八年级上学期段考数学试卷（10月份）（五四学制）

这是一份八年级上学期段考数学试卷（10月份）（五四学制），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段
3．点A（﹣3，4）与点B（m，n）关于x轴对称，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（3，4）
4．温江进行河边公园改造，如图，江安河公园有三角形草坪（△ABC），现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则该树应种在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
5．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为（ ）
A．13 cmB．17 cm
C．22 cmD．17 cm或22 cm
6．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（ ）
A．AD＝CDB．∠A＝∠DCEC．∠ADE＝∠DCBD．∠A＝2∠DCB
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，AD⊥BC，垂足为D，若AB+BD＝CD，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．25°C．45°D．50°
9．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝4，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（ ）
A．9B．11C．12D．13
10．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE与CD交于点F，连接AF．有以下四个结论：①BE＝CD；②FA平分∠DFE；③EF＝FC；④AF+BF＝FD．其中结论一定正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．若等腰三角形一个底角为52°，则顶角的度数是 °．
12．等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是 度．
13．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得到△BDE，点C与点E对应，BE交AD于F，若AD＝8，EF＝3，则DF＝ ．
14．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，BC＝30，则AD＝ ．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，2），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
16．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝ °﹒
17．在△ABC中，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，连接AE、AN，∠EAN＝50°，则∠BAC＝ ．
18．如图，在边长为8cm的等边△ABC中，点D从A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿BC方向以2cm/s的速度运动，D、E两点同时出发，当点E到达C时，D、E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF，点N为线段AB上一动点，点M为BC的中点，连MF、NF，当MF+NF最小时，线段AN的长度为 cm．
三、解答题（共中19-22题各8分，23题10分，24-26题各12分，共计66分）
19．如图，方格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（5，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出C2的坐标；
（3）直接写出△A2B2C2的面积 ．
20．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
21．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
22．已知：在△ABC中，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线，AD＝CD．
（1）如图1，求∠A的度数．
（2）如图2，过点D作DE∥BC交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形（△ABC除外）．
23．已知三个三角形的内角度数分别如图①、图②、图③所示．请你在下面三个图形中分别画一条线段，把它们分别分割成两个等腰三角形，并直接写出分割后两个等腰三角形顶角的度数．
图①中两个等腰三角形的顶角分别为： °； °
图②中两个等腰三角形的顶角分别为： °； °
图③中两个等腰三角形的顶角分别为： °； °
24．定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，P为AC上一点，当AP的长为 时．△ABP与△CBP为偏等积三角形；
（2）理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以，AB，AC为腰向外作等腰直角△ABE，等腰直角△ACG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CA交EG于点H，四边形BCGE是一片绿色花园，计划修建一条小路CH，若△AEG的面积为1500平方米，AH＝25米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．
25．已知，在等边△ABC中，点D是直线AC上任意一点，点E在直线BC上，连接BD、DE，使得BD＝DE．
（1）如图1，当点D在CA的延长线上，求证：AD＝CE；
（2）如图2，当点D在线段AC上时，请画出图形，并直接写出结论AD CE（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（3）在（2）的条件下，取BD的中点F，连接AE，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH＝5，求EH的长．
参考答案
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．下列图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段
