2023-2024学年度高一秋季A版第8讲：指数函数与对数函数(讲义+课后测+答案）

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第8讲：指数函数与对数函数【重要考点目录】模块1：指对数运算模块2：指数函数与对数函数图象与性质模块3：指数函数与对数函数关系模块4：比较大小模块5：指数运算与对数运算在函数模型中的应用【重要考点讲解】模块1：对指数运算【知识精讲】1．根式的定义与性质：①定义：式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．②性质（其中，且）：（ⅰ）；（ⅱ）当为奇数时，；当为偶数时，．2．分数指数幂：①正数的正分数指数幂：；②负数的正分数指数幂：．3．对数的运算性质如果且，，，那么①；②；③．4．对数的换底公式及其推论①换底公式：设，且，，且，则．②换底公式的推论：（ⅰ）；（，且；，且）；（ⅱ）；（，且；，且；，且；）；(ⅲ)（，且；，，）．【典例精讲】题型1：指数与对数运算例题1．计算：（1）；（2）；（3）设为正实数，已知，求的值．【解答】解：（1）原式；（2）；（3），，，所以．例题2．计算：（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）原式．（2）（3）；题型2：对数换底公式例题3．（1）　　．（2）　　．【解答】解：（1）．故答案为：．（2）．例题4．（1）（2021•天津）若，则　　A． B． C．1 D．【解答】解：，，，，故选：．（2）已知实数，满足且，则　　．【解答】解：实数，满足，，，，，．故答案为：．（3）若，，，则的值为　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，，，，，，，，故选：．例题5．（1）已知，，则　　（用，表示）．【解答】解：，，，；．故答案为．（2）若，，则等于　　A． B． C． D．【解答】解：，，，故选：．题型3：对数运算综合应用例题6．（1）（2016•浙江）已知，若，，则　　，　　．【解答】解：设，由知，代入得，即，解得或（舍去），所以，即，因为，所以，则，解得，，故答案为：4；2．（2）已知，，且，则的最小值为 　　．【解答】解：因为，，所以，，因为．所以．当且仅当，即时，等号成立．故答案为：．（3）已知，，且，则的最小值为　　A． B．9 C． D．13【解答】解：，，且，即，，，，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故选：．（4）已知，则　　A．11或 B．11或 C．12或 D．10或【解答】解：由，两边取对数得，所以或，当时，，所以，当时，，所以，综上，或．故选：．（5）若，则　　A． B． C． D．【解答】解：，即，令，则在上单调递增，且，，故选：．（6）若满足，满足，则　　．【解答】解：由题意①②所以由①得：即令，代入上式得又由②式得：，易知于是即故答案为：．（7）已知实数，满足，，则　　．【解答】解：由，得，即，即，又，即，设函数，所以在上单调递增，又，即，所以，所以．故答案为：4．模块2：指数函数与对数函数图象与性质【知识精讲】1．指数函数的图象与性质：2．对于底数对指数函数图象的影响①当时，值越大，图象向上越靠近轴，递增速度越快；当时，值越小，图象向下越靠近轴，递减速度越快；②底数对函数（且）图象的影响如图．在第一象限具有“底大图高”的特征．③当，且时，函数与函数的图象关于轴对称．3．对数函数的图象与性质4．对数函数的图象与性质①设，，其中，（或，）当时“底大图低”，即若，则；当时“底大图高”，即若，则；这一性质可通过下图帮助理解，其中，，，分别是函数，，，，则必有．②在同一坐标系中，（，）的图像与（，）的图像关于轴对称．5．一些重要类型的奇偶函数：①函数为偶函数，函数为奇函数．②函数（且）为奇函数．③函数（且）为奇函数．④函数（且）为奇函数．【典例精讲】题型4：指数函数与对数函数图象与性质例题7．（1）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则　　．【解答】解：令，则函数的图象经过定点，令，则，，所以函数的图象经过定点，若函数与的图象经过同一个定点，则，所以．故答案为：3．（2）在同一平面直角坐标系中，若，则与的大致图象是　　A．B．C． D．【解答】解：因为，所以，所以指数函数是增函数，故排除、；定义域为，其图像与函数的图像关于轴对称，函数是减函数，所以是增函数，排除．故选：．（3）（2019•新课标Ⅲ）函数在，的图象大致为　　A．B．C．D．【解答】解：由在，，知，是，上的奇函数，因此排除又（4），因此排除，．故选：．（4）已知函数的图像大致为　　A．B． C． D．【解答】解：函数的定义域为，，可得为奇函数，其图像关于原点对称，可排除选项、；的零点为0，，，可排除选项．故选：．（5）在函数图象上有，，，，，（其中三点，则的面积的最大值为 　　．【解答】解：根据题意，函数图象上有，，，，，（其中三点，所以，，，即，，，的面积，即，，单调递减，时，．故答案为：．题型5：与指对数函数相关的复合函数的奇偶性例题8．（1）已知奇函数在，上的最大值为，则　　A．或3 B．或2 C．3 D．2【解答】解：由奇函数的性质可知，，，，经检验，符合题意，，当时，在，上单调递增，（1），解得或（舍去），当时，在，上单调递减，，解得或（舍去），综上所述，或．故选：．（2）已知是奇函数，则的值域为 　　．【解答】解：是奇函数，则，即有，即，解得，，则，由于，则当时，，，，则，由于为奇函数，则时，．