八年级上学期月考数学试卷

这是一份八年级上学期月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
2．（3分）下列说法：
①全等三角形的形状相同、大小相等
②全等三角形的对应边相等、对应角相等
③面积相等的两个三角形全等
④全等三角形的周长相等
其中正确的说法为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
3．（3分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
4．（3分）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝10cm，AC＝6cm，则BE的长度为（ ）
A．10cmB．6cmC．4cmD．2cm
6．（3分）如图，∠B＝∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠ADC＝∠AEBB．AD＝AEC．AB＝ACD．BE＝CD
7．（3分）乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量池塘两端A，B的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：
乐乐：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．
明明：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．
聪聪：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA．这时只要测出BC的长即为A，B的距离．
以上三位同学所设计的方案中可行的是（ ）
A．乐乐和明明B．乐乐和聪聪
C．明明和聪聪D．三人的方案都可行
8．（3分）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，4），则点D的对应点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（1，﹣3）
9．（3分）如图，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是（ ）
A．125°B．115°C．110°D．35°
10．（3分）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
A．50°B．90°C．40°D．80°
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角∠CBP等于 ．
12．（3分）如图是雨伞在开合过程中某时刻的裁面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM．已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是 ．
13．（3分）一副三角板如图放置，∠A＝45°，∠E＝30°，DE∥AC，则∠1＝ °．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 ．
15．（3分）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）一个多边形的内角和为900°，求这个多边形的边数．
17．（8分）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AE＝DF，∠CFD＝∠BEA，AB∥CD．求证△ABE≌△DCF．
18．（7分）如图，在△ABC中，延长BC至D，∠A＝60°，∠B＝45°．
（1）过点C作直线CE∥AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求∠ECD的度数．
19．（9分）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．
小明的证明过程如下：
已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：延长BC，过点C作CM∥BA．
∴∠A＝ （两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠2（ ）
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
（1）请你补充完善小明方法1的证明过程；
（2）请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程．
20．（9分）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
21．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B﹣∠C＝30°，则∠DAE＝ ．
（3）若∠B﹣∠C＝α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）
22．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．
（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；
（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
23．（12分）[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
（2）求得AD的取值范围是 ．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[问题解决]（3）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+CN＞MN．
八年级（上）段测数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分共30分，在每个小题的四个选项中，只有一个段符合题意。请将正确的答案选项坑入答题卡相应的位置。）
1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．
判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．（3分）下列说法：
①全等三角形的形状相同、大小相等
②全等三角形的对应边相等、对应角相等
③面积相等的两个三角形全等
④全等三角形的周长相等
其中正确的说法为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【考点】全等图形．
【分析】根据全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形可得答案．
【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，说法正确；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等，说法正确；
③面积相等的两个三角形全等，说法错误；
④全等三角形的周长相等，说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形概念．
3．（3分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n﹣2）＝360，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设此多边形是n边形，
∵多边形的外角和为360°，
∴180（n﹣2）＝360，
解得：n＝4．
∴这个多边形是四边形．
故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n﹣2）．
4．（3分）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据各个生活现象判断所运用的原理，判断即可．
【解答】解：A、该生活现象运用的是两点确定一条直线，不符合题意；
B、该生活现象运用的是两点之间，线段最短，不符合题意；
C、该生活现象运用的是三角形的稳定性，符合题意；
D、该生活现象运用的是垂线段最短，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝10cm，AC＝6cm，则BE的长度为（ ）
A．10cmB．6cmC．4cmD．2cm
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC，证明Rt△AED≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质得到AE＝AC＝6cm，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC＝6cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．（3分）如图，∠B＝∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠ADC＝∠AEBB．AD＝AEC．AB＝ACD．BE＝CD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由于∠B＝∠C，加上∠A为公共角，然后根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠B＝∠C，∠BAE＝∠CAD，
∴当添加AD＝AE时，根据“AAS”判定△ABE≌△ACD；
当添加AB＝AC时，根据“ASA”判定△ABE≌△ACD；
当添加BE＝CD时，根据“AAS”判定△ABE≌△ACD．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
7．（3分）乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量池塘两端A，B的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：
乐乐：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．
明明：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．
聪聪：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA．这时只要测出BC的长即为A，B的距离．
以上三位同学所设计的方案中可行的是（ ）
A．乐乐和明明B．乐乐和聪聪
C．明明和聪聪D．三人的方案都可行
【考点】全等三角形的应用；等腰三角形的判定与性质．
【分析】在三个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE，
故乐乐的方案可行；
∵AB⊥BF，
∴∠ABC＝90°，
∵DE⊥BF，
∴∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED，
故明明的方案可行；
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
故聪聪的方案可行，
综上可知，三人方案都可行，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．（3分）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，4），则点D的对应点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（1，﹣3）
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由“AAS”可证△ABE≌△DAF，可得AE＝DF＝1，BE＝AF＝2，即可求解．
【解答】解：如图，
作BE⊥y轴于点E，DF⊥y轴于点F，
∵A（0，3），B（2，4），
∴E（0，4），
∴AE＝1，BE＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠BEA＝∠AFD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°＝∠BAE+∠ABE，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF＝1，BE＝AF＝2，
∴OF＝1，
∴点D（1，1），
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．（3分）如图，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是（ ）
A．125°B．115°C．110°D．35°
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠ABC+∠ACB的度数，由角平分线的定义，可得出∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再在△PBC中，利用三角形内角和定理可求出∠P的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．
∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB．
在△PBC中，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×110°＝125°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
10．（3分）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
A．50°B．90°C．40°D．80°
【考点】轴对称的性质．
【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．
【解答】解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝100°，
∴∠MGE＝180°﹣100°＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB+∠EGC的度数．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角∠CBP等于 72° ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】由多边形的外角和是360°，即可求解．
【解答】解：∵五边形ABCDE五个内角相等，
∴五边形ABCDE的外角相等，
∴∠CBP＝360°÷5＝72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查多边形的外角定理，关键是掌握多边形的外角和是360°．
12．（3分）如图是雨伞在开合过程中某时刻的裁面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM．已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是 SSS ．
【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌△AEM．
【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝AE，
在△ADM和△AEM中，
．
∴△ADM≌△AEM（SSS），
故答案为：SSS．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
13．（3分）一副三角板如图放置，∠A＝45°，∠E＝30°，DE∥AC，则∠1＝ 105 °．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】利用平行和对顶角相等求出∠DOA，根据三角形内角和求出∠D，根据外角性质求出∠1．
【解答】解：如图，设DE交AB于O点，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BOE＝45°，
∴∠DOA＝∠BOE＝45°，
∠D＝90°﹣∠E＝90°﹣30°＝60°，
∠1＝∠D+∠DOA＝60°+45°＝105°．
故答案为：105．
【点评】本题考查平行线的性质、对顶角和三角形内角和定理，熟练运用平行线的性质是关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 6 ．
【考点】三角形的面积．
【分析】根据三角形的面积公式，得△ABE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC的面积的一半．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝12．
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE＝S△ABD＝6．
故答案为：6
【点评】此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
15．（3分）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为 2或3 ．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】此题要分两种情况：①当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．
【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝6cm，
∵BD＝PC，
∴BP＝8﹣6＝2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP＝CQ＝2cm，
∴v＝2÷1＝2；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝6cm，PB＝PC，
∴QC＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴BP＝4cm，
∴运动时间为4÷2＝2（s），
∴v＝6÷2＝3（m/s），
故答案为：2或3．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
三、解答题：（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）一个多边形的内角和为900°，求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°进行计算即可．
【解答】解：设该多边形的边数为n，
则：（n﹣2）•180°＝900°，
解得：n＝7．
答：这个多边形的边数为七．
【点评】本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程．
17．（8分）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AE＝DF，∠CFD＝∠BEA，AB∥CD．求证△ABE≌△DCF．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠D，进而利用ASA证明△ABE≌△DCF即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
18．（7分）如图，在△ABC中，延长BC至D，∠A＝60°，∠B＝45°．
（1）过点C作直线CE∥AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求∠ECD的度数．
【考点】作图—复杂作图；平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】（1）根据平行线的判定方法，作∠DCE＝∠B得到CE∥AB；
（2）根据平行线的性质解决问题．
【解答】解：（1）如图，CE为所作；
（2）∵AB∥CE，
∴∠ECD＝∠B＝45°．
19．（9分）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．
小明的证明过程如下：
已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：延长BC，过点C作CM∥BA．
∴∠A＝ ∠1 （两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠2（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
（1）请你补充完善小明方法1的证明过程；
（2）请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程．
【考点】平行线的性质．
【分析】（1）延长BC，过点C作CM∥BA，利用平行线的性质，可得出∠A＝∠1，∠B＝∠2，结合平角等于180°，即可证出∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）过点A作直线l∥BC，利用平行线的性质，可得出∠3＝∠B，∠4＝∠C，结合平角等于180°，即可证出∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【解答】（1）证明：延长BC，过点C作CM∥BA．
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等），
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
故答案为：∠1；两直线平行，同位角相等．
（2）证明：如图所示，过点A作直线l∥BC，
∴∠3＝∠B（两直线平行，内错角相等），∠4＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC+∠3+∠4＝180°（平角定义），
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
20．（9分）如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝90°，
即BE⊥AC；
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据条件恰当的选择判定三角形全等的方法是正确解决本题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B﹣∠C＝30°，则∠DAE＝ 15° ．
（3）若∠B﹣∠C＝α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据垂直定义由AD⊥BC得∠ADC＝90°，再利用角平分线定义得∠EAC＝∠BAC，然后根据三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠DAC＝90°﹣∠C，则∠DAE＝（∠B﹣∠C），
（1）把∠B＝70°，∠C＝40°代入∠DAE＝（∠B﹣∠B）中计算即可；
（2）把∠B﹣∠C＝30°代入∠DAE＝（∠B﹣∠C）中计算即可；
（3）把∠B﹣∠C＝α（∠B＞∠C）代入∠DAE＝（∠B﹣∠C）中计算即可；
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC，
而∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC＝90°﹣∠B﹣∠C，
∵∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C]
＝（∠B﹣∠C），
（1）若∠B＝70°，∠C＝40°，则∠DAE＝（70°﹣40°）＝15°；
（2）若∠B﹣∠C＝30°，则∠DAE＝×30°＝15°；
（3）若∠B﹣∠C＝α（∠B＞∠C），则∠DAE＝α；
故答案为15°．
22．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．
（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；
（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；
（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，
∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，
即：∠BAP＝∠CAD，
在△BAP和△CAD中
，
∴△BAP≌△CAD（SAS）；
（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．
证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，
∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，
即：∠BAP＝∠CAD，
在△BAP和△CAD中
，
∴△BAP≌△CAD（SAS），
∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），
∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，
即：BP⊥CD．
23．（12分）[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 SAS ．
（2）求得AD的取值范围是 1＜AD＜7 ．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[问题解决]（3）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+CN＞MN．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF＝CN，由线段垂直平分线的性质得出MF＝MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
（3）证明：如图2中，延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，
同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），
∴BF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN．