八年级上（月考）数学试卷（9月份）

这是一份八年级上（月考）数学试卷（9月份），共20页。试卷主要包含了下列说法，如图，在△ABC中等内容，欢迎下载使用。
1．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5m，PB＝4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）
A．6mB．7mC．8mD．9m
2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠CDE＝25°，CD平分∠ACB，DE∥BC，则∠A的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．70°
4．具备下列条件的三角形ABC中，不为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A＝90°﹣∠BD．∠A﹣∠B＝90°
5．如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ）
A．30°B．75°C．30°或75°D．60°
6．如图，在网格中的小正方形边长为1，△ABC和△BCD的顶点都在网格格点上，则△ABC和△BCD的面积之比为（ ）
A．1：2B．2：3C．3：2D．3：4
7．下列说法：①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形的三条高都在三角形内部； ③三角形的三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部；④锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．一个多边形每个外角都等于36°，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条（ ）
A．7条B．8条C．9条D．10条
9．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．如图是从某窗棂样式结构图案上摘取的部分．已知BC∥DE，∠3＝85°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是（ ）
A．320°B．265°C．245°D．225°
10．如图，在△ABC中（AB＞AC），2AC＝BC，BC边上的中线把△ABC分成周长为30cm和22cm的两部分，则AB的长为（ ）
A．11cmB．14cmC．16cmD．19cm
二．填空题（共6小题，18分）
11．如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE为中线，如果AC＝12cm，则AE＝ ；如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝ ．
12．正十边形的外角和为 ．
13．已知三角形的三边长分别为1，a﹣1，3，则化简|a﹣3|+|a﹣5|的结果为 ．
14．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC边上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，则BD＝ ．
16．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
三．解答题（共9小题，6+6+6+8+8+8+10+10+10=72分）
17．在△ABC中，已知∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
.
18．已知一个多边形的边数为a．
（1）若该多边形的内角和的比外角和多90°，求a的值；
（2）若该多边形是正多边形，且其中一个内角为108°，求a的值．
19．如图，在△ABC中，延长BC至点D，连接AD，E是AD上一点．已知∠B＝50°，∠CAE＝∠D，∠DCE＝∠BAC＝20°，求∠CED的度数．
20．如图，在△ABC中，∠A＝35°，点D，E分别是AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，已知∠1＝74°，求∠2的度数．
21．已知等腰三角形的周长为20cm
（1）若腰长是底边长的2倍，求三边长；
（2）若有一边长为6cm，求三边长．
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝82°，∠C＝40°，你会求∠DAE的度数吗？
（2）有同学认为，不论∠B，∠C的度数是多少，都有∠DAE＝（∠B﹣∠C）成立，你同意吗？请说出成立或不成立的理由？
23．（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？
（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数是多少吗？
24．探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ ．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ ．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．
25．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，则∠AIB＝ ．
（2）如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．
①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝ °．
②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
八年级上册第一次课堂小测数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5m，PB＝4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）
A．6mB．7mC．8mD．9m
【分析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．
【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜9m．
故选：D．
2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
B、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
C、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意；
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠CDE＝25°，CD平分∠ACB，DE∥BC，则∠A的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据平行线的性质求出∠BCD，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可求出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE＝25°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCD＝50°，
在△ABC中，∠ACB＝50°，∠B＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝60°．
故选：C．
4．具备下列条件的三角形ABC中，不为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A＝90°﹣∠BD．∠A﹣∠B＝90°
【分析】根据三角形内角和为180°，直接进行解答．
【解答】解：根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C＝180°．
A、∠A+∠B＝∠C成立，则∠C＝90°；
B、∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝90°；
C、∠A＝90°﹣∠B，即∠A+∠B＝90°所以∠C＝90°；
D、∠A﹣∠B＝90°，那么∠A＞90°，一定不是直角三角形．
故选：D．
5．如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ）
A．30°B．75°C．30°或75°D．60°
