八年级上学期月考数学试卷（10月份） (8)

这是一份八年级上学期月考数学试卷（10月份） (8)，共21页。试卷主要包含了能将三角形面积平分的是三角形的，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．3，7，5B．4，8，5C．3，12，7D．7，13，8
2．能将三角形面积平分的是三角形的（ ）
A．角平分线B．高C．中线D．外角平分线
3．将一副常规的三角尺如图放置，则图中∠ACB的度数是（ ）
A．75°B．95°C．15°D．120°
4．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（ ）
A．CFB．BEC．ADD．CD
5．如图所示，△ABC≌△DEC，∠ACB＝60°，∠BCD＝100°，点A恰好落在线段ED上，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．60°C．55°D．65°
6．下列说法错误的是（ ）
A．一个三角形中至少有一个角不少于60°
B．三角形的中线不可能在三角形的外部
C．三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分
D．直角三角形只有一条高
7．如图，AC是△ABC和△ADC的公共边，下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．AB＝AD，∠2＝∠1B．AB＝AD，∠3＝∠4
C．∠2＝∠1，∠3＝∠4D．∠2＝∠1，∠B＝∠D
8．小明不小心把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．①B．②C．③D．①和②
9．如图，△ABC中，∠B＝∠C，∠EDF＝α，BD＝CF，BE＝CD，则下列结论正确的是（ ）
A．2α+∠A＝180°B．2α+∠A＝90°C．α+∠A＝90°D．α+∠A＝180°
10．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD＝CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（ ）
A．60°B．45°C．75°D．70°
11．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ）
①AE＝DC；
②∠AHC＝120°；
③△AGB≌△DFB；
④BH平分∠AHC；
⑤GF∥AC．
A．①②④B．①③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤
12．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二.填空题（6×4＝24分）
13．若一个正多边形的每一个外角是45°，则它是正 边形．
14．△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝ ．
15．等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 ．
16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 度．
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝3cm，AC＝5cm，则AD的取值范围是 ．
18．如图，在△ABC中，∠EAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点，P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP₂的交点，P₃是△BP2C的内角∠F2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点：依次这样下去，则∠P6的度数为 ．
三、解答题（共60分）
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
20．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
21．如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝10cm．一条线段PQ＝AB、P、Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，在线段PQ运动过程中，当AP为何值时，能使△ABC和以P、Q、A为顶点的三角形全等．
22．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AB+CD＝AC．
23．如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8cm，DE＝5cm．
（1）求BE的长；
（2）其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
一.选择题（12×3＝36分）
1．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．3，7，5B．4，8，5C．3，12，7D．7，13，8
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
解：A、∵3+5＞7，
∴长度为3，7，5的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵4+5＞8，
∴长度为4，8，5的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵3+7＜12，
∴长度为3，12，7cm的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵7+8＞13，
∴长度为7，13，8的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
2．能将三角形面积平分的是三角形的（ ）
A．角平分线B．高C．中线D．外角平分线
【分析】根据三角形的面积公式，只要两个三角形具有等底等高，则两个三角形的面积相等．根据三角形的中线的概念，故能将三角形面积平分的是三角形的中线．
解：根据等底等高可得，能将三角形面积平分的是三角形的中线．故选C．
【点评】注意：三角形的中线能将三角形的面积分成相等的两部分．
3．将一副常规的三角尺如图放置，则图中∠ACB的度数是（ ）
A．75°B．95°C．15°D．120°
【分析】由题意可得∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，再由角的和差进行求解即可．
解：由题意得：∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
则∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝15°．
故选：C．
【点评】本题主要考查角的计算，解答的关键结合图形分析清楚各角之间的关系．
4．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（ ）
A．CFB．BEC．ADD．CD
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可．
解：△ABC中，画AC边上的高，是线段BE．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．
5．如图所示，△ABC≌△DEC，∠ACB＝60°，∠BCD＝100°，点A恰好落在线段ED上，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．60°C．55°D．65°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠DCE＝∠ACB，AC＝CD，∠D＝∠BAC，求出∠D＝∠DAC，然后求出∠ACD，根据三角形内角和定理求出∠D，求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB＝60°，AC＝CD，∠D＝∠BAC，
∴∠D＝∠DAC，
∵∠BCD＝100°，∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝100°﹣60°＝40°，
