上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
一、填空题：
1、双曲线焦点坐标为 .
2、已知双曲线过点，它的一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为 .
3、椭圆的长轴长为 .
4、与椭圆有相同焦点，且以为渐近线的双曲线方程 .
5、双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ .
6、已知为双曲线的焦点,过作垂直于轴的直线交双曲线于点,且,则双曲线的渐近线方程是 .
7、已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .
8、已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是 .
9、设联结双曲线与的4个顶点的四边形面积为联结其4个焦点的四边形面积为,则的最大值为 .
10、已知实数满足，，，则的最大值是 .
11、点到点的距离之差为,到轴、轴距离之比为,则的取值范围是 .
12、已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）
二、选择题：
13、“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
14、公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知是平面内两个定点， 且，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ）
A．到两点距离相等的点的轨迹是直线
B．到两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆
C．到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆
D．到两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线
15、若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
16、从双曲线的左焦点引圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若为线段的中点,为坐标原点,则与的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.不确定
三、解答题：
17、（1）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程及两条渐近线的夹角；
（2）若双曲线中心在原点，一条渐近线方程为，实轴长为8，求双曲线方程。
18、试讨论方程所表示的曲线.
19、已知双曲线，四点中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
20、已知圆的圆心为,圆的圆心为,一动圆与这两圆都外切。
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)若过点的直线与(1)中所求轨迹有两个交点,求的取值范围。
21、双曲线上一点到左,右两焦点距离的差为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线的左右焦点,是双曲线上的点,若,求的面积;
(3)过作直线交双曲线于两点,若,是否存在这样的直线,使为矩形?若存在,求出的方程,若不存在,说明理由.
上师大附中2023学年第一学期高二年级数学期中
2023.11
一、填空题：
1、双曲线焦点坐标为 .
【答案】
2、已知双曲线过点，它的一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为 .
【答案】
3、椭圆的长轴长为 .
【答案】
4、与椭圆有相同焦点，且以为渐近线的双曲线方程 .
【答案】
5、双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝. .
【答案】
6、已知为双曲线的焦点,过作垂直于轴的直线交双曲线于点,且,则双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
7、已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .
【答案】
8、已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是 .
【答案】
9、设联结双曲线与的4个顶点的四边形面积为联结其4个焦点的四边形面积为,则的最大值为 .
【答案】
10、已知实数满足，，，则的最大值是 .
【答案】12
11、点到点的距离之差为,到轴、轴距离之比为,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设点，由题意，即三点不共线，，
，所以点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上，
，，，
12、已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）
【答案】②④.
【详解】设点P的坐标为：P（x，y），依题意有：，整理得：，
对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，
椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，
椭圆方程为：，则，解得：，符合；
对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，不可能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
二、选择题：
13、“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
14、公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知是平面内两个定点， 且 ，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ）
A．到两点距离相等的点的轨迹是直线
B．到两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆
C．到两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆
D．到两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线
【答案】D
15、若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
16、从双曲线的左焦点引圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若为线段的中点,为坐标原点,则与的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.不确定
【答案】B
三、解答题：
17、（1）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程及两条渐近线的夹角；
（2）若双曲线中心在原点，一条渐近线方程为，实轴长为8，求双曲线方程。
【答案】（1）顶点，焦点，渐近线：，
夹角（或）
（2）当时，，，即双曲线方程：
当时，，，即双曲线方程：
18、试讨论方程所表示的曲线.
【答案】（1），方程所表示的曲线是椭圆；
（2），方程所表示的曲线是圆；
（3），方程所表示的曲线是双曲线；
（4）或，方程所表示的是两条平行直线；
（5），不表示任何曲线.
19、已知双曲线，四点
中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
20、已知圆的圆心为,圆的圆心为,一动圆与这两圆都外切。
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)若过点的直线与(1)中所求轨迹有两个交点,求的取值范围。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设动圆的半径为,则
相减得,由双曲线定义知,点的轨迹是以为焦点,焦距为4,实轴
长为2的双曲线右支其双曲线方程为:
(2)当时,设直线的斜率为
由设,
则
当时,.
综合得
21、双曲线上一点到左,右两焦点距离的差为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线的左右焦点,是双曲线上的点,若,求的面积;
(3)过作直线交双曲线于两点,若,是否存在这样的直线,使为矩形?若存在,求出的方程,若不存在,说明理由.
【答案】(1) (2) (3)不存在
【解析】(1)
(2)妨设在第一象限,则
(3)若直线斜率存在,设为,代入
得
若平行四边形为矩形,则无解
若直线垂直轴,则不满足.故不存在直线,使为矩形.