北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件课堂检测

这是一份北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件课堂检测，共18页。试卷主要包含了如图所示的三个三角形,相似的是，下列各组图形中有可能不相似的是等内容，欢迎下载使用。
*5 相似三角形判定定理的证明
基础过关全练
知识点1 相似三角形的概念
1.已知△ABC∽△A'B'C',若AC=3,A'C'=1.8,则△A'B'C'与△ABC的相似比为( )
A.23 B.32 C.53 D.35
2.(2019甘肃兰州中考)已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则BCB'C'=( )
A.2 B.43 C.3 D.169
知识点2 相似三角形的判定定理1
3.如图所示的三个三角形,相似的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
4.(2023陕西西安交大附中月考)如图,△ABC中,CE⊥AB,垂足为点E,BD⊥AC,垂足为点D,CE与BD交于点F,则图中与△BEF不相似的三角形是( )
A.△ABD B.△CDF C.△BCD D.△ACE
5.下列各组图形中有可能不相似的是( )
A.各有一个角是50°的两个等腰三角形
B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是100°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
6.(2023陕西师大附中月考)如图,在▱ABCD中,G是AB延长线上一点,连接DG交BC于点E,则图中相似三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
7.(2022山东菏泽中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC.
8.【新独家原创】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于O.M,N分别是OD,OB的中点,过M作PE∥AB,分别交AD,BC于P,E.连接PN并延长交BC于F,若AB=12,PD=3,求EF的长.
知识点3 相似三角形的判定定理2
9.【教材变式·P92随堂练习】(2023山东济南市中期中)如图,已知△ABC,则下列4个三角形中,与△ABC相似的是( )

10.【教材变式·P93T3】如图,△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.ACCD=ABBC B.CDAD=BCAC
C.AC2=AD·AB D.CD2=AD·BD
11.【一题多变】(2023上海杨浦期中)如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,AB=4,BC=9,当BD= 时,△ABD∽△DBC.
[变式](2022甘肃酒泉金塔期末)在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=105°,
AC=4 cm,AB=6 cm,DE=3 cm,则DF= 时,△ABC与△DEF相似.
12.(2022云南广南期末)如图,在△ABC中,D、E分别是AC、BC边上的点,BC=6,AC=4,CE=2,AD=1.求证:△ABC∽△EDC.
知识点4 相似三角形的判定定理3
13.若△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是( )
A.AB=3,BC=8,AC=9,DE=163,EF=2,DF=6
B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10,DF=16
C.AB=1,BC=2,AC=2,DE=6,EF=3,DF=5
D.AB=1,BC=5,AC=3,DE=15,EF=23,DF=6
14.(2023湖南岳阳七校联考期中改编)如图,小正方形的边长为1,则下列选项中的三角形与△ABC相似的是( )

15.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且ABAE=BCED=ACAD.
(1)∠1与∠2相等吗?为什么?
(2)判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.
知识点5 黄金分割
16.【教材变式·P96例4】(2023江苏徐州期末)点B把线段AC分成两部分,如果BCAB=ABAC=k,那么k的值为( )
A.5+12 B.5-12 C.5+1 D.5-1
17.【跨学科·美术】(2022湖南衡阳中考)在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.下图是按此比例设计的一座高度为2 m的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m.参考数据:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236)( )
m m m m
能力提升全练
18.(2022山东泰安宁阳期末,10,★★☆)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形,若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是( )
A.①和②相似 B.①和③相似
C.①和④相似 D.②和④相似
19.(2022吉林长春期末,5,★★☆)如图,△ABC中,∠A=76°,AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )

A B C D
20.(2020云南昆明中考,14,★★★)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,△ABC是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形只算一个),这样的格点三角形一共有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
21.(2023山西代县期末,13,★☆☆)数学中,把5-12这个比称为黄金分割比.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例,是自然界最美的鬼斧神工.如图,P是AB的黄金分割点(AP>BP),若线段AB的长为8 cm,则BP的长为 cm.
22.【尺规作图】(2021广西贵港中考,20,★★☆)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法).如图,已知△ABC,且AB>AC.
(1)在AB边上求作点D,使DB=DC;
(2)在AC边上求作点E,使△ADE∽△ACB.
23.(2022上海中考,23,★★☆)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.
求证:(1)∠CAE=∠BAF;
(2)CF·FQ=AF·BQ.
24.【过程性学习试题】(2020江苏南京中考,26,★★★)如图,在△ABC和△A'B'C'中,D、D'分别是AB、A'B'上的点,ADAB=A'D'A'B'.
(1)当CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'时,求证:△ABC∽△A'B'C'.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格:
(2)当CDC'D'=ACA'C'=BCB'C'时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
素养探究全练
25.【推理能力】学习图形的相似后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对于两个直角三角形,满足一边、一锐角分别相等或两直角边分别相等,这两个直角三角形全等.”类似地,可以得到:“满足 或 的两个直角三角形相似.”
(2)“满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.”类似地,可以得到“满足 的两个直角三角形相似.”
请结合下列所给图形,写出已知,并完成说明过程.
已知:如图, .
试说明:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
26.【推理能力】【手拉手模型】(2023陕西师大附中月考)【问题呈现】
(1)如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD、CE.求证:BD=CE.
【类比探究】
(2)如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,连接BD、CE,则BDCE= .
【拓展提升】
(3)如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,∠DAE
=∠BAC=30°,连接BD、CE,CE交AB于点F.
①求BDCE的值;
②延长CE交BD于点G,求∠BGC.