∴∠BAC＝∠D＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，对应边相等的性质，也考查了三角形内角和定理等于180°，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
6．下列说法错误的是（ ）
A．一个三角形中至少有一个角不少于60°
B．三角形的中线不可能在三角形的外部
C．三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分
D．直角三角形只有一条高
【分析】分别根据三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵三角形的内角和等于180°，
∴一个三角形中至少有一个角不少于60°，故本选项正确；
B、三角形的中线一定在三角形的内部，故本选项正确；
C、三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分，故本选项正确；
D、直角三角形有三条高，故本选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
7．如图，AC是△ABC和△ADC的公共边，下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．AB＝AD，∠2＝∠1B．AB＝AD，∠3＝∠4
C．∠2＝∠1，∠3＝∠4D．∠2＝∠1，∠B＝∠D
【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
解：A、AB＝AD，∠2＝∠1，再加上公共边AC＝AC不能判定△ABC≌△ADC，故此选项符合题意；
B、AB＝AD，∠3＝∠4再加上公共边AC＝AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠1，∠3＝∠4再加上公共边AC＝AC可利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
D、∠2＝∠1，∠B＝∠D再加上公共边AC＝AC可利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．小明不小心把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）
A．①B．②C．③D．①和②
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．如图，△ABC中，∠B＝∠C，∠EDF＝α，BD＝CF，BE＝CD，则下列结论正确的是（ ）
A．2α+∠A＝180°B．2α+∠A＝90°C．α+∠A＝90°D．α+∠A＝180°
【分析】由△BDE≌△CFD，推出∠BED＝∠CDF，由∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，推出∠B＝∠EDF＝α即可解决问题．
解：在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，
∴∠B＝∠EDF＝α，
∵∠B＝∠C＝α，
∴2α+∠A＝180°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．
10．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD＝CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（ ）
A．60°B．45°C．75°D．70°
【分析】易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．
解：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠DAF＝∠ABD，
∴∠AFD＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△ACE是解题的关键．
11．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ）
①AE＝DC；
②∠AHC＝120°；
③△AGB≌△DFB；
④BH平分∠AHC；
⑤GF∥AC．
A．①②④B．①③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤
【分析】根据等边三角形的性质得到BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，则可根据”SAS“判定△ABE≌△DBC，所以AE＝DC，于是可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠BDC，则可得到∠BAH+∠BCH＝60°，从而根据三角形内角和得到∠AHC＝120°，则可对②进行判断；利用”ASA”可证明△AGB≌△DFB，从而可对③进行判断；利用△ABE≌△DBC得到AE和DC边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对④进行判断；证明△BGF为等边三角形得到∠BGF＝60°，则∠ABG＝∠BGF，所以GF∥AC，从而可对⑤进行判断．
解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∵∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝120°，
∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝DC，所以①正确；
∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝∠ABD＝60°，
∴∠BAE+∠BCD＝60°，
∴∠AHC＝180°﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°﹣60°＝120°，所以②正确；
∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，
∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴AE和DC边上的高相等，
即B点到AE和DC的距离相等，
∴BH平分∠AHC，所以④正确；
∵△AGB≌△DFB，
∴BG＝BF，
∵∠GBF＝60°，
∴△BGF为等边三角形，
∴∠BGF＝60°，
∴∠ABG＝∠BGF，
∴GF∥AC，所以⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．也考查了等边三角形的性质．
12．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解OP＝1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得④正确．
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，故①错误；
过O点作OP⊥AB于P，
∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OP＝OD＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABO＝AB•OP＝，故②正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故③正确；
作ON⊥AC于N，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
二.填空题（6×4＝24分）
13．若一个正多边形的每一个外角是45°，则它是正 8 边形．
【分析】多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．
解：多边形的边数是：＝8．
【点评】本题主要考查了多边形的外角的特征．根据多边形的外角和不随边数的变化而变化，边数＝360°÷一个外角，可以把问题简化．
14．△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝ 120° ．
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝60°，
在△PBC中，∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
