湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知幂函数的图象经过点，则， 函数的图象大致为， 已知，则的取值范围为，48）， 定义域为的函数满足等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 分值：150分
一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用集合的交运算求即可.
【详解】由题设.
故选：A
2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数定义代入计算可得.
【详解】将点代入可得，解得.
故选：B
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】B选项的不是函数图象，故排除，再结合特殊值排除AC选项.
【详解】先排除B选项，因为不是函数图象；
，排除AC选项.
故选：D
4. 已知，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数单调性和定义域分析求解.
【详解】因为在定义域内单调递增，
若，则，解得，
所以的取值范围为.
故选：D.
5. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据指、对数函数单调性可得，结合偶函数的性质分析判断.
【分析】因为，即，
又因为，即，
可得，
由题意可知：在上单调递减，所以.
故选：A.
6. “函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】通过求解函数和符合条件的的取值，即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，
当函数在上单调递减时，，
在中，函数是偶函数，
∴，解得：，
∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
7. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033B. 1053
C. 1073D. 1093
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
8. 定义域为的函数满足：当时，，且对任意的实数，均有，记则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数在上的解析式以及，将的范围利用表达式化到上代入计算即可得出结果.
【详解】由可得，
所以，由可得，
即，所以；
易知，可得，
所以；
显然，
又可得；
显然，所以
；
可得
.
故选：D
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小愿给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 成人心率的正常范围为60~100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速，观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者（ ）
A. 服了药物后心率会马上恢复正常
B. 服药后初期药物起效速度会加快
C. 所服药物约15个小时后失效（服药后心率下降期间为有效期）
D. 欲控制心率在正常范围内，一天需服用该药2次
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图象逐项分析判断.
【详解】对于选项A：由图可知：服药2个小时后心率会恢复正常，故A错误；
对于选项B：服药后初期心率下降速度增大，即药物起效速度会加快，故B正确；
对于选项C：当时，图象是下降的，所以所服药物约15个小时后失效，故C正确；
对于选项D：因为心率在正常范围内的时长为22小时，所以欲控制心率在正常范围内，一天需服用该药2次，故D正确；
故选：BCD.
10. 下列不等式的解集为R的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别对不等式所对应的方程的判别式进行逐一判断，结合一元二次函数图象即可得出结论.
【详解】对于A，易知方程的判别式，
即对应的整个二次函数图象都在轴上方，所以解集为R，即A正确；
对于B，易知方程的判别式，
由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R，即B错误；
对于C，易知方程的判别式，
即对应的整个二次函数图象都在轴下方，所以解集为R，即C正确；
对于D，易知不等式可化为，显然该式恒成立，即解集为R，即D正确；
故选：ACD
11. 下面结论正确的是（ ）
A. 若，则最小值是3
B. 函数的最小值是2
C. 且，则的最小值是3
D. 函数的值域是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，易知，利用基本不等式即可得时取到最小值为，即A正确；易知，显然等号不成立，即可知B错误；对于C，由可知，由基本不等式中“1”的妙用即可求得当时的最小值是3,可知C正确；对于D，利用换元法并由基本不等式结合即可求得其值域是，即D正确.
【详解】对于A，若，可得，
则，
当且仅当时，即时等号成立，此时最小值为，即A正确；
对于B，由，
当且仅当时，等号成立，显然等号不成立，因此B错误；
对于C，由可得，
所以
；
当且仅当时，即时，等号成立；即C正确；
对于D，令，则可得，
当时，，
当且仅当时，等号成立；
又易知，所以，即可得，即D正确；
故选：ACD
12. 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在上的黎曼函数，关于黎曼函数（），下列说法正确的是（ ）
A. 的解集为B. 的值域为
C. 为偶函数D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由黎曼函数的定义一一分析即可.
【详解】依题意当无理数（）时无解，
当为有理数（）时，即，为大于的正整数，、为既约的正整数，
则方程，解得，为大于的正整数，
当时，解得，当时无解，
所以方程的解集为，故A正确；
因为，但是不存在正整数，使得，故B错误；
若为上的无理数，则也为无理数，此时，
若，则，此时，
若为上的有理数，则也为有理数，此时，
综上可得，有，所以关于对称，
即，则为偶函数，故C正确；
由，若为无理数时，此时，
若或时，此时，
若为有理数（且），即，为大于的正整数，、为既约的正整数，
则，所以，故D正确；
故选：ACD
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数（且）的图像一定过点____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的性质计算可得.