【分析】根据轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．
解：A、圆的对称轴有无数条，它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴；
B、正方形的对称轴有4条；
C、等腰三角形的对称轴有1条；
D、线段的对称轴有2条．
故图形中对称轴最多的是圆．
故选：A．
【点评】考查了轴对称图形的对称轴的概念，能够正确找到各个图形的对称轴．
3．点A（﹣3，4）与点B（m，n）关于x轴对称，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（3，4）
【分析】利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解．
解：由平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
可得：点A关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4）．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．温江进行河边公园改造，如图，江安河公园有三角形草坪（△ABC），现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则该树应种在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【分析】由于树到△ABC三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是△ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定树位置．
解：∵树到△ABC三个顶点的距离相等，
∴树选择△ABC三边的垂直平分线的交点．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
5．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为（ ）
A．13 cmB．17 cm
C．22 cmD．17 cm或22 cm
【分析】分为两种情况：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可．
解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，注意要进行分类讨论啊．
6．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．
【解答】A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定：
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（ ）
A．AD＝CDB．∠A＝∠DCEC．∠ADE＝∠DCBD．∠A＝2∠DCB
【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝EC，故A正确，
∴DE∥BC，∠A＝∠DCE，故B正确，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠DCB，故C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，AD⊥BC，垂足为D，若AB+BD＝CD，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．25°C．45°D．50°
【分析】延长DB至E，使BE＝AB，连接AE，则DE＝CD，从而可求得∠C＝∠E，再根据外角的性质即可求得∠ABD＝2∠E，根据三角形内角和公式即可求得∠C的度数，于是得到结论．
解：延长DB至E，使BE＝AB，连接AE．
∵AB+BD＝CD，
∴BE+BD＝CD，
∴DE＝CD
∵AD⊥BC，
∴AE＝AC，
∴∠C＝∠E；
∵BE＝AB，
∴∠E＝∠BAE，
∴∠ABD＝∠E+∠BAE＝2∠E＝2∠C；
∵∠ABC+∠C+∠BAC＝2∠C+∠C+105°＝180°，
∴∠C＝25°，
∴∠ABC＝2∠C＝50°，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理等知识点的综合运用．作出辅助线是正确解答本题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝4，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（ ）
A．9B．11C．12D．13
【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是7+5＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
10．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE与CD交于点F，连接AF．有以下四个结论：①BE＝CD；②FA平分∠DFE；③EF＝FC；④AF+BF＝FD．其中结论一定正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据等腰三角形的性质利用SAS证明△ADC≌△ABE可得出①正确；作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，证明△ADP≌△ABQ，得出AP＝AQ，证出FA平分∠DFE，得②正确；在DF上截取DO＝BF，连接AO，证明△ADO≌△ABF（SAS），则∠DAO＝∠BAF，AO＝AF，可得∠OAF＝∠BAF+∠OAB＝60°，△AOF是等边三角形，即可得AF+BF＝DO+OF＝FD，得④正确；由AF+BF＝DO+OF＝FD，BE＝CD可得EF≠FC，得③不正确；进而可得出结论．
解：①∵三角形ABD与等边三角形ACE是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD，①正确；
②作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，如图所示：
∵△ADC≌△ABE，
∴S△ADC＝S△ABE，DC＝BE，
∴AP＝AQ，
∵AP⊥CD，AQ⊥BE，
∴点A在∠PFE的平分线上，
∴FA平分∠DFE，②正确；
④如图，在DF上截取DO＝BF，连接AO，
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADO＝∠ABF，