答案全解全析
基础过关全练
1.D 由于对应边的比是相似比,且相似比有顺序性,故△A'B'C'与△ABC的相似比为A'C'AC=1.83=35.故选D.
2.B ∵△ABC∽△A'B'C',∴BCB'C'=ABA'B'=86=43.故选B.
3.A 分别求出三个三角形中第三个角的度数,①②两个三角形满足两角分别相等,故①②相似,故选A.
4.C ∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°,
∵∠FBE=∠ABD,∴△FBE∽△ABD,∵∠BFE=∠CFD,∴△BFE∽
△CFD,∵∠FCD=∠ACE,∴△CFD∽△CAE,∴△BFE∽△CAE,
综上所述,题图中与△BEF相似的三角形有△ABD、△CDF、△ACE,
题图中与△BEF不相似的三角形是△BCD.故选C.
5.A 选项A中,当一个三角形中,50°的角为顶角,底角为65°,另一个三角形中,50°的角为底角,顶角为80°时,这两个三角形不相似,故选A.
6.B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC∥AB,∴△GBE∽△GAD∽△DCE,∴相似三角形共有3对.故选B.
7.证明 ∵BE=BC,∴∠C=∠CEB,∵∠CEB=∠AED,∴∠C=∠AED,
∵AD⊥BE,∴∠D=∠ABC=90°,∴△ADE∽△ABC.
8.解析 在菱形ABCD中,BC=AB=12,AB∥CD,AD∥BC.
∵PE∥AB,∴PE∥CD,
∴四边形CDPE是平行四边形,∴CE=PD=3.
∵O是对角线的交点,∴OB=OD,
∵M,N分别是OD,OB的中点,∴DN∶NB=3∶1.
∵AD∥BC,∴∠PDN=∠FBN,∠DPN=∠BFN,
∴△PDN∽△FBN,∴PD∶BF=DN∶NB,
∴3∶BF=3∶1,∴BF=1,
∴EF=BC-CE-BF=12-3-1=8.
9.D 由题图可知AB=AC=6,∠B=75°,∴∠C=75°,∴∠A=30°,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可知D中三角形与△ABC相似.
10.C ∵在△ACD和△ABC中,∠A=∠A,
∴根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出添加的条件是ACAB=ADAC,即AC2=AD·AB.故选C.
11.6
解析 ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,当满足ABBD=BDBC时,△ABD∽△DBC,∵AB=4,BC=9,∴4BD=BD9,解得BD=6(舍负).
故答案为6.
[变式]2 cm或4.5 cm
解析 ∵∠A=∠D,AB=6 cm,AC=4 cm,DE=3 cm,
∴当△ABC∽△DEF时,ABDE=ACDF,即63=4DF,解得DF=2 cm;
当△ABC∽△DFE时,ABDF=ACDE,即6DF=43,解得DF=4.5 cm.
综上所述,当DF=2 cm或4.5 cm时,△ABC和△DEF相似.
故答案为2 cm或4.5 cm.
12.证明 ∵AC=4,AD=1,∴CD=AC-AD=4-1=3,
又∵BC=6,CE=2,∴CBCD=63=2,CACE=42=2,∴CBCD=CACE,
又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△EDC.
13.A A中,∵ABEF=32,BCDE=8163=32,ACDF=96=32,
∴ABEF=BCDE=ACDF.
∴△ABC与△DEF相似.
易知B,C,D不正确,故选A.
14.C 根据题意可得AB=2,BC=2,AC=10,
∴BC∶AB∶AC=1∶2∶5,
A.三边之比为2∶5∶3,A中的三角形与△ABC不相似.
B.三边之比为1∶5∶10,B中的三角形与△ABC不相似.
C.三边之比为2∶22∶25=1∶2∶5,C中的三角形与△ABC相似.
D.三边之比为5∶4∶29,D中的三角形与△ABC不相似.
故选C.
15.解析 (1)∠1与∠2相等.理由如下:
∵ABAE=BCED=ACAD,∴△ABC∽△AED.
∴∠BAC=∠EAD.
∴∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF,即∠1=∠2.
(2)△ABE与△ACD相似.理由如下:
∵ABAE=ACAD,∴ABAC=AEAD.
又∵∠1=∠2,∴△ABE∽△ACD.
16.B ∵点B把线段AC分成两部分,BCAB=ABAC=k,∴点B是线段AC的黄金分割点,AB>BC,∴k=5-12,故选B.
17.B 设下部的高度为x m,则上部的高度是(2-x)m,∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比,∴2-xx=x2,解得x=5-1或x=-5-1(舍去),经检验,x=5-1是原方程的解,
∴x=5-1≈1.24,故选B.
能力提升全练
18.B 在△AOB与△COD中,AOCO=BODO,∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD,∴①与③相似,故B选项正确,
