八年级上学期第一次月考数学试卷 (8)

这是一份八年级上学期第一次月考数学试卷 (8)，共23页。试卷主要包含了细心选一选，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，则BC长可能是（ ）
A．3B．8C．13D．14
3．正六边形的内角和为（ ）
A．720°B．360°C．540°D．180°
4．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，已知∠ADB＝∠ADC，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BAD＝∠CAD
6．在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，∠B＝2∠C﹣6°，则∠C的度数为（ ）
A．90°B．58°C．54°D．32°
7．用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么在作图过程中确定三角形全等的依据是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，FC∥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．若AE＝CE，则DE＝FEB．若DE＝FE，则AE＝CE
C．若BC＝CF，则AD＝CFD．若AD＝CF，则DE＝FE
10．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ）
A．25B．25或32C．32D．19
11．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（ ）
A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正 边形．
14．若三角形的三边长分别为3，4，x﹣1，则x的取值范围是 ．
15．如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝ ．
16．将一副三角尺按如图方式进行摆放，则∠1的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．添加的条件是： ．（写出一个即可）
18．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 ．
19．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（1，2），A（﹣2，0），则点B坐标是 ．
20．如图1所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B＝∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ °．
三、作图题（本大题共1小题共5分）
21．（5分）已知∠AOB，求作∠A'O'B'＝∠AOB，保留作图痕迹．
四、解答题（共35分）
22．（7分）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
23．（6分）如图，点B、C、E、F在一条直线上，AB＝DC，AE＝DF，BF＝CE．
求证：∠A＝∠D．
24．（6分）如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE＝CF．求证：D为BC的中点．
25．（8分）已知，如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，求证：点F在∠A的平分线上．
26．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．
27．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE是∠DAC的平分线，P是AE上的一点（点P不与点A重合），连接PB，PC．通过观察，测量，猜想PB+PC与AB+AC之间的大小关系，并加以证明．
28．（10分）△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠AIB＝∠ADI；
（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．
①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；
②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．
29．（12分）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，PA为腰向右作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．
参考答案与试题解析
一、细心选一选：（下列各题中有四个选项只有一个正确，请将正确答案选出来，并将其字母填入下面的表格内。）共12小题，每小题3分，共36分。
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，则BC长可能是（ ）
A．3B．8C．13D．14
【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝8，
∴3＜BC＜13．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
3．正六边形的内角和为（ ）
A．720°B．360°C．540°D．180°
【分析】由多边形的内角和公式：180°（n﹣2），即可求得正六边形的内角和．
【解答】解：正六边形的内角和为：180°×（6﹣2）＝180°×4＝720°．
故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，解题的关键是熟记公式．
4．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
5．如图，已知∠ADB＝∠ADC，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BAD＝∠CAD
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
【解答】解：A、∵∠ADB＝∠ADC，AD为公共边，若AB＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
B、∵∠ADB＝∠ADC，AD为公共边，若BD＝CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；
C、∵∠ADB＝∠ADC，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；
D、∵∠ADB＝∠ADC，AD为公共边，若∠BAD＝∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，∠B＝2∠C﹣6°，则∠C的度数为（ ）
A．90°B．58°C．54°D．32°
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A＝90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠C，
∵∠B＝2∠C﹣6°，
∴90°﹣∠C＝2∠C﹣6°，
∴∠C＝32°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键．
7．用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么在作图过程中确定三角形全等的依据是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
【分析】根据尺规作图的过程判断三角形全等即可得结论．
【解答】解：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于点C、D，
（2）以点O′为圆心，OC长为半径画弧交O′A′于点C′，
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧交前弧于点D′，
（4）连接O′D′并延长到B′，
则∠A′O′B′＝∠AOB．
理由：连接CD、C′D′，由作图可知：
O′C′＝OC，C′D′＝CD，O′D′＝OD
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：C．
【点评】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，解决本题的关键是准确进行作图．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB＝8，CD＝2，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×8×2＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线得到边AB上的高是解题的关键．