在△ADO和△ABF中，
，
∴△ADO≌△ABF（SAS），
∴∠DAO＝∠BAF，AO＝AF，
∵∠DAB＝∠DAO+∠OAB＝60°，
∴∠OAF＝∠BAF+∠OAB＝60°，
∴△AOF是等边三角形，
∴AF＝OF，
∴AF+BF＝DO+OF＝FD，④正确；
③∵AF+BF＝DO+OF＝FD，BE＝CD，
∴BE﹣BF≠CD﹣DF，
即EF≠FC，③不正确；
综上所述：正确的结论是①②④，共3个，
故选：C．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．若等腰三角形一个底角为52°，则顶角的度数是 76 °．
【分析】用180°减去两个底角的度数即可求得顶角的度数．
解：顶角的度数为180°﹣52°×2＝76°，
故答案为：76．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是了解两个底角相等，难度不大．
12．等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是 60 度．
【分析】根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案．
解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，
∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CE⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠OEB＝90°，∠EBO＝∠ABC＝30°，
∴∠BOE＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形每边上的中线、高和对角的角平分线相互重合是解题的关键．
13．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得到△BDE，点C与点E对应，BE交AD于F，若AD＝8，EF＝3，则DF＝ 5 ．
【分析】由翻折的性质可知∠EBD＝∠CBD，由矩形的性质可知：AD∥BC，从而得到∠ADB＝∠DBC，于是∠EBD＝∠ADB，故此BF＝DF，证出AF＝EF＝3，则可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DBC＝∠ADB．
由翻折的性质可知：∠DBC＝∠EBD，
∴∠ADB＝∠EBD．
∴BF＝FD，
∵AD＝BC＝BE，
∴AF＝EF＝3，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质和判定、矩形的性质，由翻折的性质找出相等的角或边是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，BC＝30，则AD＝ 10 ．
【分析】由三角形的内角和定理可求∠BAC＝120°，结合垂直的定义可求得∠CAD＝30°，BD＝2AD，进而可求得AD＝BC＝10，即可求解．
解：∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝∠C＝30°，BD＝2AD，
∴AD＝CD，
∴AD＝BC＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，证明AD＝CD是解题的关键．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，2），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有 4 个．
【分析】设点P坐标为（x，0），分三种情况：OA＝OP，OA＝AP，PA＝PO，分别求解即可．
解：设点P坐标为（x，0），
∵点A（﹣1，2），
∴OA＝＝，
当OA＝OP时，点P坐标为（，0）或（﹣，0）；
当OA＝AP时，点P坐标为（﹣2，0）；
当PA＝PO时，（﹣1﹣x）2+22＝（﹣x）2，
解得x＝，
∴点P坐标为（，0），
综上所述，满足条件的点P有4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键，注意分情况讨论．
16．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝ 150 °﹒
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠E，然后判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD＝60°，再求出∠BAD＝60°，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解．
解：∵AB∥ED，
∴∠E＝180°﹣∠EAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∴∠BAD＝∠EAB﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，
在四边形ABCD中，∠BCD＝（360°﹣∠BAD）＝（360°﹣60°）＝150°．
故答案为：150．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
17．在△ABC中，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，连接AE、AN，∠EAN＝50°，则∠BAC＝ 115°或65° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形判定和性质定理以及三角形的内角和定理即可得到结论．
解：如图1，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B+∠C＝∠BAE+∠CAN，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝50°，
∴∠BAC＝115°；
如图2，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B+∠C＝∠BAE+∠CAN，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN﹣∠EAN＝180°﹣∠BAC﹣50°，
∴∠BAC＝65°；
综上所述，∠BAC＝115°或65°，
故答案为：115°或65°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B+∠C＝∠BAE+∠CAN是解答此题的关键．