则的值域为，，故答案为：，，．（3）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是　　A．实数 B．函数在定义域上单调递减 C．函数的值域为 D．若，则对任意实数，有（a）【解答】解：因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，错误；因为在定义域上单调递减，正确；因为，所以，所以，正确；若，则对任意实数，有（a），正确．故选：．（4）（2015•新课标Ⅰ）若函数为偶函数，则　　．【解答】解：为偶函数，，，，，，，．故答案为：1．（5）“”是“是奇函数”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，，由得，则的定义域关于原点对称，又，则是奇函数，故充分性成立；若是奇函数，则，即，所以，则，故，所以，故，不一定推得，从而必要性不成立；所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件．故选：．（6）已知函数，正实数，满足（b），则的最小值为 　　．【解答】解：由于，（b），则，即，即，令，则在上单调递增，，故，即，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故答案为：．题型6：与指对数函数相关的复合函数的单调性例题9．（1）函数的单调递减区间是　　．【解答】解：根据题意，函数分解成两部分：外层函数， 是内层函数．根据复合函数的单调性，外层函数是指数函数，其底数小于1，是减函数，则函数单调递减区间就是函数单调递增区间，即，故答案为，．（2）函数的单调减区间为　 　．【解答】解：由可得，由二次函数单调性可得在单调递减，由复合函数单调性可得的单调减区间为故答案为：（3）已知函数在，上单调递增，则的取值范围是 　　．【解答】解：函数在，上单调递增，函数在，上单调递增且大于零，且，求得，故答案为：，．（4）（2020•新课标Ⅱ）设函数，则　　A．是偶函数，且在，单调递增 B．是奇函数，且在，单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【解答】解：由，得．又，为奇函数；由，．可得内层函数的图象如图，在上单调递减，在，上单调递增，则，上单调递减．又对数式是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，在上单调递减．故选：．题型7：与指对数函数相关的复合函数的定义域和值域例题10．（1）函数的值域是 　　．【解答】解：由题意可得，即，所以，所以，故函数的值域为，．故答案为：，．（2）已知函数的定义域、值域都是，，则　 　．【解答】解：当时，易知函数为减函数，由题意有解得：，，符合题意，此时；当时，易知函数为增函数，由题意有，解得：，，符合题意，此时．综上可得：的值为或3．故答案为：或3．（3）已知．若的值域为，则实数的取值范围是 　　．【解答】解：函数．若的值域为，则只需在满足的条件下，要求其中的△即可，整理得，且，当时，真数，在的时候，真数为0，指数函数的真数要求大于0，故实数的取值范围为．故答案为：．（4）（多选）已知函数，定义域为，值域为，，则下列说法中一定正确的是　　A．， B．， C． D．【解答】解：令，则，函数的值域为，，即，，，，即，，解得，，实际上，只要，，此时，，就能满足，，，，，所以选项错误，选项，和均正确．故选：．（5）已知，求函数的最小值　 　，与最大值　 　．【解答】解：，，，的定义域为；即定义域为，，令，，，，十，，函数在，上单调递增，，函数十的最小值为6，最大值为13，故答案为：6，13（6）已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为 　　．【解答】解：因为是偶函数，则，故，所以，则，可得，令，当且仅当，即时等号成立，则，由题意可得在，上的最小值为，的对称轴为，当，即时，在，上单调递增，当时取得最小值，则，解得；若，即时，在，上单调递减，在，上单调递增，当时取得最小值，即，解得（舍，综上，．故答案为：．（7）已知函数．若存在，使的值域为，的定义域区间为，，则实数的取值范围是 　　．【解答】解：若在，上的值域为，，由（1）知当时，为减函数，则，即，又，即，为方程的大于3的两个不同的实数根，从而，得，故当时，存在满足题意条件的，．模块3：指数函数与对数函数关系【知识精讲】1．对数函数与指数函数的关系：一般地，指数函数（且）与对数函数（且）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．2．互为反函数的性质：函数的定义域与值域分别是它的反函数的值域与定义域；互为反函数的的两个函数的图象关于直线对称．【典例精讲】题型8：指数函数与对数函数关系例题11．（1）若的反函数为，且（a）（b），则的最小值是　　A．2 B． C． D．【解答】解：，，又（a）（b），，得，．当且仅当，即时取等号．故选：．（2）若函数是函数且的反函数，则函数的图象一定经过定点 　　．【解答】解：因为（2），即函数的图象过定点，故函数的图象过定点，而函数的图象可在函数的图象上先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，故函数的图象过定点．故答案为：．（3）（多选）已知，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，，故、分别是、与交点的横坐标．而与与互为反函数，它们的图象关于直线对称，图中红色曲线为的图象，图中蓝色曲线为的图象．可得点，、点关于直线对称，于是，，，，．故有，故正确．由于，，故正确．由于，故错误．由于，故正确．故选：．模块4：比较大小【知识精讲】方法和策略：①化同：（ⅰ）将指数式或对数式化为底数相同的形式，利用指数函数、对数函数的单调性进行比较；　　　　　（ⅱ）将指数式或对数式化为指数或真数相同的形式，利用底数对指数、对数函数的影响来比较大小， 　　　　　　　　也可以借助幂函数的单调性进行比较；②中间值法：当指数式或对数式底数和指数、真数各不相同时，需要借助中间值“0”和“1”作比较；③比较法：（ⅰ）作差比较法应用范围：当欲证的不等式两端是多项式，分式或对数式式，常用此法．方法：；；．步骤：作差变形（通分、因式分解、配方等）判断（各因式的符号）结论．（ⅱ）作商比较法应用范围：当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时，常用此法．方法：；，．步骤：作商变形判断结论．④复杂指数式和对数数比较方法：分类讨论，基本不等式，换底公式，糖水原理等综合运用．【典例精讲】题型9：比较大小的常用方法例题12．（1）已知，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：因为，，又函数在单调递增，又，所以，故，故选：．（2）设，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，．故选：．（3）（2019•新课标Ⅲ）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则　　A． B． C． D．【解答】解：是定义域为的偶函数，，，，在上单调递减，，故选：．（4）（多选）已知，则下列说法正确的是　　A． B． C． D．若，则【解答】解：由，得，所以，所以，错误；由，可得，故，正确；，所以正确；时，，所以，故正确．故选：．（5）（2018•新课标Ⅲ）设，，则　　A． B． C． D．【解答】解：法一、，且，，，可得，结合，可得．故选：．法二、，，，，，，．故选：．（6）（2020•新课标Ⅱ）若，则　　A． B． C． D．【解答】解：方法一：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故．方法二：取，，满足，此时，，可排除．故选：．题型10：比较大小方法拓展例题13．（1）（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：，，．故选：．（2）（2020•新课标Ⅲ）设，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，，．故选：．（3）（2020•新课标Ⅲ）已知，．设，，，则　　A． B． C． D．【解答】解法一：由，，而，即；，，，；，，，，综上，．解法二：，，，，，，，，，，，．故选：．（4）（2017•新课标Ⅰ）设、、为正数，且，则　　A． B． C． D．【解答】解法一：、、为正数，令．．则，，．，，．，．．．解法二：、、为正数，令．．则，，．，可得，．可得．综上可得：．解法三：令，则，，，令，则，在上单调递减，（3）（4）（5），，，，．故选：．（5）已知，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，，，，，，．故选：．（6）已知，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：由，，，可设，由，可得，因为，可得，即有，即在递减，由，可得，即，故选：．模块5：指数运算与对数运算在函数模型中的应用【典例精讲】题型10：指数运算与对数运算在函数模型中的应用例题14．（1）（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为　　A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【解答】解：在中，，所以，即，解得，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：．（2）（2020•山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为　　A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天【解答】解：把，代入，可得，，当时，，则，两边取对数得，解得．故选：．（3）（2020•新课标Ⅲ）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　A．60 B．63 C．66 D．69【解答】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：．（4）（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　A． B．10.1 C． D．【解答】解：设太阳的星等是，天狼星的星等是，由题意可得：，，则．故选：．（5）（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：．设．由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为　　A． B． C． D．【解答】解：．，满足方程：．，把代入，得：，，，．故选：．（6）一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意得，解得，，令，即，，即，解得．故选：．第8讲：指数函数与对数函数课后巩固1．计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）；；（2）．2．已知，则　　．【解答】解：由题意可知，所以，所以，故答案为2．3．若，，则　　A． B． C． D．【解答】解：．故选：．4．已知，，当变化时，最小值为4，则　　．【解答】解：由题意得，，，当且仅当即时取等号，，，，，此时，适合题意．故答案为：2．5．如图，点，在函数的图象上，点在函数的图象上，若为等边三角形，且直线轴，设点的坐标为，则　　．【解答】解：根据题意，设，，，线段轴，是等边三角形，，，①，，②，，③由①②③可得：，．故答案为：．6．（多选）给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是　　A．若函数的定义域为，，则函数的定义域是， B．函数（其中，且的图象过定点 C．当时，幂函数的图象是一条直线 D．若，则的取值范围是【解答】解：对选项，令，，，，，中，，即的定义域为，，选项正确；对选项，将点代入的解析式中验证，满足解析式，选项正确；对选项，当时，幂函数，，其图象为2条射线，选项错误；对选项，若，则或或，故，选项正确．故选：．7．函数的图象大致为　　A．B． C． D．【解答】解：根据题意，设，其定义域为，，为奇函数，当时，，有，必有恒成立，故选：．8．已知，则等于 　　．【解答】解：因为， 则．又，故，故答案为：2．9．激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为．给出以下结论：①函数是增函数；②函数是奇函数；③函数的值域为；④对于任意实数，函数至少有一个零点．其中所有正确结论的序号是 　　．【解答】解：的定义域为，，故②正确，又在上单调递减，所以在上单调递增．故①正确，当时，，所以恒成立，且，所以函数在上单调递减，在单调递增，且，所以，所以③正确，故当时，，此时函数无零点，故④错误，故答案为：①②③．10．（多选）关于函数，下列结论中正确的是　　A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，是奇函数 D．若的定义域为，则【解答】解：函数，当时，为上的增函数，且当时，，当时，，即，，故正确，错误；当时，，即是奇函数，故正确；若的定义域为，则恒成立，①，或恒成立，②解①得：恒成立，，当且仅当，即时取等号，；解②得：恒成立，由于当时，，故不存在；综上所述，若的定义域为，则，故正确；故选：．11．已知函数，且，则实数的取值范围是　　A． B．，， C．，， D．【解答】解：由题意得，函数，设，则，由，得，又因为，所以是上的奇函数，即，又有，因为是上的增函数，是上的增函数，所以是上的增函数；则，即，整理得：，解得：或，所以实数的取值范围为，，，故选：．12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　．【解答】解：根据题意，函数，必有且，当时，在区间，上为增函数，设，，则，两者单调性相同，则有，解可得，①当时，，在区间上为增函数，则有，②而函数在上单调递增，还需要满足，即，解可得，③联立①②③可得：，即的取值范围为，故答案为：．13．若函数在区间，上是增函数，则的取值范围是　 　．【解答】解：有题意可得：，在定义域上是单调增函数，且函数在区间，上是增函数，在，上是增函数，，，当时，函数的定义域为，，，当时，定义域为，，故答案为：14．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是　　A．若函数的定定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数的取值范围是 C．若函数在区间，上为增函数，则实数的取值范围是， D．若，则不等式的解集为【解答】解：对于：因为的定义域为，所以恒成立，当时，显然不恒成立，故，所以，解得，即实数的取值范围是，故正确；对于：因为的值域为，所以函数的值域有子集，当时，此时的定义域为，值域为，符合题意；当时，解得，综上可得实数的取值范围是，故错误；对于，因为函数在区间，上为增函数，当时，，函数在定义域上单调递增，符合题意；当时，，解得；综上可得，故正确；对于，当时，，由，即，可得，解得，即不等式的解集为，故错误．故选：．15．（多选）已知函数，若（其中，则的可能取值有　　A． B． C．2 D．4【解答】解：，因为，故，故，而，故即，而，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故的可能取值为（均验证．故选：．16．已知是方程的一个根，是的一个根，则　　．【解答】解：将已知得方程变形得，，令，，，画出它们的图像，如图所示：设与的交点为，，与的交点为，，根据函数的性质可知，两点关于对称，则，，将点坐标代入直线方程得，．故答案为：6．17．已知，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，因为，所以．故选：．18．已知，，，，则，，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，，，，的大小关系为．故选：．19．已知，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，所以，，故．故选：．20．