福建省厦门双十中学 2023—2024 学年第一学期高一期中考试数学试卷及参考答案

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高一年数学试卷
一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案.
1.已知幂函数f(x)的图象过点(4， eq \f(1,2))，则f(x)＝( )
A.x eq \s(\s(\f(1,2))) B.x eq \s(－2) C.x eq \s(\s(－\f(1,2))) D.x eq \s(\r(2))
2.设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x| eq \f(1,4)＜( eq \f(1,2))x＜2}，则{x|x≥2}＝( )
A. eq ∁\s\d (U)(M∪N) B.N∪ eq ∁\s\d (U)M C. eq ∁\s\d (U)(M∩N) D.M∪ eq ∁\s\d (U)N
3.已知a＝ eq lg\s\d 3(2) eq \f(1,3)，b＝2 eq \s(－3)，c＝3 eq \s(ln2)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.a＜c＜b
4.已知f(x)，g(x)均为[－1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是( )
A.(2，3) B.(1，2) C.(0，1) D.(－1，0)
5.函数f(x)＝| eq \f(x－1,x＋1)|的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.已知a＞0且a≠1，则(a－1)b＜0是ab＜1的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈Z)的形式，这便是科学计数法；若两边取常用对数，则有lgN＝n＋lga，现给出部分常用对数值(如表)，则可以古迹22023的最高位的数值为( )
A.1 B.3 C.6 D.9
8.已知x＞y＞0，且x2－y2＝1，则2x2＋3y2－4xy的最小值为( )
A. eq \f(3,4) B.1 C. eq \f(17,16) D. eq \f(9,8)
二、多选题：本大题4小题，全选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分.
9.已知函数f(x)＝x2的值域为[0，4]，则f(x)的定义域可以是( )
A.[0，2] B.[－2，1] C.[1，2] D.{－2，0，2}
10.已知正实数a，b满足a＋4b＝2，则( )
A.ab≤ eq \f(1,4) B.2a＋16b≥4 C. eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≥ eq \f(9,2) D. eq \r(a)＋2 eq \r(b)≥4
11.已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，( eq ∁\s\d (U)A)∪( eq ∁\s\d (U)B)中有m个元素，已知m≥8，则
集合B中元素个数可以是 ( )
A.2 B.6 C.8 D.12
12.已知函数f(x)为非常值函数，若对任意实数x，y均有f(x＋y)＝ eq \f(f(x)＋f(y),1＋f(x)•f(y))，且当x＞0时，f(x)＞0，则下列说法
正确的有( )
A.f(x)为奇函数 B.|f(x)|＜1 C.f(x)是(0，＋∞)上的增函数 D.f(x)是周期函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.3 eq \s(lg32)＋9 eq \s(\s(\f(1,2)))＋lg eq \f(5,2)＋2lg2＝ .
14.设f(x)是R上的偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(2023)＝ .
15.如图，对数函数f(x)＝ eq lg\s\d 3(a)x(a＞1)上的点A与x轴上的点B(1，0)，C构成以BC为斜边的等腰直角三角形，
若△ABC右侧的相似三角形△CDE的顶点E在函数f(x)上，顶点C，D在x轴上，且两三角形的相似比为2，
则该对数函数的解析式为 .
16.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≥0，,\f(1,x)－x，x＜0.))若函数g(x)＝f(f(x))－af(x)＋2恰有两个零点，则a的取值范围是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置。
17.(本小题满分10分)
设全集U＝R，集合A＝{x| eq lg\s\d 3(2) eq \f(1,2)≤x＜ eq lg\s\d 3(2)16}，非空集合B＝{x|3≤x≤1＋a}，其中a∈R.
(1)当a＝4时，求A∩ eq ∁\s\d (U)B；
(2)若命题“x∈B，x∈ eq ∁\s\d (U)A”是真命题，求实数a的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ eq \f(mx,x＋n)的定义域为集合A，且x∈A，f(－x)＋f(x－4)＝4.
(1)求m，n的值；
(2)判断f(x)在(－2，＋∞)上的单调性，并用定义证明.
19.(本小题满分12分)
给定函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝x－2，x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}.
(1)求函数y＝M(x)的解析式并画出其图象；
(2)对于任意的x∈[2，＋∞)，不等式M(x)≥(a－2)x－1恒成立，求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分)
某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润y2与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.
(注意：利润和投资单位：万元)
(1)分别求出A，B两种产品的利润与投资之间的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到20万元资金，并将其全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这20万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？

图① 图②
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln(e2x＋m)－x(e为自然对数的底数，且e＝2.71828…).
(1)当m＝1时，判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)若函数g(x)＝ln(1－ eq \f(3,ex))的图象上存在两点A，B，其关于y轴的对称点A′，B′恰在函数f(x)的图象上，求实数m的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－ex，x≤m，,ex＋x，x＞m.))和g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x－lnx，0＜x≤1，,x＋lnx，x≥1.))有相同的最小值，
(e为自然对数的底数，且e＝2.71828…).
(1)求m；
(2)证明：存在直线y＝b与函数y＝f(x)，y＝g(x)恰好共有三个不同的交点；
(3)若(2)中三个交点横坐标分别为x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，求x1＋2x2＋x3的值.
x
－1
0
1
2
3
f(x)
－0.9461
－0.3140
1.4043
6.0751
18.772
g(x)
－1.324
－0.3240
0.6760
7.6760
26.676
真数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lgx(近似值)
0.30103
0.47712
0.60206
0.69897
0.77815
0.84510
0.90309
0.95424
1.000