18．如图，在边长为8cm的等边△ABC中，点D从A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿BC方向以2cm/s的速度运动，D、E两点同时出发，当点E到达C时，D、E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF，点N为线段AB上一动点，点M为BC的中点，连MF、NF，当MF+NF最小时，线段AN的长度为 2 cm．
【分析】如图，过点E作EH⊥AB于H，连接FC．证明△DHE≌△ECF（SAS），推出∠DHE＝∠ECF＝90°，推出F点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段，作点M关于CF的对称点K，连接FK，过点K作KJ⊥AB于J，FM+FM＝FK+FN≥KJ，解直角三角形求出BJ即可解决问题．
解：如图，过点E作EH⊥AB于H，连接FC．
由题可得：∠BEH＝30°，AD＝tcm，BE＝2tcm，
∴BD＝（8﹣t）（cm），CE＝（8﹣2t）（cm），
∴BH＝BE＝t（cm），
∴DH＝8﹣t﹣t＝（8﹣2t）（cm），
∴DH＝EC．
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°．
∵∠HDE+∠HED＝90°，∠HED+∠FEC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠HDE＝∠FEC．
在△DHE和△ECF中，
，
∴△DHE≌△ECF（SAS），
∴∠DHE＝∠ECF＝90°，
∴F点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段，
作点M关于CF的对称点K，连接FK，过点K作KJ⊥AB于J，
∵FM+FM＝FK+FN≥KJ，
∴当点N与J重合，点F在KJ上时，FM+FN的值最小，此时BK＝BC+CK＝8+4＝12（cm），
∵∠KJB＝90°，∠B＝60°，
∴BJ＝BK＝12×＝6（cm），
∴AN＝AB﹣BN＝2（cm），
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（共中19-22题各8分，23题10分，24-26题各12分，共计66分）
19．如图，方格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（5，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出C2的坐标；
（3）直接写出△A2B2C2的面积 ．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据割补法即可求解．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1（6，﹣1）；
（2）如图所示，△A2B2C2，即为所求，C2（﹣6，1）；
（3）△A2B2C2的面积＝5×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
20．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
【分析】根据题意可得：AB＝45海里，然后利用三角形的外角性质可得∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，从而可得∠C＝∠NAC＝40°，最后根据等角对等边即可解答．
解：由题意得：
AB＝（11﹣8）×15＝3×15＝45（海里），
∵∠NBC是△ABC的一个外角，∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，
∴∠C＝∠NAC＝40°，
∴AB＝BC＝45海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离为45海里．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，方向角，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB＝OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE＝DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．
22．已知：在△ABC中，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线，AD＝CD．
（1）如图1，求∠A的度数．
（2）如图2，过点D作DE∥BC交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形（△ABC除外）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACD，再利用角平分线的定义可得∠ACB＝2∠ACD，∠ACB＝2∠A，然后再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB＝2∠A，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，从而可得∠ADE＝∠AED，然后利用等角对等边可得AD＝AE；再利用角平分线的定义和平行线的性质可得△EDC是等腰三角形；根据已知可得△ADC是等腰三角形；最后再利用三角形的外角性质可得∠CDB＝∠A+∠ACD＝2∠A，从而可得∠B＝∠CDB，进而利用等角对等边可得CD＝CB，即可解答．
解：（1）∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD，
∴∠ACB＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2∠A，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠A的度数为36°；
（2）△ADE，△CDB，△ADC，△DEC是等腰三角形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∴△EDC是等腰三角形；
∵AD＝CD，
∴△ADC是等腰三角形；
∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∠A＝∠ACD，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝∠CDB，
∴CD＝CB，
∴△CDB是等腰三角形，
∴△ADE，△CDB，△ADC，△DEC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23．已知三个三角形的内角度数分别如图①、图②、图③所示．请你在下面三个图形中分别画一条线段，把它们分别分割成两个等腰三角形，并直接写出分割后两个等腰三角形顶角的度数．
