青海省西宁市城西区青海湟川中学2022-2023学年高三上学期一模理科数学试题(含答案)

这是一份青海省西宁市城西区青海湟川中学2022-2023学年高三上学期一模理科数学试题(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,,则的元素个数为( )
A.0B.1C.2D.3
2、已知实数a,b满足（其中i为虚数单位）,则复数的共轭复数为( )
A.B.C.D.
3、设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为0.5和0.6,且各次射击相互独立,若甲、乙个射击2次,则甲、乙恰好各射中一次的概率是( )
A.B.C.D.
4、函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
5、的展开式中的常数项是( )
A.-160B.-100C.-20D.20
6、已知圆的弦AB的中点为,直线AB交y轴于点M,则的值为( )
A.4B.5C.-4D.-3
7、如图,长方体中,,,,点E,F分别为AB,的中点,则三棱锥的外接球表面积为( )
A.B.C.D.
8、已知数列为等差数列,为等比数列的前n项和,且,,,,则( )
A.B.C.D.
9、将函数,的图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象,则( )
A.图象的一条对称轴为B.图象的一个对称中心为
C.的最小正周期D.在区间上为增函数
10、在各棱长均相等的直三棱柱中,点M在上,点N在AC上且,则异面直线与NB所成角的正切值为( )
A.B.C.D.
11、已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A,B,与圆相切,则的值等于( )
A.B.C.D.
12、已知函数在R上存在导函数,对于任意的实数x都有,当时,,若,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、已知,,则_______________.
14、方程在区间上的解为____________.
15、若双曲线C的一条渐近线经过点,且焦点到该渐近线的距离为2,则该双曲线的方程为________________.
16、已知数列满足,且,表示数列的前n项和,则使不等式成立的正整数n的最小值是_____________.
三、解答题
17、已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小及a的值;
(2)求面积的最大值,并求此时的周长.
18、某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台,检测它们充满电后的工作时长（单位：分钟）,相关数据如下表所示.
(1)从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台,设抽出的2台平板电脑充满电后工作时长小于210分钟的台数为X,求随机变量X的分布列及数学期望;
(2)下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据.求该平板电脑工作时长y与使用次数x之间的回归直线方程,并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长.
附：,,.
19、在三棱柱中,平面ABCD,,点E为AB的中点且.
(1)证明：平面MEC;
(2)P为线段AM上一点,若二面角的大小为,求AP的长.
20、已知,为椭圆C上两点,为椭圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C有且仅有一个公共点,与直线交于点M,与直线交于点N,证明：.
21、已知函数.
（1）讨论函数的单调性;
（2）对任意,求证：.
22、在平面直角坐标系xOy中,曲线（t为参数）,曲线的方程为.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线,的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,射线与曲线,分别交于A,B两点（异于极点O）,定点,求的面积.
23、设函数,不等式的解集为M,a,且,.
(1)证明：;
(2)若对任意恒有,求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：,,故集合的元素有3个,
故选：D.
2、答案：B
解析：实数a,b满足（其中i为虚数单位）,
故,,,
复数的共轭复数,
故选：B.
3、答案：B
解析：设A表示甲命中目标,B表示乙命中目标,则A与B相互独立,甲、乙各射击2次,甲、乙恰好各射中一次的概率.
故选：B.
4、答案：D
解析：易知函数为偶函数,所以其图象关于y轴对称,排除A,B项;又当时,,排除C选项.
故选：D.
5、答案：B
解析：展开式的通项为,令,得,令,得,故展开式的常数项是.
故选：B.
6、答案：A
解析：由题设可得,圆心,则.
根据圆的性质可知,,
AB所在直线的方程为,即.
联立方程,可得：,
设,,则,故,
中,令,得,
.
故选：A.
7、答案：B
解析：在长方体中,连接,,
三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球,
在中,取CD中点H,连接EH,则EH为边CD的垂直平分线,
所以的外心在EH上,设为点M,连接CM.
同理可得的外心N,连接MN,则三棱柱外接球的球心为MN的中点,设为点O.
由图可得,,又,,解得,
所以,所以.
故选：B.
8、答案：D
解析：设等差数列的公差为d,由得,解得,
则,所以,,
设等比数列的公比为q,则,
则,
故选：D.
