初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质练习题，共10页。
知识点1 相似三角形对应线段的比
1.【教材变式·P107T1】已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为34,则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A.34 B.43 C.916 D.169
2.已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'分别是两个三角形对应的角平分线,且AC∶A'C'=2∶3,若BD=4 cm,则B'D'的长是( )
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
3.(2023山东济南高新区期末)如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120 mm,高AD=80 mm,要把它加工成矩形零件PQMN,使一边在BC上,其余两个顶点分别在边AB、AC上.
(1)当点P恰好为AB的中点时,PQ= ;
(2)当PQ=40 mm时,求出PN的长度;
(3)若PN∶PQ=1∶2,则这个矩形的长、宽各是多少?
知识点2 相似三角形的周长比和面积比
4.(2023广东茂名茂南期末)已知△ABC∽△DEF,S△ABC∶S△DEF=1∶4,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
5.(2022贵州贵阳中考)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=
∠ACD,AC∶AB=1∶2,则△ADC与△ACB的周长比是( )
A.1∶2 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
6.【新独家原创】如图,在四边形ABCD中,连接AC,AC平分∠BAD,∠ACD=∠B,若AB=9,AD=4,四边形ABCD的面积为39,则△ABC的面积为 .
7.(2021广西玉林中考)如图,在△ABC中,D在AC上,DE∥BC,DF∥AB.
(1)求证:△DFC∽△AED;
(2)若CD=13AC,求S△DFCS△AED的值.
知识点3 相似多边形的性质
8.如图,在四边形ABCD中,E,F,G分别是BA,BD,BC上的点,EF∥AD,FG∥DC,且AEBE=12,则四边形ABCD和四边形EBGF的周长之比为( )
A.4∶3 B.3∶2 C.4∶1 D.2∶1
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9.【新考法】(2023山东济南历下期中,7,★★☆)图1是装满了液体的高脚杯,用去部分液体后,放在水平的桌面上,如图2所示,此时液面距离杯口的距离h为( )

图1 图2
A.85 cm B.2 cm C.125 cm D.3 cm
10.(2023河南南阳二十一中期末,6,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,E是BC边上的点且BE∶EC=3∶1,AE、BD交于点F,设△BEF的面积为S1,平行四边形ABCD的面积为S2,则S1∶S2的值为( )
A.17 B.314 C.956 D.215
11.(2023吉林长春十一中期末,12,★★★)如图,D,E两点分别在△ABC的边AB,AC上,F点在DE上,G,H两点在BC上,且DE∥BC,FG∥AB,FH∥AC,若BG∶GH∶HC=4∶6∶5,△FGH的面积是3,则△ADE的面积是 .
12.(2022浙江杭州中考,19,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形BFED是平行四边形,DEBC=14.
(1)若AB=8,求线段AD的长;
(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.
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13.【运算能力】如图,有一边长为5 cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ=PR=5 cm,QR=8 cm,点B、C、Q、R在同一条直线上,当C、Q两点重合时,等腰三角形PQR以1 cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动,t s后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S cm2.
(1)当t=3时,求S的值;
(2)当t=5时,求S的值.
答案全解全析
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1.A ∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为34,∴△ABC与△DEF对应中线的比为34,故选A.
2.C ∵△ABC∽△A'B'C',AC∶A'C'=2∶3,BD和B'D'分别是两个三角形对应角的平分线,∴BD∶B'D'=2∶3.∵BD=4 cm,∴B'D'=6 cm.故选C.
3.解析 (1)60 mm.
详解:∵四边形PQMN为矩形,∴PQ∥MN,即PQ∥BC,
∴△APQ∽△ABC,∴PQBC=APAB.
∵点P恰好为AB的中点,∴AP=12AB,∴PQ=12BC=12×120=60(mm).
(2)如图,设AD与PQ交于点H.
∵PQ∥BC,AD⊥BC,∴PQ⊥AD,
由(1)知△APQ∽△ABC,∴AHAD=PQBC,∴AH80=40120,
∴AH=803 mm,∴PN=HD=1603 mm.
(3)设PN=x mm,∵PN∶PQ=1∶2,∴PQ=2x mm,由(2)知PQBC=AHAD,
∵PQ=2x mm,AD=80 mm,BC=120 mm,HD=PN=x mm,
∴2x120=80-x80,解得x=2407,∴2x=4807.
答:矩形的长为4807 mm,宽为2407 mm.
4.A ∵△ABC∽△DEF,S△ABC∶S△DEF=1∶4,∴△ABC与△DEF的相似比为1∶2,∴△ABC与△DEF的周长比为1∶2.故选A.
5.B ∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴C△ACDC△ABC=ACAB=12,故选B.
6.27
解析 ∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAB,
又∵∠ACD=∠B,∴△ACD∽△ABC,
∴ADAC=ACAB,即AC2=AD·AB,
∴AC=AD·AB=4×9=6,
∵△ACD∽△ABC,
∴S△ACDS△ABC=ADAC2=462=49,
∴S四边形ABCDS△ABC=S△ACD+S△ABCS△ABC=4+99=139,
∴39S△ABC=139,
∴S△ABC=27.
7.解析 (1)证明:∵DF∥AB,DE∥BC,
∴∠DFC=∠ABF,∠AED=∠ABF,∠DCF=∠ADE,
∴∠DFC=∠AED,∴△DFC∽△AED.
(2)∵CD=13AC,
∴CDDA=12.
∵△DFC∽△AED,
∴S△DFCS△AED=CDDA2=122=14.
8.B 因为AEBE=12,所以ABBE=32.
因为EF∥AD,所以BEAB=EFAD=BFBD.
因为FG∥CD,所以BFBD=FGCD=BGBC,所以BEBA=EFAD=FGCD=BGBC.
由EF∥AD,FG∥CD可知∠A=∠BEF,∠C=∠FGB,∠ADB=∠EFB,
∠BDC=∠BFG,所以∠ADC=∠EFG,又∠ABC=∠EBG,
所以四边形ABCD∽四边形EBGF,
所以四边形ABCD的周长四边形EBGF的周长=ABEB=32.
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9.A 如图,过O作ON⊥CD于N,交AB于M,
∵CD∥AB,∴OM⊥AB,∵OC=OD,∴CN=12CD=3 cm,
∴ON=OC2-CN2=52-32=4(cm),
∵CD∥AB,∴△CDO∽△ABO,∴OAOC=OMON,
∴35=OM4,∴OM=125 cm,∴h=4-125=85(cm),故选A.
10.C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD,BC∥AD,∴△BEF∽△DAF,∴BEAD=BFDF,S△BEFS△DAF=BEAD2,∵BE∶EC=3∶1,∴BE∶AD=3∶4,∴BFDF=34,S△BEFS△ADF=916,∴S△ABFS△ADF=34,设S△BEF=9x,则S△ADF=16x,∴S△ABF=12x,
∴S△ABD=S△ABF+S△ADF=12x+16x=28x,∴平行四边形ABCD的面积为56x,∴S1∶S2=956.故选C.
11.274
解析 ∵DE∥BC,FG∥AB,FH∥AC,∴∠ADE=∠B=∠FGH,∠AED=∠C=∠FHG,四边形BDFG和四边形EFHC是平行四边形,∴△ADE∽△FGH,DF=BG,EF=HC,∴S△ADES△FGH=DEGH2,∵BG∶GH∶HC=4∶6∶5,∴DEGH=32,∵△FGH的面积为3,∴S△ADE=3×322=274.故答案为274.
12.解析 (1)因为四边形BFED是平行四边形,所以DE∥BC,所以△ADE∽△ABC.所以ADAB=DEBC=14.因为AB=8,所以AD=2.
(2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2.因为DEBC=14,所以S1S=DEBC2=116.因为S1=1,所以S=16.因为DEBC=AEAC=14,所以CECA=34.因为四边形BFED是平行四边形,所以EF∥AB,所以△CEF∽
△CAB.所以S2S=342=916,所以S2=9,所以平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6.
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13.解析 (1)过P作PE⊥QR于点E,如图.
∵PQ=PR,∴QE=RE=12QR=4 cm.
在Rt△PQE中,根据勾股定理,得PE=PQ2-QE2=52-42=3 cm.
当t=3时,QC=3 cm.设PQ交CD于点G.
∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴S△QCGS△QEP=342=916.
∵S△QEP=12QE·PE=12×4×3=6(cm2),∴S△QCG=916×6=278(cm2),即S=278.
(2)当t=5时,点B与点Q重合,CR=3 cm,过P作PE⊥BC于点E,设PR与DC交于点M,如图.
∵PE∥DC,∴△RCM∽△REP.
同(1)可求出S△RCM=278 cm2,
∴S四边形PBCM=S△PQR-S△RCM=2S△QEP-S△RCM=12-278=698(cm2),即S=698.