9．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，FC∥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．若AE＝CE，则DE＝FEB．若DE＝FE，则AE＝CE
C．若BC＝CF，则AD＝CFD．若AD＝CF，则DE＝FE
【分析】由题目已知条件、结合每个选项分别证得三角形全等即可判断得出答案．
【解答】解：
∵AB∥FC，
∴∠A＝∠ACF，∠ADE＝∠F，
当AE＝CE时，利用AAS则可证得△ADE≌△CFE，则有DE＝EF，故A选项说法是正确的，不符合题意，
当DE＝FE时，同理可证得△ADE≌△CFE，则有AE＝CE，故B选项说法是正确的，不符合题意，
当BC＝CF时，无法证明△ADE≌△CFE，即无法得出AD＝CF，故C说法是错误的，符合题意，
当AD＝CF时，利用ASA则可证得△ADE≌△CFE，则有DE＝FE，故D选项是正确的，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
10．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ）
A．25B．25或32C．32D．19
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：三角形的三边长为13、13、6时，它的周长为32，
三角形的三边长为13、6、6时，不能组成三角形，
∴三角形的周长为32，
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
11．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（ ）
A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α
【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣α）＝180°﹣α，
则∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣α）＝α．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，∠ADC＝∠ADE，然后对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，∠ADC＝∠ADE，
∴AC+BE＝AE+BE＝AB，故②正确；
AD平分∠CDE，故④正确；
∵∠B+∠BAC＝90°，
∠B+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正 12 边形．
【分析】根据外角的度数就可求得多边形的边数．
【解答】解：正多边形的边数是：360÷30＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和都是360度．
14．若三角形的三边长分别为3，4，x﹣1，则x的取值范围是 2＜x＜8 ．
【分析】根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求x的取值范围．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：4﹣3＜x﹣1＜4+3，
解得：2＜x＜8，
即x的取值范围是2＜x＜8．
故答案为：2＜x＜8．
【点评】此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
15．如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝ 67° ．
【分析】由三角形全等可知两全等三角形对应角相等，要根据条件得到对应角，即可求出∠α的值．
【解答】解：∵两个三角形全等，长度为3的边是对应边，
∴长度为3的边对的角是对应角，
∴∠α＝67°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，即三角形全等对应边相等，对应角相等，根据已知找准对应角是解决本题的关键．
16．将一副三角尺按如图方式进行摆放，则∠1的度数为 120° ．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可．
【解答】解：如图，∠1＝∠2+∠3
＝90°+30°
＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点F．请你添加一个适当的条件，使△AEF≌△CEB．添加的条件是： AF＝CB或EF＝EB或AE＝CE． ．（写出一个即可）
【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
在Rt△AEF中，∠EAF＝90°﹣∠AFE，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠AFE，
在Rt△AEF和Rt△CDF中，∠CFD＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠DCF，
∴∠EAF＝90°﹣∠CFD＝∠BCE，
所以根据AAS添加AF＝CB或EF＝EB；
根据ASA添加AE＝CE．
可证△AEF≌△CEB．
故填空答案：AF＝CB或EF＝EB或AE＝CE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
18．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 4 ．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，依据AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
19．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（1，2），A（﹣2，0），则点B坐标是 （3，﹣1） ．
【分析】过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【解答】解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（1，2），点A的坐标为（﹣2，0），
∴AD＝CE＝3，OD＝1，BE＝CD＝2，
∴则B点的坐标是（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）
【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．
20．如图1所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B＝∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ 540 °．
【分析】先连接BE，构造“对顶三角形”，得出∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，再根据五边形内角和为540°，得出∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G＝540°，进而得到∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°．
【解答】解：如图2，连接BE，
由对顶三角形可得，∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，
∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G＝540°，
即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G＝540°，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°，
故答案为：540．
【点评】本题主要考查了多边形内角和定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造“对顶三角形”以及五边形，并得出∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB．解题时注意，五边形的内角和为540°．
三、作图题（本大题共1小题共5分）
21．（5分）已知∠AOB，求作∠A'O'B'＝∠AOB，保留作图痕迹．
【分析】根据作一个角等于已知角的方法即可完成作图．
【解答】解：如图，∠A'O'B'即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