9、答案：D
解析：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,得到,再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象,即,所以函数的最小正周期为,故C项错误;
由,,得的图象的对称轴为,,
当时,得,故A项错误;
由,,得,,
即图象的对称中心为,,当时,得,故B项错误;
由,,得,,
当时,得,即为的增区间,故D正确.
故选：D.
10、答案：B
解析：设棱长为3,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,.设异面直线与BN所成角为,
则, ,
异面直线与BN所成角的正切值为.
故选：B.
11、答案：D
解析：直线l的斜率存在,设为k,直线l过点,得直线l的方程为,
即.
由直线l与圆相切,得,
解得.不妨取,设,,易知,
联立,消去y,整理得,
则,,则,
故选：D.
12、答案：C
解析：令,当时,,则,所以当时,函数单调递减.
因为对于任意的实数x都有,所以,
即为偶函数,
所以当时,函数单调递增.
又,,,
又,所以,即,
故选:C.
13、答案：
解析：由题意得,,所以.
故答案为：.
14、答案：或
解析：当时,,,当时,满足题意;
当时,由两边同除以,
得,得,解得或（舍去）,
又,所以.
故答案为:或.
15、答案：或
解析：双曲线焦点在x轴上时,设双曲线方程为,
该双曲线的渐近线方程为,又一条渐近线经过点,,
得.由焦点到该渐近线的距离为2,可得,得,
则双曲线的方程为;
当双曲线焦点在y轴上时,设双曲线方程为,
该双曲线的渐近线方程为,又一条渐近线经过点, ,
得,由焦点到该渐近线的距离为2,可得,得,则双曲线的方程为.
故答案为:或.
16、答案：10
解析：因为数列满足且,所以数列是首项为2,公差为2的等差数列,
所以,所以,
所以
.
令,解得.
故答案为：10.
17、答案：(1),
(2)面积的最大值为,此时的周长为
解析：（1）,
由正弦定理得,,
又, ., ,
（舍去）,, , .
（2）由（1）知,,.由余弦定理得,
, , ,
当且仅当时取等号,此时的周长为.
18、答案：(1)分布列见解析,数学期望为
(2),估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5分钟
解析：（1）由题意可知,X可能取值为0,1,2,
则,,.
则随机变量X的分布列为
数学期望为.
（2）,
,
,故,
所以线性回归方程为,
当时,,
所以估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5分钟.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）设CM与BN交于点F,连接EF,由已知可得四边形BCNM是平行四边形,
F是BN的中点,E是AB的中点,故,
又平面MEC,平面MEC,故平面MEC.
（2）设,平面ABCD,故平面ABCD,
如图,建立空间直角坐标系,
则,,,设,
,.
设平面PEC的一个法向量为,则,,
令,则,
平面ADE的一个法向量为,,
解得（负值舍去）,故AP的长为.
20、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）设椭圆方程为,
,为椭圆C上两点,得,
解得,,故所求椭圆C的标准方程为.
（2）当时,直线,直线l与直线,联立,
可得,或,,,
所以,所以.
当时,直线l与直线,联立,可得,,
所以,,所以.
联立,得,
直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,,
化简得,所以,所以.
综上所述：.
21、答案：（1）答案见解析;
（2）证明见解析.
解析：（1）由题意得,的定义域为,,
当时,恒成立, 在上单调递增.
当时,令,解得;令,解得,
在上单调递增,在上单调递减.
（2）要证,即证.
令,则.
令,则,
易得在上单调递增,且,,
存在唯一的实数,使得,
在上单调递减,在上单调递增.
,,
当时,;当时,,
在上单调递减,在上单调递增,
.
综上,,即.
22、答案：(1)曲线的极坐标方程为;曲线的极坐标方程为
(2)
解析：（1）曲线的普通方程为,极坐标方程为.
曲线的直角坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
（2）将代入曲线,的极坐标方程得,,
.
点到射线的距离为,
故的面积为.
23、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：,
当时,不成立,
当时,令,解得,
当时,成立,所以不等式的解集为,
故,即,,所以
,
即,所以.
（2）,
而,当且仅当时等号成立.
由题意得,,解得,所以m的取值范围为.
平板电脑序号
1
2
3
4
5
6
工作时长/分
220
180
210
220
200
230
使用次数x/次
20
40
60
80
100
120
140
工作时长y/分
210
206
202
196
191
188
186
X
0
1
2
P