黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题，共21页。
1、本试题满分150分，答题时间120分钟.
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.已知全集，集合，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
2.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知，，则（ ）
A.B.C.D.
4.如图，，都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则（ ）
A.1B.2C.3D.4
5.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
6.设，，，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知某抽奖活动的中奖率为，每次抽奖互不影响.构造数列，使得，记，则的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A.16B.24C.25D.36
9.已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.的图象关于点对称
B.的图象向右平移个单位后得到的图象
C.在区间的最小值为
D.为偶函数
10.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
11.已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A.若，，，则B.若，，则
C.若，，则D.若两两相交，则交线互相平行
12.如图所示，已知几何体是棱长为2的正方体，则（ ）
A.平面
B.平面
C.异面直线与所成的角为
D.平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数在点处的切线方程是______________.
14.已知等差数列的前项和为，且，，则______________.
15.已知等差数列前项和为，，，则______________.
16.下面四个命题：
①已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则；
②存在负数，使得恰有3个零点；
③已知多项式，则；
④设一组样本数据的方差为0.01，则数据的方差为0.1其中真命题的序号为______________.
四、解答题（本大题共6题，17题10分，其余各题均12分，共70分）
17.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且.
（I）求的值；
（II）若，求的面积.
18.已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间
（2）在中，若，，求的取值范围.
19.如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，G为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求，，求直线与面所成角的正弦值.
20.近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）
（1）根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
（2）用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
附：，.
21.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，直线与圆相切.
（1）求直线和椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，，为椭圆上的两点，若四边形的对角线，求四边形的面积的最大值.
22.已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若有且仅有两个零点，求的取值范围.
首选志愿为师范专业
首选志愿为非师范专业
女性
25
35
男性
5
25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
数学参考答案
1.A
【分析】根据集合补集以及交集的概念，结合Venn图，即可求得答案.
【详解】集合，故，
由Venn图可知影部分表示的集合为.
故选：A
2.C
【分析】根据指数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，求得集合M，N，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由，可得，解得，所以，
又由，可得，解得，所以，
所以.
故选：C.
3.A
【解析】由已知可求得，进而，再根据余弦的二倍角公式进行计算即可得解.
【详解】，，
，则，
，可得，
.
故选：A.
【点睛】易错点睛：本题容易忽略的取值范围，进而忽略的范围，将结果求错.
4.C
【分析】由图可知，，利用向量数量积定义即可求得结果.
【详解】根据题意可知，在中计算得，，
由数量积定义可得；
故选：C
5.D
【分析】根据二倍角公式化简，即可由平移得的表达式，即可根据余弦函数的对称性求解.
【详解】，
则，
因为满足，所以函数的图象关于直线对称，
所以，，所以，，因为，所以的最小值为.
故选：D
6.D
【分析】构造函数，根据三角函数的性质、利用导数判断单调性，作商比较大小即可得解.
【详解】解：由题意，
，，
，即有.
又因为，设，，
则，
当且仅当时等号成立；
函数在上单调递增，
当时，，即有，当且仅当时等号成立；
，即有.
又因为，设，，
则，当且仅当时等号成立；
函数在上单调递减，
当时，，即有，当且仅当时等号成立；.
，即有.
综上知，.
故选：D.
7.A
【分析】根据可得，从而抽奖5次，出现3次中奖2次未中奖或2次中奖3次未中奖，利用组合数求得满足条件的次数即可求解.
【详解】由，可得，
抽奖5次，出现3次中奖2次未中奖或2次中奖3次未中奖，
故的概率为.
故选：A.
8.A
【分析】由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边长度的最小值.
【详解】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4.
设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
因为，所以，所以.
因为，所以.
设内切圆与边切于点，
由，可求得，则.
又因为，所以.
所以.
又因为，所以，即，
整理得.因为，所以，当且仅当时，取得最小值.
故选：A.
9.D
【分析】先由图象求出的解析式，再结合三角函数的性质与图像变换逐一判断.
【详解】由图可知，，又，所以，
再由图象知，且，
故，解得，即，
对于A，由，所以A错误；
对于B，的图象向右平移个单位后得到的函数为，故B错误；
对于C，由，得，当，即时，
在区间的最小值为，故C错误；
对于D，是偶函数，故D正确.
故选：D.
10.C
【分析】利用面面平行的证明办法确定点的位置，进而可确定长度范围.
【详解】
如图所示，分别取，的中点M，N，连接，
因为M，N，E，F为所在棱的中点，所以，，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面；
又因为，且平面，平面，
所以平面平面，
因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
当在中点时，时，最短，
在M，N时，最长，
，，
所以线段长度的取值范围是
故选：C.
11.BCD
【分析】根据线线，线面，面面位置关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若，，，则，故A正确；
对B：若，，则，或与相交，故B错误；
对C：若，，则，或，故C错误；
对D：若两两相交，则交线可以平行，也可以不平行，故D错误.
故选：BCD.
