高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义精练

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题组一 导数的概念及其应用
1.(2022辽宁大连八中期中)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2在[0,2]上的平均变化率分别为m1,m2,则下列结论正确的是( )
A.m1=m2
B.m1>m2
C.m2>m1
D.m1,m2的大小无法确定
2.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为( )
A.f '(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
B.f '(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f '(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
D.f '(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)Δx
3.(2022陕西武功普集高级中学期末)设f(x)是可导函数,若limΔx→0f(x0−Δx)−f(x0)Δx=2,则f '(x0)=( )
A.2 B.12 C.-2 D.-12
4.已知函数y=f(x)=ax+4,若f '(1)=2,则a= .
5.求函数y=x2+1在x=0处的导数.
题组二 导数的几何意义及其应用
6.(2022黑龙江牡丹江第三高级中学期末)已知函数y=f(x)的图象在点P(5, f(5))处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f '(5)=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知函数f(x)在R上可导,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )
A.f '(a)B.f '(b)C.f '(a)D.f '(c)8.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则limΔx→0f(5+Δx)−f(5)Δx=( )
A.1 B.3
C.-3 D.-1
9.若函数y=f(x)的导函数y=f '(x)在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
10.(2020浙江宁波期末)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角α的取值范围为π4,π2,则点P的横坐标的取值范围为( )
A.−∞,−12 B.[-1,0]
C.[0,1] D.−12,+∞
11.(多选)(2022重庆青木关中学校月考)已知函数y=f(x)(x∈R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x0+4)·(x-x0),那么下列结论正确的有( )
A. f '(1)=-5
B.函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴
C.切线斜率的最小值为1
D. f '(4)=12
12.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f '(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C. f x1+x22>f(x1)+f(x2)2
D. f x1+x2213.若点P是抛物线y=x2上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离及此时点P的坐标.
14.已知直线l:y=4x+a和曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.
15.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.
答案全解全析
基础过关练
1.A 由题意得m1=2×2−2×02−0=2,m2=22−022−0=2,故m1=m2.故选A.
2.A
3.C limΔx→0f(x0−Δx)−f(x0)Δx=-limΔx→0f(x0−Δx)−f(x0)−Δx=-f '(x0)=2,故f '(x0)=-2.故选C.
4.答案 2
解析 由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,
∴limΔx→0ΔyΔx=a,∴f '(1)=a=2.
5.解析 Δy=(0+Δx)2+1-02+1
=(Δx)2+1−1(Δx)2+1+1=(Δx)2(Δx)2+1+1,
∴ΔyΔx=Δx(Δx)2+1+1,
∴y'x=0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0Δx(Δx)2+1+1=0.
6.A 易得切点P(5,3),切线斜率k=-1,所以f(5)=3, f '(5)=-1.所以f(5)+f '(5)=3-1=2.故选A.
7.A 由题意可知, f '(a), f '(b), f '(c)分别是函数f(x)的图象在x=a,x=b和x=c处的切线的斜率,则有f '(a)<08.D 由导数的概念知limΔx→0f(5+Δx)−f(5)Δx=f '(5),
由题可知f '(5)=-1,故选D.
9.A 因为函数y=f(x)的导函数y=f '(x)在区间[a,b]上是增函数,所以函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上各点处的切线的斜率是递增的,故选A.
10.D 设点P的横坐标为x0,则曲线C在点P处的切线的倾斜角α与x0的关系为tan α=f '(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=2x0+2.
∵α∈π4,π2,∴tan α∈[1,+∞),
∴2x0+2≥1,即x0≥-12,
∴点P的横坐标的取值范围为−12,+∞.
11.AB 由题意可得f '(x)=(x-2)(x+4).
对于A, f '(1)=(1-2)×(1+4)=-5,故A正确;
对于B,当x=2时, f '(2)=0,故函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴,故B正确;
对于C, f '(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9,故切线斜率的最小值为-9,故C错误;
对于D, f '(4)=(4-2)×(4+4)=16,故D错误.
故选AB.
12.AD 由题中图象可知,导函数f '(x)的图象在x轴下方,即f '(x)<0,且随着x的增大,|f '(x)|越来越小,因此函数f(x)图象上任一点处的切线的斜率为负,并且随着x的增大,切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.
A选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即f(x)图象的割线斜率 f(x1)−f(x2)x1−x2为负,故A正确;B选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即f(x)图象的割线斜率 f(x1)−f(x2)x1−x2为正,故B不正确;f x1+x22表示x=x1+x22对应的函数值,即图中点B的纵坐标,f(x1)+f(x2)2表示x=x1和x=x2所对应的函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有f x1+x2213.解析 由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设点P的横坐标为x0,设y=f(x)=x2,因为f(x0+Δx)−f(x0)Δx=(x0+Δx)2−x02Δx=(Δx)2+2x0ΔxΔx=Δx+2x0,当Δx→0时,f(x0+Δx)−f(x0)Δx →2x0,所以由导数的几何意义知2x0=1,解得x0=12,所以P12,14,故点P到直线y=x-2的最小距离d=12−14−22=728.
14.解析 设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),
因为f(x0+Δx)−f(x0)Δx
=(x0+Δx)3−2(x0+Δx)2+3−(x03−2x02+3)Δx
=3x02Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3−4x0Δx−2(Δx)2Δx
=3x02+3x0Δx+(Δx)2-4x0-2Δx,
当Δx→0时,f(x0+Δx)−f(x0)Δx→3x02-4x0,
所以由导数的几何意义知3x02-4x0=4,
解得x0=-23或x0=2,所以切点的坐标为−23,4927或(2,3).
当切点为−23,4927时,有4927=4×−23+a,解得a=12127;
当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,解得a=-5.
综上,当a=12127时,切点坐标为−23,4927;当a=-5时,切点坐标为(2,3).
15.解析 ΔyΔx=(x+Δx)3+1−x3−1Δx
=3x(Δx)2+3x2Δx+(Δx)3Δx=3xΔx+3x2+(Δx)2,
则limΔx→0ΔyΔx=3x2,因此y'=3x2.
设过点M(1,1)的直线与曲线y=x3+1相切于点P(x0,x03+1),根据导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率k=3x02①,过点M和点P的直线的斜率为x03+1−1x0−1②,由①=②得3x02=x03x0−1,解得x0=0(二重根)或x0=32,所以k=0或k=274,因此过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线有两条,其方程分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.