图①中两个等腰三角形的顶角分别为： 140 °； 40 °
图②中两个等腰三角形的顶角分别为： 130 °； 80 °
图③中两个等腰三角形的顶角分别为： 140 °； 100 °
【分析】已图①中只要找到斜边中点，然后连接直角顶点和斜边中点，那么分成的两个三角形就是等腰三角形；图②，图③要先根据三角形的内角和求出另一角的度数，然后看看是否能分成等腰三角形．
解：如图所示：
图①中两个等腰三角形的顶角分别为：140°；40°；
图②中两个等腰三角形的顶角分别为：130°；80°；
图③中两个等腰三角形的顶角分别为：140°；100°；
故答案为：140，40；130，80；140，100．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
24．定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，P为AC上一点，当AP的长为 时．△ABP与△CBP为偏等积三角形；
（2）理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以，AB，AC为腰向外作等腰直角△ABE，等腰直角△ACG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CA交EG于点H，四边形BCGE是一片绿色花园，计划修建一条小路CH，若△AEG的面积为1500平方米，AH＝25米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．
【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；
（2）过点E作EF⊥AG，交GA的延长线为F，先证明△AEF≌△ABC，则EF＝BC，AF＝AC＝AG，依据三角形的面积公式可知S△ABC＝S△AEG，然后再依据偏等积三角形的定义即可得出结论；
（3）过点E作EF⊥AG，交GA的延长线为F，由题意可得CH∥EF，由AF＝AG可得AH是△GAF的中位线，则EF＝2AH＝50米，根据△AEG的面积为1500平方米，可得AG＝AC＝60米，即可求解．
【解答】（1）解：如图1中，
当AP＝PC＝时，S△ABP＝S△CBP，
∵△ABP与△PBC不全等，
∴△ABP与△CBP为偏等积三角形，
故答案为：；
（2）证明：如图2中，过点E作EF⊥AG，交GA的延长线为F，
∵△ABE和△ACG均为等腰直角三角形，
∴∠EAF+BAF＝90°，∠BAF+∠BAC＝90°，AB＝AE，AC＝AG．
∴∠EAF＝∠BAC．
在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（AAS）．
∴EF＝BC，AF＝AC＝AG，
∵S△ABC＝AC•BC，S△AEG＝AG•EF，
∴S△ABC＝S△AEG，
∴△ABC与△AEG为偏等积三角形；
（3）解：过点E作EF⊥AG，交GA的延长线为F，
∵CH⊥AG，
∴CH∥EF，
由（2）知，AF＝AC＝AG，
∴AH是△GAF的中位线，
∴EF＝2AH＝50米，
∵△AEG的面积为1500平方米，
∴AG•EF＝1500，
∴AG＝AC＝60米，
∴CH＝60+25＝85（米），
∴修建小路的总造价为600×85＝51000（元）．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了新定义，等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．已知，在等边△ABC中，点D是直线AC上任意一点，点E在直线BC上，连接BD、DE，使得BD＝DE．
（1）如图1，当点D在CA的延长线上，求证：AD＝CE；
（2）如图2，当点D在线段AC上时，请画出图形，并直接写出结论AD ＝ CE（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（3）在（2）的条件下，取BD的中点F，连接AE，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH＝5，求EH的长．
【分析】（1）作DF∥AB，可证△≌BDF△EDC，可得BF＝CE，再证AD＝BF即可解题；
（2）方法同（1）；
（3）先构造出△BFG≌△DFA得出BG＝AD，进而得出BG＝CE，再用SAS判断出△ABG≌△ACE，根据含30°角的直角三角形的性质，求出AF，进而求出AE，最后用EH＝AE﹣AH即可得出结论．
解：（1）如图1，作DF∥AB交CB的延长线于F，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠ABC，∠CDF＝∠CAB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠F＝∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝CF，
∴CD﹣AC＝CF﹣BC，
即BF＝AD，
∵BD＝DE，
∴∠BED＝∠DBE，
∴∠DBF＝∠DEC，
在△BDF和△EDC中，
，
∴△BDF≌△EDC（AAS），
∴BF＝CE，
∴AD＝CE；
（2）如图2，作DF∥AB交CB的延长线于F，
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，∠CDF＝∠CAB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠DFC＝∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝CF，
∴AC﹣CD＝BC﹣CF，
即BF＝AD，
∵BD＝DE，
∴∠BED＝∠DBE，
∴∠DBF＝∠DEC，
在△BDF和△EDC中，
，
∴△BDF≌△EDC（AAS），
∴BF＝CE，
∴AD＝CE，
故答案为：＝；
（3）过点B作BG∥AC交AF的延长线于G，
∴∠G＝∠DAF，∠CBG＝∠ACB＝60°，
∴∠ABG＝∠ABC+∠CBG＝120°＝∠ACE，
∵点F是BD中点，
∴BF＝DF，
在△BFG和△DFA中，
，
∴△BFG≌△DFA（AAS），
∴BG＝AD，
由（1）知，AD＝CE，
∴BG＝CE，
在△ABG和△ACE中，
，
∴△ABG≌△ACE（SAS），
∴∠BAF＝CAE，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∵FH⊥AE，
∴∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝90°﹣∠FAE＝30°，
在Rt△AFH中，AH＝5，
∴AF＝10，
由（2）知，△BFG≌△DFA，
∴GF＝AF＝10，
由（2）知，△ABG≌△ACE，
∴AE＝AG＝2AF＝20，
∴EH＝AE﹣AH＝20﹣5＝15．