【详解】函数（且），令可得，
即函数恒过点.
故答案为：
14. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数式与分式有意义建立不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，
解得，且，
故函数的定义域为.
故答案为：
15. 记，那么__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换底公式以及对数运算法则计算可得结果为.
【详解】根据对数运算法则可知
；
故答案为：
16. 求“方程的解”有如下解题思路：构造函数.其表达式为，易知函数在上是减函数，且，故原方程存唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】类比题目构造函数过程，对不等式进行整理变形为，由其结果特征，构造函数，根据函数单调性，求解不等式.
【详解】设，易知函数在上是增函数，
不等式变形为，
即，
即，
所以即，
解得或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 求值：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化以及指数的运算性质化简求值即可.
（2）根据对数的运算性质化简求值即可
【小问1详解】
【小问2详解】
18. 已知函数是指数函数.
（1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；
（2）解关于的不等式：；
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
【解析】
【分析】(1)由指数函数定义和所过点列方程组求出表达式.
(2)分别讨论和，结合指数函数的单调性求解.
【小问1详解】
因为函数是指数函数，且图象经过点，
所以，即，
函数的解析式为；
【小问2详解】
将带入不等式可得
，
当时，为减函数，
则，解得，解集为
当时，为增函数，
则，解得，解集为
19. 已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，利用换元法可转化为求的值域，利用二次函数性质可得其值域为；
（2）将原不等式转化成对于恒成立，利用对勾函数单调性即可得.
【小问1详解】
由对数函数单调性可知，当时，，
令，即可得，
由二次函数性质可知当时，，当时，；
因此可得当时，该函数的值域为.
【小问2详解】
当时，可得，
原不等式可化为对于恒成立，
即可得对于恒成立，易知函数上单调递增，
所以，因此只需即可，得；
即的取值范围是.
20. 近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为M（单位：t），去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m（单位：t），火箭的飞行速度为v（单位：），初始速度为（单位：），已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：，其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设，.
（参考数据：，）.
（1）若，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7）时，求相应的M；（精确到小数点后一位）
（2）如果希望火箭飞行速度达到16.7，但火箭起飞质量的最大值为2000t，请问的最小值为多少？（精确到小数点后一位）
【答案】（1）t
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，令运算求解；
（2）根据题意可得，令整理可得，解不等式即可得结果
【小问1详解】
由题意可得：，
令，则（t），
故当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7）时，相应的为t.
【小问2详解】
由题意可得：，
令，则，
∴，
故的最小值为.
【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序
（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；
（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序
读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；
（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
21. 设函数且是定义域为的奇函数.
（1）求的值：
（2）已知，若，使成立.请求出最大的整数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数性质可求得；
（2）由可得，将不等式化简可得，利用换元法可得能成立，利用函数单调性即可得出的最大整数取值为.
【小问1详解】
根据题意可知，解得；
此时，经检验满足，即为奇函数，
所以.
【小问2详解】
由可得，
则不等式可化为，
即，可得，
易知函数在单调递增，令，
所以，易知在上单调递增，即可知，
根据题意可知，
即可知的最大整数取值为.
22. 已知函数且，其反函数为.
（1）若，求的解析式；
（2）若函数值域为，求实数的取值范围；
（3）定义：若函数与在区间上均有定义，且，恒有，则称函数与是上的“粗略逼近函数”.若函数和是上的“粗略逼近函数”，求实数的最大值.
【答案】22. 且.
23.
24.
【解析】
【分析】（1）根据指、对数函数互为反函数分析求解；
（2）根据题意可知的值域包含，结合指数函数性质分析求解；
（3）根据对数函数的真数大于0分析可得，根据题意结合对数函数单调性可得在上恒成立，结合二次函数性质分析求解.
【小问1详解】
由题意可知：且，
若，则且.
【小问2详解】
若函数值域为，可知的值域包含，
因为，则，即的值域为，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围实数的取值范围.
【小问3详解】
因为且的定义域为，且，
对于，可知，成立，
对于，可知，解得，
又因为，
函数和是上的“粗略逼近函数”，
则，
即，且，在定义域内单调递减，
可得在上恒成立，
又因为开口向上，对称轴，
可知在上上单调递增，
可得，解得，
所以实数的最大值为.