湖南省怀化市2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

这是一份湖南省怀化市2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了 已知为幂函数，则．， 已知正数，满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的并集运算求解即可.
【详解】因为，，所以.
故选：D
2. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将原问题转化为两个函数有交点的问题，然后求解函数的值域即可确定实数m的取值范围.
【详解】题中的方程即，则原问题等价于函数和函数在区间上有交点，
二次函数开口向上，对称轴为，
故时，，时，，
则函数在区间上的值域为，
实数的取值范围是.
故选D.
【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，二次函数在给定区间求值域的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇偶函数的定义以及一次函数的单调性可判断A，根据幂函数的奇偶性和单调性可判断B、C、D；进而可得正确选项.
【详解】对于A：函数，所以不是奇函数，不符合题意，故选项A不正确；
对于B：函数是奇函数，在上单调递增，故选项B正确；
对于C：函数是奇函数，在和上单调递增，在定义域内不是单调递增，不符合题意，故选项C不正确；
对于D：函数是偶函数，不符合题意，故选项D不正确；
故选：B.
4. 黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）．黄金三角形有两种，一种是顶角为，底角为的等腰三角形，另一种是顶角为，底角为的等腰三角形，则“中有一个角是”是“为黄金三角形”的（ ）

A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分必要条件的概念判断．
【详解】若中有一个角是，则其他两个角不确定，故不能推出为黄金三角形，
若为黄金三角形，由题意知中至少有一个角是，
故“中有一个角是”是“为黄金三角形” 必要不充分条件，
故选：C
5. 已知为幂函数，则（ ）．
A. 在上单调递增B. 在上单调递减
C. 在上单调递增D. 在上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
6. 如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是（ ）
A. (a+b)2≥4ab
B. 当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C. (a-b)2≤4ab
D. (a+b)2>(a-b)2
【答案】C
【解析】
【分析】由图象分析正方形ABCD以及正方形A1B1C1D1的面积，根据面积之间的关系逐一判断即可.
【详解】对于A，由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，
即有(a+b)2≥4ab，故A正确；
对于B，正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2，当a=b时，正方形A1B1C1D1的面积为，
A1，B1，C1，D1四点重合，故B正确；
对于C，结合图象正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，
因此C选项错误.
对于D，结合图形可知(a+b)2>(a-b)2，且当a=b时A1，B1，C1，D1四点重合，故D正确；
故选：C
7. 血药浓度（Plasma Cncentratin）是指药物吸收后在血浆内的总浓度,药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的个数是（ ）
①首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
②每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．
【详解】解：①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；
②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；
③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用，故正确；
④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．
故选：．
【点睛】本题考查了函数图象的性质和对新定义函数的理解．难点是充分理解题意，根据图象解决实际问题．
8. 已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将，变形为，再代入，利用基本不等式求解.
【详解】因为正数，满足，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为8
故选：C
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，集合，若，则a的取值可能是（ ）
A. 2B. C. 1D. 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据可知，然后对参数进行分类讨论求解.
【详解】解：集合，集合，
当时，，成立；
当时，，故或，解得或
综上a的取值可能是，，.
故选：BCD
10. 已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C. 不等式的解集是
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由一元二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；利用二次不等式的解法可判断C选项；计算可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则，A对；
对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，可得，，则，
由可得，解得，B错；
对于C选项，由可得，即，解得，
因此，不等式的解集是，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
11. 关于函数的性质的描述，正确的是（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 的图象关于轴对称D. 在定义域上是增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】
首先求出函数的定义域，将函数解析式化简，即可判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性法则判断函数的单调性，再求出函数的值域；
【详解】解：因为，所以解得或，即函数的定义域为，故A正确；
所以，，
所以，即函数是偶函数，函数图象关于轴对称，故C正确；
因为在上单调递增，上单调递减，在定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可得在上单调递增，上单调递减，故D错误；
因，所以，故B错误；
故选：AC
12. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是（ ）
A. B.
C. 是偶函数D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法,对，取特殊值代入已知表达式进行求解，逐项分析即可．
【详解】对于A，令，则，故A正确
对于B，令，则，则，故B正确
对于C，令，则，所以，
又令，，则，
所以是奇函数，故C错误
对于D，令，，则，
所以，故D正确.
