为数列为递增数列，所以，所以，即.又，即，所以，即，故A正确；因为为递增数列，所以，所以，即.又，即，所以，即，故B正确；由题意，得的前2n项和为.因为，则，所以，则的前2n项和为，当时，，，所以，故D错误；当时，假设当时，，即，则当时，，所以对于任意，都有，即，故C正确.故选ABC.
8.答案：CD
解析：取，则，，不成立；取，则，，不成立；取，则，，成立；取，则，，成立；下面证：当时，成立.当，则，，成立；假设当时，有成立，则当时，有，令，则，又，所以.因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选CD.