15．等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 22 ．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
解：分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9，
∴三角形的周长＝4+9+9＝22；
②当9为底边长，4为腰长时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；熟练掌握等腰三角形的性质，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．
16．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 360 度．
【分析】由三角形的外角的性质，即可计算．
解：∵∠7＝∠4+∠6，∠8＝∠1+∠5，
∴∠2+∠3+∠7+∠8＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，
∵∠2+∠3+∠7+∠8＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故答案为：360．
【点评】本题考查三角形的外角的性质，关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝3cm，AC＝5cm，则AD的取值范围是 1cm＜AD＜4cm ．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝AC，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后求解即可．
解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE＝AC，
由三角形三边关系得，5﹣3＜AE＜5+3，
即2cm＜AE＜8cm，
∴1cm＜AD＜4cm．
故答案为：1cm＜AD＜4cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，“遇中线，加倍延”作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
18．如图，在△ABC中，∠EAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点，P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP₂的交点，P₃是△BP2C的内角∠F2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点：依次这样下去，则∠P6的度数为 2° ．
【分析】根据角平分线的定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠PBC+∠P，于是得到（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P＝∠ABC+∠P，然后整理可得∠P＝∠A，同理得到结论．
解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1＝∠ABC+∠P1，
∴∠P1＝∠A＝×128°＝64°，
同理∠P2＝∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故答案为：2°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
三、解答题（共60分）
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义求出∠CAE的度数，再根据直角三角形的性质求出∠CAD的度数，进而可得出结论．
解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝80°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝10°．
答：∠DAE的度数是10°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
20．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）证明：∠1＝∠3．
【分析】（1）根据等式的性质得∠ABE＝∠CBD，再利用SAS即可证明结论成立；
（2）根据全等三角形的对应角相等得∠A＝∠C，对顶角相等得∠AFB＝∠CFE，利用三角形内角和定理可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2．
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠A＝∠C，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠1＝∠3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝10cm．一条线段PQ＝AB、P、Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，在线段PQ运动过程中，当AP为何值时，能使△ABC和以P、Q、A为顶点的三角形全等．
【分析】分两种情形分别求解即可．
解：当AP＝5时，Rt△ABC≌Rt△QPA，
理由是：∵∠C＝90°，AQ⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
当AP＝5＝BC时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
当AP＝AC＝10，AQ＝BC＝5时，△ABC≌△PQA．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
22．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AB+CD＝AC．
【分析】（1）延长AO交CD的延长线于点E，可得△AOB≌△EOD，进而可得AC＝CE，由三线合一可得CO平分∠ACD，
（2）由△AOB≌△EOD，可得AB＝DE，AB+CD＝CD+DE＝CE，由于AC＝CE，所以AB+CD＝AC
解：
（1）如图，延长AO交CD的延长线于点E，
∵O为BD的中点，
∴BO＝DO，
在△AOB与△EOD中，
∴△AOB≌△EOD，（ASA）
∴AO＝AE，
又∵OA⊥OC，
∴AC＝CE
∴CO平分∠ACD；（三线合一）
（2）由△AOB≌△EOD
可得AB＝DE
∴AB+CD＝CD+DE＝CE
∵AC＝CE
∴AB+CD＝AC
【点评】本题主要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一等知识点，运用O是BD的中点，延长AO交CD的延长线于点E，可得△AOB≌△EOD，由全等转化边角关系，熟练运用等腰三角形三线合一性质是解题关键．
23．如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8cm，DE＝5cm．
（1）求BE的长；
（2）其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出∠EBC＝∠DCA，进而判断出△CEB≌△ADC，得出BE＝DC，CE＝AD＝8cm，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出BE＝DC，CE＝AD，进而得出结论．
（3）同（1）的方法，即可得出结论．
解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD＝8cm．
∵DC＝CE﹣DE，DE＝5cm，
∴DC＝8﹣5＝3（cm），
∴BE＝3cm；
（2）AD+BE＝DE，
证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+DE＝AD+BE；
（3）、（2）中的猜想还成立，
证明：∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∠DAC+∠ACB+∠ACD＝180°，∠ADC＝∠BCA，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝CD，EC＝AD，
∴DE＝EC+CD＝AD+BE．