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.
13. 命题“，使得”的否定是_________
【答案】，都有
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题知：
命题“，使得”的否定是，都有.
故答案为：，都有
14. 已知，则______．
【答案】##25
【解析】
【分析】利用换元法求出函数的解析式，将代入即可求解．
【详解】令，即，
所以，即，
故．
故答案为：．
15. 若函数定义域为，则函数的定义域为_______________
【答案】##
【解析】
【分析】解不等式即得解.
【详解】解：由题得.
故函数的定义域为.
故答案为：
16. 奇函数满足：对任意，，都有且，则不等式的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】由题知奇函数在、上递减，结合且或，即可求解集.
【详解】对任意，，都有，
所以函数在上单调递减，又是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，而，则，
不等式化为，即，
所以，有或，则或，
所以不等式解集为.
故答案为：
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集为，，：
（1）；
（2）.
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】
【分析】(1) 结合数轴，根据并集的定义求出，再根据补集的定义可得到；（2）利用集合补集的定义求出，再根据交集的定义即可求出.
【详解】（1）由画出数轴：
由图得，
或.
（2）得，
或，
或.
【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，以及子集的定义的应用，借助于数轴来求解更直观,熟练掌握交、并、补集的运算是解题的关键. 在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.
18. 已知函数.
（1）用分段函数的形式表示函数；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的值域.
【答案】（1）；（2）图象答案见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式画出函数的图像；
（3）根据函数图像可求出函数的值域
【详解】（1）.
（2）函数的图象如下图所示.
（3）由图得函数值域为.
【点睛】此题考查分段函数，考查由函数解析式画函数图像，根据图像求出函数的值域，属于基础题
19. 已知函数f(x)=ax+，且f（1）=5，f（2）=4.
（1）求实数a，b的值；
（2）证明：函数f(x)在区间(-∞，-2]上单调递增.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据f（1）=5，f（2）=4，由求解.
（2）由（1）知，f(x)=x+，任取x1，x2∈(-∞，-2]，且x1【详解】（1）因为f（1）=5，f（2）=4，
所以，
解得.
（2）由（1）知，f(x)=x+，
任取x1，x2∈(-∞，-2]，且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
=(x1-x2)(1-)=.
因为x1所以x1-x2<0，x1x2>4>0，
所以<0，
即f(x1)故函数f(x)在(-∞，-2]上单调递增.
20. 已知一次函数满足.
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的最小值（其中为常数）.
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）利用方程组法求解函数解析式即可；
（2）求出函数的解析式，求出函数的对称轴，利用对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.
【小问1详解】
①， ②，
由得 ，.
【小问2详解】
由（1）可知，
，其中，
若，则函数在上单调递减，
此时的最小值为，
若，则函数在上单调递减，在上单调递增，
此时的最小值为.
综合上述，.
21. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由在恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式组求参数范围；
（2）问题化为在上恒成立，讨论符号，结合二次函数性质求参数范围.
【小问1详解】
由题设在恒成立，
显然，即时，满足在上恒成立；
由；
综上，.
【小问2详解】
由题设在上恒成立，
当，即时，满足在上恒成立；
当时，函数对称轴为，
当，即时，只需，即，故；
当，即时，只需，也满足题设；
综上，.
22. “春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．
（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
【答案】（1）一次支付好，理由见解析
（2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件
【解析】
【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；
（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.
【小问1详解】
分两次支付：支付额为
元;
一次支付：支付额为元,
因为，所以一次支付好；
【小问2详解】
设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，
当时，不能享受每满400元再减40元的优惠
当时，，，
当时，，；
当时，，．
所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．
当时，能享受每满400元再减40元的优惠
当时，，
当，时，;
当时，，
y随着n的增大而增大，所以当，时，．
综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．