四、解答题（共35分）
22．（7分）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
【分析】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．
【解答】解：设多边形的一个内角为x度，则一个外角为x度，依题意得
x+x＝180°，
x＝180°，
x＝108°．
360°÷（×108°）＝5．
（5﹣2）×180°＝540°．
答：这个多边形的边数为5，内角和是540°．
【点评】本题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想．关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．
23．（6分）如图，点B、C、E、F在一条直线上，AB＝DC，AE＝DF，BF＝CE．
求证：∠A＝∠D．
【分析】由BF＝CE知BE＝CF，根据“SSS”可证△ABE≌△DCF，据此可得．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF，
在△ABE和△DCF中
∵，
∴△ABE≌△DCF．
∴∠A＝∠D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质及等式的基本性质．
24．（6分）如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE＝CF．求证：D为BC的中点．
【分析】欲证明D为BC的中点，只要证明BD＝CD，即证明△BED≌△CFD即可．
【解答】证明：∵BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，
在△BED和△CFD中，
∴△CDF≌△BDE（AAS）
∴CD＝BD．
∴D为BC的中点．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．
25．（8分）已知，如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，求证：点F在∠A的平分线上．
【分析】由BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，利用AAS以判定△CDF≌△BEF，又由角平分线的判定，即可证得结论．
【解答】证明：∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴∠CDF＝∠BEF＝90°，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△CDF≌△BEF（AAS），
∴DF＝EF，
∴点F在∠A的平分线上．
【点评】此题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．
【分析】（1）结合条件利用直角三角形的性质可得∠BCE＝∠CAD，利用AAS和证得全等；
（2）由全等三角形的性质可求得CD＝BE，利用线段的和差可求得BE的长度．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），
在△ADC与△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，
则AD＝CE＝5cm，CD＝BE．
∵CD＝CE﹣DE，
∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），
即BE的长度是2cm．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
27．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE是∠DAC的平分线，P是AE上的一点（点P不与点A重合），连接PB，PC．通过观察，测量，猜想PB+PC与AB+AC之间的大小关系，并加以证明．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP＝CP，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．
【解答】解：PB+PC＞AB+AC，理由如下：
在BA的延长线上截取AF＝AC，连接PF，
在△FAP和△CAP中，
，
∴△FAP≌△CAP（SAS），
∴FP＝CP．
在△FPB中，FP+BP＞FA+AB，
即PB+PC＞AB+AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形三边的性质．
28．（10分）△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠AIB＝∠ADI；
（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．
①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；
②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．
【分析】（1）只要证明∠AIB＝90°+∠ACB，∠ADI＝90°+∠ACB即可；
（2）①只要证明∠IDC＝∠DCF即可；
②首先求出∠ACE﹣∠ABC＝∠BAC＝70°，再证明∠F＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AI、BI分别平分∠BAC，∠ABC，
∴∠BAI＝∠BAC，∠ABI＝∠ABC，
∴∠BAI+∠ABI＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∴在△ABI中，∠AIB＝180°﹣（∠BAI+∠ABI）
＝180°﹣（90°﹣∠ACB）
＝90°+∠ACB，
∵CI平分∠ACB，
∴∠DCI＝∠ACB，
∵DI⊥IC，
∴∠DIC＝90°，
∴∠ADI＝∠DIC+∠DCI＝90°+∠ACB，
∴∠AIB＝∠ADI．
（2）①解：结论：DI∥CF．
理由：∵∠IDC＝90°﹣∠DCI＝90°﹣∠ACB，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ACE＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∴∠IDC＝∠ACF，
∴DI∥CF．
②解：∵∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ACE﹣∠ABC＝∠BAC＝70°，
∵∠FCE＝∠FBC+∠F，
∴∠F＝∠FCE﹣∠FBC，
∵∠FCE＝∠ACE，∠FBC＝∠ABC，
∴∠F＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝35°
【点评】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．（12分）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，PA为腰向右作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．
【分析】①如图1，过C作CM⊥x轴于M点，则可以求出△MAC≌△OBA，可得CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，故点C的坐标为（﹣6，﹣2）．
②如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE＝OQ
利用三角形全等的判定定理可得△AOP≌△PQD（AAS）
进一步可得PQ＝OA＝2，即OP﹣DE＝2．
【解答】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，
∵∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
则∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴OM＝OA+AM＝2+4＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）．
（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE＝OQ
∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ，
∵∠APO+∠QPD＝90°，
∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PQD中，
，
∴△AOP≌△PQD（AAS）．
∴PQ＝OA＝2．
即OP﹣DE＝2．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大．