（多选）已知，，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为，所以，又因为，所以，即，，则且，所以，故正确，，，故错误，正确，因为，所以，故正确，故选：．21．（多选）已知正数，，满足，则下列说法中正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：设，则，，，：因为，故正确，：因为，，所以，即，故错误，，故错误，，即，故正确，故选：．22．（多选）已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：由，即，，当时，则有，即，此时，，，，则，，，，当时，则有，即．此时，，，则，，，．故选：．23．已知，，均为不等于1的正实数，且，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，同号，，同号，所以两种可能：①，，；②，，；①，，时，，单增，，，即；同理，所以，正确；②，，时，，单减，，，即；同理，所以，正确；故选：．24．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为？（结果保留整数，参考数据：　　A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：由题意可知，故选：．25．我国的通信技术领先世界，技术的数学原理之一是著名的香农公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式”，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦，是信道内部的高斯噪声功率（瓦，其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了，则的值大约为　　（参考数据：A．1559 B．1579 C．3160 D．2512【解答】解：由题意可知，信噪比从99提升至，使得大约增加了，所以，则，由换底公式可得，即，所以，所以的值大约为1579．故选：．26．已知函数．（1）证明：；（2）比较，，的大小，并说明理由．【解答】解：（1）证明：由已知得，，，成立，当且仅当时取等号，；（2）由（1）知，不妨令，，且，则，，当时，，，且，由基本不等式得，即，两边平方得，由换底公式得，．27．设定义域为的奇函数，为实数）．（1）求的值；（2）判断的单调性，并用单调性的定义给予证明；（3）是否存在实数和，，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为是上的奇函数，所以，即，从而，此时，经检验，为奇函数，所以满足题意；（2）由（1）知，且是上的奇函数，所以在上单调递减．证明如下：设，则，，从而，，，即，故在上单调递减；（3）假设存在实数，满足题设．则因为为奇函数，所以由得，又由（2）知为上的减函数，得即，令，，，则依题意只需，易得的对称轴是，①当即时，在，上单减，（3）即，，②当即时，由，解之得：或，．③当即时，在，上单增，即，，综上知：存在实数，满足题设．28．设函数是定义上的奇函数．（1）求的值；（2）若不等式有解，求实数的取值范围；（3）设，求在，上的最小值，并指出取得最小值时的的值．【解答】解：（1）因为是定义域为上的奇函数，所以，所以，解得，，当时，，所以为奇函数，故；（2）有解，所以有解，所以，因为，时，等号成立），所以；（3），即，可令，可得函数在，递增，即，，可得函数，，由的对称轴为，可得时，取得最小值，此时，解得，则在，上的最小值为，此时．29．已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围；（3）若函数，，，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数是偶函数，，即恒成立．，．（2）若函数的图象与直线没有交点，则方程即方程无解．令，则函数的图象与直线无交点．在上是单调减函数．，．．（3）由题意函数，，，令，，则，，，函数的图象开口向上，对称轴为直线，故当，即时，当时，函数取最小值，解得：，当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），综上所述，存在满足条件．30．若是奇函数．（1）求，的值；（2）已知，，，使在区间，上的值域为，，求实数的取值范围．【解答】（1）为奇函数，，定义域关于原点对称，且，，，，解得，又由得，经检验，符合题意，，．（2），且在上单调递减，所以，在，上的值域为，，，即，整理得：，即在内有两不等实根，，令，当时，则关于的在内有两个不等实根，整理得：，即与有两个不同的交点，又，当且仅当时等号成立，作出的图象：则在上递减，在上递增，且其值域为．，即．31．已知幂函数在上单调递增，函数．（1）当，时，记，的值域分别为集合，，设，，若是成立的必要条件，求实数的取值范围；（2）设，且在，上单调递增，求实数的取值范围．【解答】解：（1）因是幂函数，又函数在上单调递增，则有，解得，有，当，时，，，即，，函数是上的增函数，当，时，，，即，，因，，是成立的必要条件，则，显然，则，解得，所以实数的取值范围是，；（2）由（1）知，，二次函数的图象开口向上，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，因在，上单调递增，则有或，解得：或，所以实数的取值范围是，，．图像性质定义域值域过定点单调性在上是减函数在上是增函数图像性质定义域值域过定点单调性在上是减函数在上是增函数