12.BCD
【分析】根据异面直线与所处的角为，可判定A错误；根据，利用线面平行的判定定理，可判定B正确；把直线与所成的角为，可判定C正确；根据球的截面圆的性质，求得截面圆的半径，结合圆的面积公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，连接，在正方体中，可得，
再连接，可得为等边三角形，可得，
即异面直线与所处的角为，所以与平面不垂直，所以A错误；
对于B中，在正方体中，可得，
因为平面，平面，所以平面，所以B正确；
对于C中，在正方体中，可得，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，
在等边中，可得，即异面直线与所成的角为，所以C正确；
对于D中，连接，在正方体中，可得，
又由平面，平面，可得，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，同理可证：，
因为，且平面，所以平面，
设的中点为，即正方体的内切球的球心，与平面交于点，
则为等边的中心，其中等边的边长为，
根据三角形重心的性质，可得，
在直角中，可得，
因为正方体的棱长为2，可得正方体的内切球的半径为，
设平面截正方体的内切球所得截面圆的半径为，
可得，
所以截面圆的面积为，所以D正确.
故选：BCD.
13.
【详解】分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.
详解：的导数为，
在点处的切线斜率为，
即有在点处的切线方程为.
故答案为.
点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.
14.
【分析】根据题意列出方程组，求得的值，求得数列的通项公式，得到，进而求得的值.
【详解】由题意，等差数列的前项和为，且，，
所以，解得，，
可得，所以，
所以，则，
所以.
故答案为：.
15.20
【分析】根据等差数列的性质，推得，，，也成等差数列，再结合已知数据，即可求解.
【详解】等差数列前项和为，则，，，也成等差数列，
则，由，，有，解得.
又，即，解得.
故答案为：20
16.①③
【分析】对于①利用函数奇偶性性质求解即可；对于②数形结合判断即可；对于③利用二项式定理求解即可；对于④利用平均数和方差公式求解即可.
【详解】对于①：因为为偶函数，即，
令，所以，又因为为奇函数，所以，
令，所以，所以，故①正确；
对于②：存在负数，使得恰有3个零点等价于和，有三个不同交点，且恒过点，画出图像如下所示：根据图像判断至多有两个交点，故②不正确；
对于③：，
，
所以的系数为：5，故③正确；
对于④：设的平均数为，
则其方差为：，
则的平均数为，
则其方差为：，故④不正确.
故答案为：①③.
17.（I）；
（II）.
【分析】（I）根据，可得
所以，由余弦定理推论可知，根据同角基本关系可知，所以代入数据即可求出结果.（II）由（I）可得，在中，由正弦定理即可求出进而求出面积.
【详解】（I），可得，
所以，所以，
所以，
所以，
（II）由（1）可得，
在中，由正弦定理，
，，
.
18.（1）最小正周期为，，
（2）
【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式将函数进行化简，利用三角函数的性质求解即可；
（2）先求出，结合，将表示成关于的函数后进行求解.
【详解】（1），
故的最小正周期为，
令，，
解得，，即为的单调递减区间.
（2）因为，所以，
因为，，所以，可得，
所以，
因为，所以，所以，
即的取值范围是
19.（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接，证明出，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：连接，因为四边形为菱形，则，
又因为，则为等边三角形，
又因为为的中点，则，
，则，因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，平面，平面.
（2）解：平面，，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
所以，，
所以，直线与面所成角的正弦值为.
20.（1）有的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；
（2）分布列见解析，，.
【分析】（1）求出，比较临界值可得；
（2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率的分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差.
【详解】（1），
有的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.
（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列如下：
，.
21.（1），
（2）
【分析】（1）根据离心率设出椭圆中a，b，c，进而设出直线的方程，然后利用直线与圆相切可求出a，b，c，进而得到答案；
（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出，然后根据直线间的垂直关系设出直线，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，再表示出四边形的面积即可求解.
【详解】（1）由椭圆的离心率，设，，其中，
则，，
故直线的方程为：，即，
因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，
从而直线的方程为：，
由，可知，
椭圆的方程为：.
（2）不妨设，，，，
联立直线与椭圆的方程，，
则，，
从而，
因为，且直线的斜率为，故直线的斜率为1，
设直线的方程：，即，
联立直线和椭圆的方程，，
，
则，，
从而，
故四边形面积为，
当时，即时，四边形面积最大，此时面积为，
从而四边形的面积的最大值为.
22.（1）极小值为0，无极大值
（2）
【分析】（1）先求出导数，再令，二次求导后可得，则可得在上单调递增，由于，从而可得在上单调递减，在上单调递增，进而可求得极值，
（2）问题转化为在内有两个不等实根，令，求导后分，讨论函数的单调性及最值，当时，求出函数的最小值，然后分，和判断函数的零点，从而可求得结果.
【详解】（1）若，，所以，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以的极小值为0，无极大值.
（2）若有且仅有两个零点，即在内有两个不等实根，
令，
则，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以在上至多有1个零点，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
若，则，
所以在上无零点，不符合题意；
若，则，
所以在上有且仅有一个零点，不符合题意；
若，则，
又，，在上单调递增，
所以在上有且仅有一个零点；
令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，
又，在上单调递减，
所以在上有且仅有一个零点.
所以在上有且仅有两个零点.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求解函数的单调性和极值，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为在内有两个不等实根，然后构造函数利用导数研究其零点的情况，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.0
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