【分析】根据等腰三角形的一个外角等于150°，进行讨论可能是底角的外角是150°，也有可能顶角的外角是150°，从而求出答案．
【解答】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°；
②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）×＝75°，
∴底角为30°或75°．
故选：C．
6．如图，在网格中的小正方形边长为1，△ABC和△BCD的顶点都在网格格点上，则△ABC和△BCD的面积之比为（ ）
A．1：2B．2：3C．3：2D．3：4
【分析】在网格中利用小正方形边长为1，分别表示出△ABC和△BCD的面积，然后比较即可．
【解答】解：过点D作DE⊥CB的延长线于点E，AF⊥BC，如图所示，
∵在网格中的小正方形边长为1，
∴DE＝3，AF＝2．
∵S△ABC＝×BC×AF，S△BCD＝×BC×DE，
∴S△ABC＝BC，S△BCD＝BC，
∴．
故选：B．
7．下列说法：①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形的三条高都在三角形内部； ③三角形的三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部；④锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．
【解答】解；钝角三角形有三条高，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，
锐角三角形有三条高，高都在三角形内部，锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；
直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部，三条高的交点在顶点上；
所以①②③错误，
只有④是正确的．
故选：A．
8．一个多边形每个外角都等于36°，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条（ ）
A．7条B．8条C．9条D．10条
【分析】若要确定从这个多边形的某个顶点画对角线的条数，需确定该多边形的边数．由一个多边形每个外角都等于36°，得这个多边形的边数为10，从而解决此题．
【解答】解：∵此多边形每个外角都等于36°，
∴该多边形的边数为＝10．
∴从这个多边形的某个顶点能画的对角线的条数为10﹣3＝7（条）．
故选：A．
9．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．如图是从某窗棂样式结构图案上摘取的部分．已知BC∥DE，∠3＝85°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是（ ）
A．320°B．265°C．245°D．225°
【分析】根据多边形的外角和减去∠C的外角即可确定四个外角的和．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴∠C＝∠3＝85°，
∴∠C的外角为＝180°﹣∠C＝180°﹣85°＝95°，
∵五边形ABCDE的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣95°＝265°．
故选：B．
10．如图，在△ABC中（AB＞AC），2AC＝BC，BC边上的中线把△ABC分成周长为30cm和22cm的两部分，则AB的长为（ ）
A．11cmB．14cmC．16cmD．19cm
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据题意计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∵2AC＝BC，
∴AC＝CD，
由题意得：AC+CD＝22cm，
则AC＝CD＝BD＝11cm，
∴AB＝30﹣11＝19（cm），
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE为中线，如果AC＝12cm，则AE＝ 6cm ；如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝ 40° ．
【分析】利用三角形的中线和角平分线定义可得答案．
【解答】解：∵BE为中线，AC＝12cm，
∴AE＝AC＝12cm＝6cm；
∵BD是角平分线，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°；
故答案为：6cm；40°．
12．正十边形的外角和为 360° ．
【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°．
故答案为：360°
13．已知三角形的三边长分别为1，a﹣1，3，则化简|a﹣3|+|a﹣5|的结果为 2 ．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果．
【解答】解：由三角形三边关系定理得3﹣1＜a﹣1＜3+1，
即3＜a＜5．
∴|a﹣3|+|a﹣5|＝a﹣3+5﹣a＝2．
故答案为：2．
14．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 360°
【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360°．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC边上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，则BD＝ 8cm ．
【分析】连接AP，由图形表示出△ABC与△ABP、△APC的关系，根据等腰三角形的性质结合三角形的面积公式可得到PF+PE＝BD，即可得到BD．
【解答】解：连接AP．
∵AB＝AC，
∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP＝AB•PE+AC•PF＝AC•BD，
∴PF+PE＝BD，
∵PE＝5cm，PF＝3cm，
∴BD＝8cm，
故答案为：8cm．
16．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 30 °．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
三．解答题（共9小题）
17．在△ABC中，已知∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A＝60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB＝90°，所以∠ABE＝30°．同理，∠ACF＝30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC＝120°．
【解答】解：∵∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣54°＝60°．
又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝180°﹣∠BAC﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
同理，∠ACF＝30°，
∴∠BHC＝∠BEC+∠ACF＝90°+30°＝120°．
18．已知一个多边形的边数为a．
（1）若该多边形的内角和的比外角和多90°，求a的值；
（2）若该多边形是正多边形，且其中一个内角为108°，求a的值．
【分析】（1）根据多边形的内角和与外角和列方程求得a的值即可；
（2）根据正多边形的性质及多边形的内角和列得方程解得a的值即可．
【解答】解：（1）由题意可得（a﹣2）•180°﹣360°＝90°，
解得：a＝12；
（2）由题意可得108°a＝（a﹣2）•180°，
解得：a＝5．
19．如图，在△ABC中，延长BC至点D，连接AD，E是AD上一点．已知∠B＝50°，∠CAE＝∠D，∠DCE＝∠BAC＝20°，求∠CED的度数．
【分析】先求出∠ACE＝∠B＝50°，再求得∠ACD＝70°，再求出，最后根据三角形内角和定理计算出∠CED的度数．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠DCE＝∠BAC＝20°，
∴∠ACD＝50°+20°＝70°，
∴，
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠D＝180°﹣20°﹣55°＝105°．
