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    黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试卷

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    这是一份黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试卷,共13页。试卷主要包含了复数的虚部为,已知集合,则,已知,则,已知函数等内容,欢迎下载使用。
    考试时间:2023年11月20日 时长:120分钟 总分值:150分
    一、单项选择题(每小题只有一个选项符合题意.每题5分,共40分)
    1.复数的虚部为( )
    A. B. C.2 D.-2
    2.已知集合,则( )
    A. B. C. D.
    3.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
    A.若,则
    B.若,则
    C.若且,则
    D.若,则
    4.已知,则( )
    A. B. C. D.
    5.已知等比数列中的各项都是正数,且成等差数列,则( )
    A. B. C. D.
    6.有关数据显示,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测,如果不采取措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到.由此可知,如果不采取有效措施,则从( )年(填年份)开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据:,)
    A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
    7.已知函数.若函数恰有4个零点,分别为,且,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    8.(高考题)已知,则( )
    A. B.
    C. D.
    二、多项选择题(每小题至少有两个选项符合题意,少选得2分,错选得0分,共20分)
    9.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )
    A.两条异面直线和所成的角为
    B.直线与平面垂直
    C.点到面的距离为
    D.三棱柱外接球表面积为
    10.已知数列满足,若,则下列说法正确的是( )
    A.
    B.若,则的最小值为
    C.取最小值时
    D.设,则
    11.已知函数,下列说法正确的是( )
    A.的极大值为
    B.的单调递增区间为
    C.曲线在处的切线方程为
    D.方程有两个不同的解
    12.(原创题)欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一.在数学史上,人们称18世纪为欧拉时代.直到今天,我们在数学及其应用的众多分支中,常常可以看到欧拉的名字,如著名的欧拉函数.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数,例如,则下列说法正确的是( )
    A.
    B.,都有
    C.方程有无数个根
    D.
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
    13.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则该圆锥的侧面积为__________.
    14.在中,分别为内角的对边,且成等比数列,若,则的外接圆面积为__________.
    15.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,...,设第层有个球,则__________.
    16.(改编题)在平行四边形中,点满足,连接并延长交的延长线于点,若数列是等差数列,其前项和为,则__________.
    四、解答题(本大题共6小题,17题10分,18-22题每题12分,共70分)
    17.(本小题10分)
    已知向量,函数.
    (1)求函数的解析式及其单调递增区间;
    (2)当时,求函数的值域.
    18.(本小题12分)
    已知是等差数列的前项和,且是数列的前项和,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    19.(本小题12分)
    如图,平面,.
    (1)求证:平面;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值.
    20.(本小题12分)
    已知的内角所对的边分别为,且.
    (1)求角;
    (2)若为的中点,,求面积的最大值.
    21.(本小题12分)
    设是数列的前项和,已知
    (1)证明:是等比数列;
    (2)求满足的所有正整数.
    22.(本小题12分)
    已知函数.
    (1)若,讨论的单调性;
    (2)已知关于的方程恰有2个不同的正实数根.
    (i)求的取值范围;
    (ii)求证:.
    高三上学期期中考试(数学)试题答案
    一、单选题
    1.D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.C 7.A 8.D
    二、多选题
    9.BD 10.ACD 11.BC 12.ACD
    三、填空
    13. 14. 15. 16.2359
    四、解答题
    17.(1),单调递增区间是;
    (2)函数的值域是
    18.(1)(2)
    19.(1)证明见解析 (2)
    20.(1) (2)
    21.(1)证明见解析 (2)正整数为1,2
    22.(1)在上单调递增,在上单调递减
    (2)(i);(ii)证明见解析
    详细答案:
    8.D
    【详解】法一、根据题意,构造函数,
    则.
    由泰勒展开式,,
    所以,

    而,
    所以,即;
    法二、因为,
    所以.
    令,则,所以函数在上单调递增,
    所以当时,,即有成立,
    所以,得,所以;
    因为,所以令,
    则,
    所以函数在定义域内单调递增,
    所以当时,,即有成立,
    所以,即,所以,又,所以.
    综上,.
    故选:D
    12.ACD
    【详解】A选项,所有不超过正整数3且与3互素的正整数为1,2,个数为2,故,所有不超过正整数5且与5互素的正整数为,个数为4,故,
    所有不超过正整数15且与15互素的正整数为,个数为8,故,故正确;
    选项,不妨令,满足,但,B错误;
    选项,当为素数时,,而素数有无数个,故方程有无数个根,正确;
    选项,因为7为素数,所以当时,只有7和7的倍数与不互素,
    即,共有,
    所以.
    故选:ACD
    16.2359
    【详解】延长交的延长线于点,
    .
    故答案为:2359
    17.(1),
    单调递增区间是;(2)函数的值域是.
    解:(1)
    单调递增区间是
    (2)
    函数的值域是
    18.(1)(2)
    解:(1)设等差数列的公差为,
    根据题意,则有
    解得
    所以

    两式相减,得,
    当时,,
    所以
    (2)由(1)得,
    所以
    19.(1)证明见解析(2)
    解:(1)由平面平面,则平面,
    由平面平面,则平面,
    而平面,
    故平面平面,
    又平面,则平面;
    (2)平面平面,
    则,又,
    以为原点,分别以为轴构建空间直角坐标系,如下图所示:
    又,
    所以,
    则,
    令平面的一个法向量,则,
    令,则,即,
    所以,
    即直线与平面所成角的正弦值为.
    20.(1)(2)
    解:(1)解法一:因为,
    由正弦定理得:,
    所以

    因为,
    所以,
    为,
    所以.
    解法二:因为,
    由余弦定理得:,
    整理得,
    即,
    又由余弦定理得
    所以,
    因为,
    所以.
    (2)解法一:因为为的中点,
    所以,
    所以,
    即,
    即,
    而,
    所以即,当且仅当时等号成立
    所以的面积为.
    即的面积的最大值为.
    解法二:设,
    在中,由余弦定理得,①
    在中,由余弦定理得,②
    因为,所以
    所以①+②式得.③
    在中,由余弦定理得,
    而,所以,④
    联立③④得:,即,
    而,
    所以,即,当且仅当时等号成立.
    所以的面积为.
    即的面积的最大值为.
    21.(1)证明见解析
    (2)正整数为1,2
    解:(1)由已知得,
    所以,
    其中,
    所以是以为首项,为公比的等比数列;
    (2)由(1)知,
    所以,

    所以,
    所以
    当时,单调递减,其中,
    所以满足的所有正整数为1,2.
    22.(1)在上单调递增,在上单调递减
    (2)(i);(ii)证明见解析
    解:(1)当时,,则;
    令,解得:或,
    当时,;当时,;
    在上单调递增,在上单调递减.
    (2)(i)由得:,
    恰有2个正实数根恰有2个正实数根,
    令,则与有两个不同交点,
    当时,;当时,;
    在上单调递减,在上单调递增,又,
    当从0的右侧无限趋近于0时,趋近于;当无限趋近于时,的增速远大于的增速,则趋近于;
    则图象如下图所示,
    当时,与有两个不同交点,
    实数的取值范围为;
    (ii)由(i)知:


    不妨设,则,
    要证,只需证,
    ,则只需证,
    令,则只需证当时,恒成立,
    令,

    在上单调递增,,
    当时,恒成立,原不等式得证.

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