上海外国语大学闵行外国语中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份上海外国语大学闵行外国语中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了11， 设全集，则 等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的定义域是______．
2．设全集，则______．
3．已知，则______．
4．已知扇形的圆心角为，其弧长为π，则此扇形的面积为______．（结果保留π）
5．已知a，且，则的最小值是______．
6．设、是方程的两个实数根，则______．
7．由函数的观点，不等式的解集是______．
8．已知函数，若，则______．
9．已知A，B是球O的球面上两点，，P为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的表面积为______．
10．已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为______
11．设a，，且，则的最大值为______
12．平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为______．
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分．
13、若实数a、b满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．若直线和是异面直线，在平面α内，在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题一定正确的是（ ）
A．l与、都不相交 B．l与、都相交
C．l至多与、中的一条相交 D．l至少与、中的一条相交核
15、设，其中常数，，，．若函数的图象如图所示，则数组的一组值可以是（ ）
A． B．
C． D．
16、设、、是定义域为R的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若f、、均是以T为周期的函数，则、、均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，17题14分，18题14分，19题14分，20题18分，21题18分．
17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分。
已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；
（2）若，求的值域．
18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在直棱柱中，，，D，E，F分别是，，BC的中点．
（1）求证：；
（2）求AE与平面DEF所成角的大小．
19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
已知函数是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的不等式有且只有一个整数解，求实数a的取值范围．
20、（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分8分，第3小题满分4分）
某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道.为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；
假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图1-图3中的相关边、角满足以下条件：
直线BA与DE的交点是O，，．米．小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．
（1）假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示．求QC的长；
（2）假设休息亭建在弧（EA）̂上的某个位置，记为P，作交BC于M，作交DC于N．沿EP、线段PM和线段PN修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．
图1 图2 图3
21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求k的值；
（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的最大值．
上闵外2023学年第一学期高三年级数学期中
2023.11
一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．
函数的定义域是 .
【答案】
2. 设全集，则 .
【答案】
3.已知，则________．
【答案】-1
4.已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为_________.（结果保留π）
【答案】
5. 已知且，则的最小值是_________．
【答案】4
6.设是方程的两个实数根，则=____________.
【答案】2024
7．由函数的观点，不等式的解集是______.
【答案】（0，1】
8.已知函数,若,则__________.
【答案】-9
9. 已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为______.
【答案】
10.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为________.
【答案】
11. 设a、b∈R，且a+b=4，则的最大值为__________.
【答案】
12．平面上有一组互不相等的单位向量，若存在单位向量满足，则称是向量组的平衡向量. 已知，向量是向量组的平衡向量，当取得最大值时，的值为__________．
【答案】
二. 选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分．
13. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
14、若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题一定正确的是（ ）
A．与都不相交 B．与都相交
C．至多与中的一条相交 D．至少与中的一条相交
【答案】D
15. 设，其中常数，.若函数的图象如图所示，则数组的一组值可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
16.设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题
【答案】D
三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，17题14分，18题14分，19题14分，20题18分，21题18分.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分8分，第2小题满分6分．
已知向量，函数.
(1)求的最小正周期及图象的对称轴方程；
(2)若，求的值域.
【解析】（1）因为a=3sinx,csx，b=csx,csx且fx=a⋅b，
所以fx=32sin2x+cs2x=32sin2x+1+cs2x2=sin2x+π6+12，
即fx=sin2x+π6+12，∴fx的最小正周期T=2π2=π，
令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，解得x=π6+12kπ，k∈Z，
即fx图象的对称轴方程为x=π6+12kπ，k∈Z.
（2）解：∵x∈-π4,π4，∴2x+π6∈-π3,2π3，∴sin2x+π6∈-32,1，
所以fx=sin2x+π6+12∈1-32,32.
18. 如图，在直棱柱中，，，D，E，F分别是，，的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面DEF所成角的大小．

【小问1详解】
由于三棱柱是直三棱柱，且，故两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则,
故,
,所以，故
【小问2详解】
,,
设平面的法向量为，
则，取，则，
设与平面DEF所成角为，
则，
由于，所以
19、（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若关于的不等式有且只有一个整数解，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题设，故，
所以的定义域为R，且，
故满足为奇函数，则.
（2）由在R上为增函数，而，
所以，
若，则解集为或，不符合题设；
若，则解集为，不符合题设；
若，则解集为，此时有且只有一个整数解，则；
若，则解集为，不符合题设；
若，则解集为，不符合题设.
综上，，即.
20．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 6分，第 2 小题满分8 分，第 3 小题满分 4 分）
某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；
假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图1-图3中的相关边、角满足以下条件：
直线与的交点是，∥，．米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．

图1 图2 图3
（1）假设休息亭建在弧的中点，记为沿和线段修路，如图2所示．求的长；
（2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．
【解析】（1）如图，以原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
因为点为弧的中点，所以，即
可以计算得，所以（米）
所以的长约为米；
（2）设，
则，，
设修建的总路长为，
所以

求导，得，
令，则，，解得是唯一驻点．
当时，，函数严格减；
当时，，函数严格增．
所以在处取得最小值． （米）
所以修建的总路长的最小值约为米
（3）（1）涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优（短）路径；
（2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于段附近居民前往）．
说明：可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标
一修的路相对短，二修的路相对便于居民出行
若学生自己有一个评价标准，并根据自己的标准并给予自圆其说适当给予评分
譬如说：有的同学直接连接，休息亭建立在与的交点处，将与全部修好，这样更短米也相对便捷，这样可以
21. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】（1）由题意得：，
曲线在处切线为：，即
（2）由（1）知：
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
又，，
由零点存在定理知：在上有一个零点
在上单调递增该零点为上的唯一零点
（3）由题意得：
为的两个极值点，即为方程的两根
，
，又，解得：
令，
则
在上单调递减
即
即实数最大值为：