广东省深圳市宝安区陶园中英文学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳市宝安区陶园中英文学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解方程x2﹣8x+4＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝4B．（x﹣4）2＝12C．（x﹣4）2＝16D．（x﹣8）2＝60
3．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB'＝1：2，则四边形ABCD与A'B'C'D'的周长比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：D．1：3
4．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cmB．4cmC．2.5cmD．2cm
5．下列命题正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直
B．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么
C．两个等腰三角形一定相似
D．两个相似三角形面积比等于它们对应高的比的平方
6．如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为96平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96
B．18x+2×11x﹣2x2＝96
C．18×11﹣18x﹣11x+2x2＝96
D．（18﹣x）（11﹣2x）＝96
7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是（ ）
A．100mB．100mC．150mD．50m
8．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（ ）
A．1B．C．2D．3
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将△MDC沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若，则＝ ．
12．在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n＝ ．
13．已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（﹣2，0）和，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（5分）计算：|2﹣|+2sin60°+（）﹣1﹣（﹣1）0．
17．（8分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）（x﹣2）（3x﹣5）＝1．
18．（7分）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
19．（8分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
20．（8分）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
21．（9分）（1）问题背景：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，若∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB；
（2）尝试应用：如图2，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB上一点，点E为CD上一点，且＝，∠ACD＝∠ABE，求BD的长；
（3）拓展创新：如图3，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，且＝，EF∥AC，连接DE，DF，若∠EDF＝∠BAC，DF＝5，直接写出AB的长．
22．（10分）如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE；
【初步探究】
（1）则AP与CE的数量关系是 ，AP与CE的夹角度数为 ；
【探索发现】
（2）点P在线段AC及其延长线上运动时，如图1，图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）点P在对角线AC的延长线上时，如图3，连接AE，若AB＝，AE＝，求四边形DCPE的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：俯视图如选项C所示，
故选：C．
2．用配方法解方程x2﹣8x+4＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝4B．（x﹣4）2＝12C．（x﹣4）2＝16D．（x﹣8）2＝60
【解答】解：移项，得x2﹣8x＝﹣4，
配方，x2﹣8x+16＝12，
则（x﹣4）2＝12．
故选：B．
3．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB'＝1：2，则四边形ABCD与A'B'C'D'的周长比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：D．1：3
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OB：OB'＝1：2，
∴四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为1：2，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为1：2．
故选：A．
4．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cmB．4cmC．2.5cmD．2cm
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB＝24÷4＝6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝×6＝3cm．
故选：A．
5．下列命题正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直
B．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么
C．两个等腰三角形一定相似
D．两个相似三角形面积比等于它们对应高的比的平方
【解答】解：A、矩形的对角线相等，选项错误；
B、如果C点是线段AB的黄金分割点，那么或；选项错误；
C、两个等腰三角形不一定相似，选项错误；
D、两个相似三角形面积比等于它们对应高的比的平方，选项正确；
故选：D．
6．如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为96平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96
B．18x+2×11x﹣2x2＝96
C．18×11﹣18x﹣11x+2x2＝96
D．（18﹣x）（11﹣2x）＝96
【解答】解：∵小道的宽为x米，
∴种植菜园的部分可合成长为（18﹣2x）米，宽为（11﹣x）米的长方形．
依题意得：（18﹣2x）（11﹣x）＝96．
故选：A．
7．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是（ ）
A．100mB．100mC．150mD．50m
【解答】解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，
∴＝，
∵BC＝50m，
∴AC＝50m，
∴AB＝＝100m，
故选：A．
8．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：＝．
故选：A．
9．如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（ ）
A．1B．C．2D．3
【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD＝DE＝EB，
∴AB＝3BE，AE＝2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BE：AB，
∵AC＝12，AB＝3BE，
∴EF：12＝BE：3BE，
∴EF＝4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF＝AD：AE，
∵EF＝4，AE＝2AD，
∴DH：4＝AD：2AD，
∴DH＝2．
故选：C．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将△MDC沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由翻折变换可知，AM＝MD＝AD＝，AB＝GE＝1，CD＝CE＝1，
在Rt△PGC中，
设PG＝x，则BP＝x，PC＝2﹣x，由勾股定理得，
PG2+CG2＝PC2，
即x2+22＝（2﹣x）2，
解得x＝，
即PG＝，
又∵∠G＝∠FEC＝90°，∠PCG＝∠FCE，
∴△PGC∽△FEC，
∴＝＝，
∴EF＝PG＝，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．若，则＝ ．
【解答】解：∵＝，
∴a＝，
∴＝．
故答案为：．
12．在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n＝ 5 ．
【解答】解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n，
∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，
∴＝，
解得，n＝5．
故答案为5．
13．已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ﹣4 ．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1×m＝﹣4，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（﹣2，0）和，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为 ﹣ ．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，则CE＝DO，CD＝EO，
∵A（﹣2，0），B（0，），
∴AO＝2，OB＝，
∴AB＝＝5，
连接OC交AB于点Q，根据翻折性质可知：OC⊥AB．OQ＝QC，
∵S△AOB＝×OA×OB＝×AB×OQ，
∴OQ＝＝＝2．
∴OC＝2OQ＝4．
在△AOB和△OEC中，∠CEO＝∠BOA＝90°，∠COE＝∠BAO＝90°﹣∠OBA，
∴△AOB∽△OEC，
∴＝＝，即：＝＝，
∴CE＝，OE＝．
∵点C在第二象限，
∴C（﹣，），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝﹣×＝﹣，
故答案为：﹣．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为 2 ．
【解答】解：取BC中点H，连接AH，过点D作DG⊥BC于点G，DM⊥BE于点M．
设EF＝a，AD＝CD＝DE＝x，则DF＝x﹣a．
∵AB＝AC，
∴AB＝2x，∠ABC＝∠ACB，BH＝HC＝5．
又由折叠得∠ACB＝∠BED，BE＝BC＝10，
∴∠ABC＝∠BED，
∴cs∠ABC＝cs∠BED，即 ＝，
∴＝，
解得：a＝，
∴DF＝x﹣a＝x﹣，
∵D 是AC中点，DG⊥BC，
∴DG是△AHC的中位线，
∴CG＝CH＝，
∴BG＝，
由折叠知∠DEM＝∠DCG，ED＝CD，
在△EMD和△CGD中，
，
∴△EMD≌△CGD（AAS），
∴DG＝MD．
∵DE⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠DEB+∠EBF＝90°．
又∵∠CAH+∠ACB＝90°，且∠ACB＝∠DEB，
∴∠EBF＝∠CAH，
∴∠EBF+∠ABC＝90°，
∴∠DMB＝∠MBG＝∠BGD＝90°
∴四边形 MBGD是正方形，
∴DG＝BG＝，
∴AH＝2DG＝15．
在 Rt△AHC中，AH2+HC2＝AC2，
∴152+52＝（2x）2，
解得：x＝，
∴a＝，x﹣a＝，即AD＝，DF＝，
在 Rt△AFD中，AF＝＝2．
三．解答题（共55分）
16．计算：|2﹣|+2sin60°+（）﹣1﹣（﹣1）0．
【解答】解：原式＝2﹣++2﹣1＝3．
17．解方程：
（1）x2﹣6x﹣27＝0；
（2）（x﹣2）（3x﹣5）＝1．
【解答】解：（1）（x+3）（x﹣9）＝0，
x+3＝0或x﹣9＝0，
x1＝﹣3，x2＝9；
（2）整理得，3x2﹣11x+9＝0，
a＝3，b＝﹣11，c＝9，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 200 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
∴C的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
故答案为：200，
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为＝．
19．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【解答】解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120×＝120（m），
答：无人机的高度AC是120米；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝120，AB＝CF，
在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，
∴EF＝＝≈276.8（m），
∵CE＝8×（15+50）＝520（m），
∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8≈243（米），
答：隧道AB的长度约为243米．
20．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【解答】解：（1）设小红跑步速度是x m/min，则小明跑步速度是1.2x m/min，
根据题意得：﹣＝5，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×400＝480．
答：小明跑步速度是480m/min，小红跑步速度是400m/min；
（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意得：10×30+（10+y﹣30）（y﹣30）＝2300，
整理得：y2﹣50y﹣1400＝0，
解得：y1＝﹣20（不符合题意，舍去），y2＝70．
答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟．
21．（1）问题背景：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，若∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB；
（2）尝试应用：如图2，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB上一点，点E为CD上一点，且＝，∠ACD＝∠ABE，求BD的长；
（3）拓展创新：如图3，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，且＝，EF∥AC，连接DE，DF，若∠EDF＝∠BAC，DF＝5，直接写出AB的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD•AB；
（2）过点C作CF∥BE，交AB的延长线于点F，
∵BE∥CF，
∴∠ABE＝∠AFC，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠AFC＝∠ACD，
在△AFC和△ACD中，
，
∴△AFC∽△ACD，
∴，
∴AC2＝AD•AF，
∵AB＝9，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣BD，
∵BE∥FC，
∴，
∵，
∴，
∴BF＝2BD，
∴AF＝AB+BF＝9+2BD，
∵AC＝6，
∴AC2＝AD•AF，即62＝（9﹣BD）（9+2BD），
解得：BD＝或BD＝﹣3（不合题意，舍去），
∴BD＝；
（3）如图，延长EF，交DC的延长线于点G，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵EF∥AC，
∴四边形AEGC是平行四边形，
∴∠BAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴ED2＝EF•EG，
∵＝，EF∥AC，∴，
∵AB∥DC，∴，∴FG＝EF，
∴EG＝EF+FG＝EF，
∴，∴ED＝EF，
∵，∴GD＝DF＝＝15，即GD＝AB+CG，
∵AB∥CD，∴，
∴CG＝BE，∵，∴BE＝2AE，
∴AB＝3AE，
∴CG＝AE＝AB，
∴CG＝AB+AB＝15，
∴AB＝．
22．如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE；
【初步探究】
（1）则AP与CE的数量关系是 AP＝CE ，AP与CE的夹角度数为 90° ；
【探索发现】
（2）点P在线段AC及其延长线上运动时，如图1，图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）点P在对角线AC的延长线上时，如图3，连接AE，若AB＝，AE＝，求四边形DCPE的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ACD＝∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，
∵四边形DPFE是正方形，
∴DP＝DE，∠PDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAC＝∠DCE＝45°，
∴∠ACE＝90°，
故答案为：AP＝CE，90°；
（2）如图1，PC+CE＝CD，理由如下：
由（1）可得AP＝CE，
∴PC+CE＝PC+AP＝AC＝CD，
∴PC+CE＝CD，
如图2，CE﹣CP＝CD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ACD＝∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，AC＝CD，
∵四边形DPFE是正方形，
∴DP＝DE，∠PDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中，，
∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAC＝∠DCE＝45°，
∴CE﹣CP＝CD；
（3）连接CE，
∵△ADP≌△CDE，
∴∠DCE＝∠DAP＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°，
∵AB＝2，
∴CD＝AB＝2，AC＝2＝4，
∴CE＝＝＝6，
∵AP＝CE＝6，
∴PC＝6﹣4＝2，
∴PE＝＝2，
∴DE＝＝2，
∴＝10，2×2＝2，
∴S四边形DCPE＝S△PDE+S△PDC＝12．