又由于①与②,①与④,②与④均不满足相似的判定条件,故A,C,D选项均不正确,故选B.
19.C 选项A,阴影三角形与原三角形有两个角分别相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;选项B,阴影三角形与原三角形有两个角分别相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;选项C,两三角形有两边成比例,但其夹角不相等,故两三角形不相似,故本选项符合题意;选项D,阴影三角形中,夹∠A的两边长分别为6-2=4,8-5=3,则两三角形两边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意.故选C.
20.C 如图:
使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个.故选C.
21.(12-45)
解析 ∵点P是AB的黄金分割点(AP>BP),线段AB的长为8 cm,
∴APAB=5-12,即AP8=5-12,∴AP=5-12×8=(45-4)cm,
∴BP=AB-AP=(12-45)cm.
22.解析 (1)如图,点D即为所求.
(2)如图,点E即为所求.
23.证明 (1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵CF=BE,∴CF-EF=BE-EF,即CE=BF,
在△ACE和△ABF中,AC=AB,∠C=∠B,CE=BF,
∴△ACE≌△ABF(SAS),∴∠CAE=∠BAF.
(2)∵△ACE≌△ABF,∴AE=AF,
∵AE2=AQ·AB,AC=AB,∴AEAQ=ACAF,
又∠CAE=∠BAF,∴△ACE∽△AFQ,
∴∠AEC=∠AQF,∴∠AEF=∠BQF,
∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,∴∠BQF=∠AFE,
又∵∠B=∠C,∴△BFQ∽△CAF,
∴BQCF=FQAF,即CF·FQ=AF·BQ.
24.解析 (1)CDC'D'=ACA'C'=ADA'D';∠A=∠A'.
(2)相似.理由:如图,过点D、D'分别作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE交AC于E,D'E'交A'C'于E'.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB=DEBC=AEAC,同理,A'D'A'B'=D'E'B'C'=A'E'A'C',
∵ADAB=A'D'A'B',∴DEBC=D'E'B'C',∴DED'E'=BCB'C',同理,AEAC=A'E'A'C',∴AC-AEAC=A'C'-A'E'A'C',
即ECAC=E'C'A'C',∴ECE'C'=ACA'C',∵CDC'D'=ACA'C'=BCB'C',∴CDC'D'=DED'E'=ECE'C',∴△DCE∽△D'C'E',∴∠CED=∠C'E'D',∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°,
同理,∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°,∴∠ACB=∠A'C'B',又∵ACA'C'=CBC'B',
∴△ABC∽△A'B'C'.
素养探究全练
25.解析 (1)一个锐角相等;两直角边成比例.
(2)斜边和一条直角边成比例;
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,ABA'B'=ACA'C'.
证明:设ABA'B'=ACA'C'=k(k>0),
则AB=kA'B',AC=kA'C'.
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,BCB'C'=AB2-AC2A'B'2-A'C'2=k2A'B'2-k2A'C'2A'B'2-A'C'2=k,
∴ABA'B'=ACA'C'=BCB'C',
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
26.解析 (1)证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE.
(2)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴ADAE=ABAC=12=22,∠DAE=∠BAC=45°,
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD∽△CAE,∴BDCE=ABAC=22.故答案为22.
(3)①∵∠ABC=∠ADE=90°,∠BAC=∠DAE=30°,
∴ABAC=ADAE=32,∠BAD=∠CAE,
∴△BAD∽△CAE,∴BDCE=ADAE=32.
②由①得△CAE∽△BAD,∴∠ACE=∠ABD,
又∵∠AFC=∠BFG,∴∠BGC=∠BAC=30°.