20．如图，在△ABC中，∠A＝35°，点D，E分别是AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，已知∠1＝74°，求∠2的度数．
【分析】由折叠可知：∠F＝∠A＝35°，由三角形的内角和定理可求∠FGD＝71°，即可求得∠AGE＝109°，再利用三角形的内角和定理可求∠AEG＝36°，进而可求解．
【解答】解：由折叠可知：∠F＝∠A＝35°，
∵∠1+∠F+∠FGD＝180°，∠1＝74°，
∴∠FGD＝71°，
∴∠AGE＝180°﹣∠FGD＝109°，
∵∠A+∠AGE+∠AEG＝180°，
∴∠AEG＝180°﹣109°﹣35°＝36°，
∴∠2＝180°﹣∠AEG＝180°﹣36°＝144°．
21．已知等腰三角形的周长为20cm
（1）若腰长是底边长的2倍，求三边长；
（2）若有一边长为6cm，求三边长．
【分析】（1）设底边长xcm，则腰长为2xcm，根据周长是20cm，求出x的值即可；
（2）分6cm是腰长或者是底两种情况进行讨论，据此进行解答．
【解答】解：（1）设底边长xcm，则腰长为2xcm．
x+2x+2x＝20，
解得 x＝4
∴腰长＝2x＝2×4＝8 （cm）；
（2）因为长为 6cm的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算：
①6cm是底，设腰为y的情况：2y+6＝20，y＝7，符合三角形三边关系．
②6cm是腰，设底为m的情况：2×6+m＝20，m＝8，符合三角形三边关系．
故三边长为6cm，7cm，7cm或6cm，6cm，8cm．
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝82°，∠C＝40°，你会求∠DAE的度数吗？
（2）有同学认为，不论∠B，∠C的度数是多少，都有∠DAE＝（∠B﹣∠C）成立，你同意吗？请说出成立或不成立的理由？
【分析】（1）先根据∠B＝82°，∠C＝30°，求得∠BAC的度数，再根据AE平分∠BAC，得到∠BAE的大小．再根据垂直定义，在直角△ABD中，可以求得∠BAD的度数，即可求解∠DAE的大小．
（2）根据AE平分∠BAC，得到∠BAE．再根据垂直定义，在直角△ABD中，可以求得∠BAD，即可求得∠DAE＝（∠B﹣∠C）．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∠B＝82°，
∴∠BAD＝8°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝58°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝29°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝29°﹣8°＝21°；
（2）同意∠DAE＝（∠B﹣∠C）．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C）．
23．（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？
（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数是多少吗？
【分析】（1）由多边形内角和定理，多边形的外角和是360°，即可求解；
（2）由多边形内角和定理，即可求解．
【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×3，
∴n＝8，
答：这个多边形是八边形；
（2）设这个多边形的边数是m，重复加的那个角的度数是x°，
由题意得，
（m﹣2）×180°+x°＝1280°，
∴（m﹣2）×180°＝1280°﹣x°，
∵1280°÷180°＝7……20°，
∴x＝20，（m﹣2）×180°＝1260°，
∴m＝9．
答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．
24．探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ 270° ．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ 220° ．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 180°+∠A ．
（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故答案为：270°；
（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，
故答案为：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；
故答案为：180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF
∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
25．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，则∠AIB＝ 135° ．
（2）如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．
①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝ 45 °．
②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
【分析】（1）由角平分线性和三角形内角和定理，建立∠BIA＝和∠BOA＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）的关系；
（2）①根据已知条件可求出所需要角的度数，然后根据外角定理进行具体计算即可得到；
②由①的思路，设∠BAO＝α，用含α的代数式表示∠CBA和∠BAD，然后代入计算即可证明不变．
（3）∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF，得到∠DAF＝90°，由一个角是另一角的三倍，分两种情况讨论：
①当∠DAF＝3∠ADF时，∠ADF＝30°，结合∠BOP的平分线可求得∠OAI＝15°，求得∠OAB＝30°，得到∠OBA＝90°﹣30°＝60°；
②当∠AFD＝3∠ADF时，∠ADF＝25°，结合∠BOP的平分线可求得∠OAI＝20°，求得∠OAB＝40°，得到∠OBA＝90°﹣45°＝45°．
【解答】解：（1）∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴，
∴∠BIC＝180°﹣∠IBA﹣∠IAB
＝
＝
＝
＝
＝90°+α，
∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠BOA＝90°，
∴，
故答案为：135°．
（2）①∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠BOA＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠ABM＝120°，
∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，
∴，∠BAD＝＝15°，
∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°，
故答案为：45．
②不变，∠ADB＝45°．
设∠BAO＝α，
∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，
∴，∠MBA＝90°+α，，
∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝45，
∴不变，∠ADB＝45°．
（3）∵∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF，
∴∠DAF＝90°，
∵一个角是另一角的3倍，
∴分两种情况讨论：
①当∠DAF＝3∠ADF时，∠ADF＝30°，
∵OF为∠BOP的平分线，
∴∠DOA＝135°，
∴∠OAI＝15°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠OBA＝90°﹣30°＝60°；
②当∠AFD＝3∠ADF时，∠ADF＝22.5°，
∵OF为∠BOP的平分线，
∴∠DOA＝135°，
∴∠OAI＝22.5°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠OBA＝90°﹣45°＝45°．
∴∠OBA等于60°或45°．