黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了复数的虚部为，已知集合，则，已知，则，已知函数等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2023年11月20日 时长：120分钟 总分值：150分
一､单项选择题（每小题只有一个选项符合题意.每题5分，共40分）
1.复数的虚部为（ ）
A. B. C.2 D.-2
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若且，则
D.若，则
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知等比数列中的各项都是正数，且成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
6.有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到.由此可知，如果不采取有效措施，则从（ ）年（填年份）开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：，）
A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
7.已知函数.若函数恰有4个零点，分别为，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.（高考题）已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（每小题至少有两个选项符合题意，少选得2分，错选得0分，共20分）
9.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A.两条异面直线和所成的角为
B.直线与平面垂直
C.点到面的距离为
D.三棱柱外接球表面积为
10.已知数列满足，若，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.若，则的最小值为
C.取最小值时
D.设，则
11.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.的极大值为
B.的单调递增区间为
C.曲线在处的切线方程为
D.方程有两个不同的解
12.（原创题）欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一.在数学史上，人们称18世纪为欧拉时代.直到今天，我们在数学及其应用的众多分支中，常常可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.，都有
C.方程有无数个根
D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为__________.
14.在中，分别为内角的对边，且成等比数列，若，则的外接圆面积为__________.
15.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，...，设第层有个球，则__________.
16.（改编题）在平行四边形中，点满足，连接并延长交的延长线于点，若数列是等差数列，其前项和为，则__________.
四､解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17.（本小题10分）
已知向量，函数.
（1）求函数的解析式及其单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
18.（本小题12分）
已知是等差数列的前项和，且是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.（本小题12分）
如图，平面，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题12分）
已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若为的中点，，求面积的最大值.
21.（本小题12分）
设是数列的前项和，已知
（1）证明：是等比数列；
（2）求满足的所有正整数.
22.（本小题12分）
已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知关于的方程恰有2个不同的正实数根.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
高三上学期期中考试（数学）试题答案
一､单选题
1.D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.C 7.A 8.D
二､多选题
9.BD 10.ACD 11.BC 12.ACD
三､填空
13. 14. 15. 16.2359
四､解答题
17.（1），单调递增区间是；
（2）函数的值域是
18.（1）（2）
19.（1）证明见解析 （2）
20.（1） （2）
21.（1）证明见解析 （2）正整数为1，2
22.（1）在上单调递增，在上单调递减
（2）（i）；（ii）证明见解析
详细答案：
8.D
【详解】法一､根据题意，构造函数，
则.
由泰勒展开式，，
所以，
，
而，
所以，即；
法二､因为，
所以.
令，则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，得，所以；
因为，所以令，
则，
所以函数在定义域内单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，即，所以，又，所以.
综上，.
故选：D
12.ACD
【详解】A选项，所有不超过正整数3且与3互素的正整数为1，2，个数为2，故，所有不超过正整数5且与5互素的正整数为，个数为4，故，
所有不超过正整数15且与15互素的正整数为，个数为8，故，故正确；
选项，不妨令，满足，但，B错误；
选项，当为素数时，，而素数有无数个，故方程有无数个根，正确；
选项，因为7为素数，所以当时，只有7和7的倍数与不互素，
即，共有，
所以.
故选：ACD
16.2359
【详解】延长交的延长线于点，
.
故答案为：2359
17.（1），
单调递增区间是；（2）函数的值域是.
解：（1）
单调递增区间是
（2）
函数的值域是
18.（1）（2）
解：（1）设等差数列的公差为，
根据题意，则有
解得
所以
又
两式相减，得，
当时，，
所以
（2）由（1）得，
所以
19.（1）证明见解析（2）
解：（1）由平面平面，则平面，
由平面平面，则平面，
而平面，
故平面平面，
又平面，则平面；
（2）平面平面，
则，又，
以为原点，分别以为轴构建空间直角坐标系，如下图所示：
又，
所以，
则，
令平面的一个法向量，则，
令，则，即，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.（1）（2）
解：（1）解法一：因为，
由正弦定理得：，
所以
，
因为，
所以，
为，
所以.
解法二：因为，
由余弦定理得：，
整理得，
即，
又由余弦定理得
所以，
因为，
所以.
（2）解法一：因为为的中点，
所以，
所以，
即，
即，
而，
所以即，当且仅当时等号成立
所以的面积为.
即的面积的最大值为.
解法二：设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式得.③
在中，由余弦定理得，
而，所以，④
联立③④得：，即，
而，
所以，即，当且仅当时等号成立.
所以的面积为.
即的面积的最大值为.
21.（1）证明见解析
（2）正整数为1，2
解：（1）由已知得，
所以，
其中，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
所以，
，
所以，
所以
当时，单调递减，其中，
所以满足的所有正整数为1，2.
22.（1）在上单调递增，在上单调递减
（2）（i）；（ii）证明见解析
解：（1）当时，，则；
令，解得：或，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减.
（2）（i）由得：，
恰有2个正实数根恰有2个正实数根，
令，则与有两个不同交点，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，又，
当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于；
则图象如下图所示，
当时，与有两个不同交点，
实数的取值范围为；
（ii）由（i）知：
，
，
不妨设，则，
要证，只需证，
，则只需证，
令，则只需证当时，恒成立，
令，
，
在上单调递增，，
当时，恒成立，原不等式得证.